Testo

Sia \(f(x)=3^x\). Per quale valore di \(x\), approssimato a meno di \(10^-3\), la pendenza della retta tangente della curva nel punto \( (x,f(x))\) è uguale a 1?

Soluzione

La pendenza della retta tangente ad una curva di equazione \(f(x)=3^x\) è espressa dalla derivata prima \(f'(x)\) che in tal caso risulta \(f'(x)=\ln3\cdot3^x\). Posto quindi
\[
f'(x)=1\hspace{1cm}\text{cioé}\hspace{1cm}\ln3\cdot3^x=1
\]
\begin{align*}
3^x&=\frac{1}{\ln3} \\
\ln (3^x)&=\ln\left(\frac{1}{\ln 3}\right)\\
x\ln3&=-\ln(\ln3)\\
x&=-\frac{\ln(\ln3)}{\ln3}
\end{align*}
e quindi \(x\approx -0,086\) a meno di \(10^{-3}\) di approssimazione.