Quesito10 Quale delle seguenti funzioni è positiva per ogni \(x\) reale? \(\;\cos(\sin(x^2+1))\) \(\;\sin(\cos(x^2+1))\) \(\;\sin(\ln(x^2+1))\) \(\;\cos(\ln(x^2+1))\) Si giustifichi la risposta. Soluzione Analizziamo i singoli casi. A) \(\cos (\sin(x^2+1))\) è una funzione composta del tipo \(cos[f(x)]\) e pertanto il suo dominio si estende su tutto \(\mathbb{R}\). Dato che \(x^2+1 \geq 1\) \(\forall x\in\mathbb{R}\), il codominio di \(\sin […]

Quesito9 Il problema di Erone (matematico alessandrino vissuto probabilmente nella seconda metà del I secolo d.C.) consiste, assegnati nel piano due punti \(A\) e \(B\), situati dalla stessa parte rispetto ad una retta \(r\), nel determinare il cammino minimo che congiunge \(A\) e \(B\) toccando \(r\). Si risolva il problema nel modo che si preferisce. […]

Quesito8 Qual è il valore medio di \(f(x)=\frac{1}{x}\;da\; x=1\; a\; x=e\)? Soluzione La funzione \(f(x)\) è continua e quindi per calcolarne il suo valore medio si ricorre teorema della media integrale \[ \overline{f}=\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f(x)dx. \] che in questo caso è \[ \overline{f}=\frac{1}{e-1}\int_{1}^{e}\frac{1}{x}dx=\frac{1}{e-1}[ln|x|]_1^e=\frac{1}{e-1}(\ln e -\ln 1)=\frac{1}{e-1} \]  

Quesito7 E’ dato un tetraedro regolare di spigolo \(l\) e altezza \(h\). Si determini l’ampiezza dell’angolo \( \alpha\) formato da \(l\) e da \(h\). Soluzione Un tetraedro regolare è uno dei cinque solidi platonici le cui facce sono triangoli equilateri congruenti di lato \(l=\overline{AV}=\overline{AB}\) (Fig.1). Tale solido è retto, ovvero il piede dell’altezza cade nel […]

Quesito6 Sia \( f(x) = 5\sin x+\cos^2x-\sin^2x-\frac{5}{2}\sin2x-\cos2x-17\); Si calcoli \(f'(x)\). Soluzione La funzione \(f(x)\) è una funzione goniometrica di II grado in \(x\), ma possiamo ricondurla ad una funzione lineare relativa all’angolo \(2x\) ricordando le formule di duplicazione \[ \frac{1}{2}\sin(2x)=\sin x\cos x \hspace{1 cm} \cos2x=\cos^2x-\sin^2x. \] Perciò \(f(x)\) diventa \[ f(x)=5\left(\frac{1}{2}\sin2x\right)+\cos2x-\frac{5}{2}\sin2x-\cos2x-17=17. \] Quindi \(f'(x)=0\). Lo […]

Quesito1 Siano dati nello spazio \( n\) punti \( P_1, P_2, P_3,…P_n\). Quanti sono i segmenti che li congiungono a due a due? Quanti i triangoli che hanno per vertici questi punti (supposto che nessuna terna sia allineata)? Quanti i tetraedri (supposto che nessuna quaterna sia complanare)? Soluzione Per determinare il numero dei segmenti va […]

Quesito4 Qual è la capacità massima, in litri, di un cono di apotema 1 metro? Soluzione Si pone \(h=\overline{OV}=x\). Si ricava pertanto il raggio di base del cono \(r=\sqrt{1-x^2}\) con \(0 \le x \le 1\). Il volume del cono è dato da \[ \mathbb{V}(x)=\frac{1}{3}\pi(1-x^2)x \] che è massimo per \(x=\frac{1}{\sqrt{3}}\). In questo caso si ha: […]

Quesito3 . La posizione di una particella è data da \( s(t) = 20(2e^{-\frac{1}{2}+t-2})\). Qual è la sua accelerazione al tempo \( t=4\)? Soluzione La velocità, nella notazione di Leibiniz, è definita come \(v(t)=\frac{ds(t)}{dt}\) e quindi, \[ v(t)=20\cdot\left[2\cdot e^{-\frac{t}{2}}\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)+1-0\right]=20\left(1-e^{-\frac{t}{2}}\right). \] L’accelerazione è a sua volta definita come \(a(t)=\frac{dv(t)}{dt}\), per cui si ottiene \[ a(t)=20\left[-e^{-\frac{t}{2}}\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)\right]=10e^{-\frac{t}{2}}. \] […]

Quesito 2 Si illustri il significato di asintoto e si fornisca un esempio di funzione \( f(x) \) il cui grafico presenti un asintoto orizzontale e due asintoti verticali. Soluzione Il termine \(asintoto\) indica una retta cui tende il grafico di una funzione quando \(x\to\infty\) oppure\(x \to c\). In particolare se per la funzione \(f(x)\) […]

Quesito1 Cosa rappresenta il limite seguente e qual è il suo valore? \[\lim_{h \to 0}{\frac{5\left(\frac{1}{2}+h\right)^4-5\left(\frac{1}{2}\right)^4}{h}}\] Soluzione Il limite rappresenta il rapporto incrementale della funzione \(f(x)=5(\frac{1}{2}+x)^4\) in \(x_0=0\) o in alternativa della funzione \(g(x)=5x^4\) ma nel punto \(x_0=\frac{1}{2}\). \[ \lim_{h \to0}{\frac{f(0+h)-f(0)}{h}}=\lim_{h\to0}{\frac{5}{h}\left[\left(\frac{1}{2}+h\right)^4-\left(\frac{1}{2}\right)^4\right]}. \] e sviluppando il binomio \[ \left(\frac{1}{2}+h\right)^4=\left(\frac{1}{2}\right)^4+4\left(\frac{1}{2}\right)^3\cdot h+6\left(\frac{1}{2}\right)^2\cdot h^2+\frac{1}{2}\cdot h^3 + h^4 \] si ottiene […]