Testo

L’insieme dei numeri naturali e l’insieme dei numeri razionali sono insiemi equipotenti? Si giustifichi la risposta.

Soluzione

L’insieme dei numeri naturali \(\mathbb{N}=\{0,1,2…\}\) è linsieme dei numeri razionali \(\mathbb{Q}=\{m/n|m, n\in\mathbb{N} \}\) sono equipotenti poiché tra di loro vi è una corrispondenza biunivoca. E poichè un insieme equipotente a \(\mathbb{N}\) si dice avente la \(\textit{potenza del numerabile}\) anche \(\mathbb{Q}\) ha la potenza del numerabile.
Questa affermazione si dimostra ricercando un ordinamento degli elementi di \(\mathbb{Q}^+\) in modo che abbiano una corrispondenza biunivoca con gli elementi di \(\mathbb{N}\). Si definisce così una successione \(r_0,r_1,r_2,…\) in cui siano compresi tutti i numeri razionali. Scriviamo pertanto tutti gli elementi di \(\mathbb{Q}\) disponendoli come sotto

dove ogni numero razionale positivo \( m/n\) con \(m\) e \(n\) numeri interi occupa la posizione della \(m\)-esima riga e \(n\)-esima colonna. Associamo il numero naturale 0 al razionale 0 (non presente in tabella) e quindi iniziamo a percorrere la tabella dall’elemento 1/1 e associamo ciascun numero razionale ad un intero

La corrispondenza precedente si può rappresentare anche meglio sovrapponendo alla tabella sopra il percorso a zig-zag che comprende via via tutti i numeri razionali (evidenziato in verde sotto)

L’ordinamento definito dalla funzione \(h:\mathbb{Q}^+\to\mathbb{N}\) appena descritta permette quindi di far corrispondere ad ogni elemento di \(\mathbb{Q}^+\) un solo elemento di \(\mathbb{N}\) e viceversa per cui \(h\) è evidentemente biunivoca. I due insiemi hanno quindi la potenza del numerabile e sono equipotenti.