Testo Si provi che fra tutti i coni circolari retti circoscritti ad una sfera di raggio \(r\), quello di minima area laterale ha il vertice che dista \(r\sqrt{2}\) dalla superficie sferica. Soluzione Consideriamo la sezione piana del cono passante per il suo vertice \(V\) e per il centro \(C\) della sfera (Fig.1). Poichè il cono […]

Testo Un’azienda industriale possiede tre stabilimenti (A,B e C). Nello stabilimento A si produce la metà dei pezzi, e di questi il 10\% sono difettosi. Nello stabilimento B si produce un terzo dei pezzi, e il 7\% sono difettosi. Nello stabilimento C si producono i pezzi rimanenti, e il 5\% sono difettosi. Sapendo che un […]

Testo Si dimostri che la curva di equazione \(y=x^3+ax+b\) ha uno ed un solo punto diflesso rispetto a cui è simmetrica. Soluzione L’equazione \(y=x^3+ax+b\) rientra nelle equazioni rappresentative delle funzioni cubiche \( y=ax^3+bx^2+cx+d\) le quali sono simmetriche rispetto al loro punto di flesso. Per determinare il punto di flesso, calcoliamo \( y’=3x^2+a\) e \(y”=6x\). \(y”\) […]

Testo L’insieme dei numeri naturali e l’insieme dei numeri razionali sono insiemi equipotenti? Si giustifichi la risposta. Soluzione L’insieme dei numeri naturali \(\mathbb{N}=\{0,1,2…\}\) è linsieme dei numeri razionali \(\mathbb{Q}=\{m/n|m, n\in\mathbb{N} \}\) sono equipotenti poiché tra di loro vi è una corrispondenza biunivoca. E poichè un insieme equipotente a \(\mathbb{N}\) si dice avente la \(\textit{potenza del […]

Testo Sia \(f(x)=3^x\). Per quale valore di \(x\), approssimato a meno di \(10^-3\), la pendenza della retta tangente della curva nel punto \( (x,f(x))\) è uguale a 1? Soluzione La pendenza della retta tangente ad una curva di equazione \(f(x)=3^x\) è espressa dalla derivata prima \(f'(x)\) che in tal caso risulta \(f'(x)=\ln3\cdot3^x\). Posto quindi \[ […]

Testo Una moneta da 1 euro (il suo diametro è 23,25mm) viene lanciata su un pavimento ricoperto con mattonelle esagonali (regolari) di lato 10 cm. Quale è la probabilità che la moneta vada a finire internamente ad una mattonella (cioè non tagli i lati degli esagoni)? Soluzione \(\textbf{Fig. 1.}\) In Fig. 1 sono mostrate le […]

Testo Si calcoli \[ \lim_{x\to 0^+}{\frac{2^{3x}-3^{4x}}{x^2}}\] Soluzione Il limite richiesto conduce ad un forma indeterminata del tipo 0/0.Infatti: \[ \lim_{x\to0+}{2^{3x}-3^{4x}=f(0)=1-1=0}\hspace{1cm}\text{e}\hspace{1cm} \lim_{x\to0+}{x^2}=0 \] Sfruttiamo quindi il teorema di De L’H\(\hat{o}\)pital, ovvero studiamo il limite del rapporto delle derivate di \(f(x)\) e \(g(x)\). \[ \lim_{x\to0+}{\frac{f'(x)}{g'(x)}}= \lim_{x\to0+}{\frac{3\ln2\cdot2^{3x}-4\ln3\cdot3^4x}{2x}} \] e poichè risulta \[ \lim_{x\to0+}{(3\ln2\cdot2^{3x}-4\ln3\cdot3^{4x})}=\ln\left(\frac{8}{81}\right)<0 \hspace{1mm}\text{e}\hspace{1cm}\lim_{x\to0+}2x=0^+\], possiamo concludere che il […]

Testo Siano \(f\) e \(g\) le funzioni definite da \(f(x)=e^x\) e \( g(x)=\ln x\). 1. Fissato un riferimento cartesiano Oxy, si disegnino i grafici di \(f\) e di \(g\) e si calcoli l’area della regione R che essi delimitano tra \(x=\frac{1}{2}\) e \( x=1\). 2. La regione R, ruotando attorno all’asse \(x\), genera il solido […]

Testo Della funzione \(f\), definita per \(0\leq x\leq 6\), si sa che è dotata di derivata prima e seconda e che il grafico della sua derivata \(f'(x)\) presenta due tangenti orizzontali per \(x=2\) e \(x=4\). Si sa anche che \(f(0)=9\), \(f(3)=6\), \(f(5)=3\). Si trovino le ascisse dei punti di flesso di \(f\) motivando le risposte […]