Quesito9

Il problema di Erone (matematico alessandrino vissuto probabilmente nella seconda metà del I secolo d.C.) consiste, assegnati nel piano due punti \(A\) e \(B\), situati dalla stessa parte rispetto ad una retta \(r\), nel determinare il cammino minimo che congiunge \(A\) e \(B\) toccando \(r\). Si risolva il problema nel modo che si preferisce.

Soluzione

Il quesito può essere risolto tramite osservazioni puramente geometriche: sia \(A’\) il punto simmetrico di \(A\) rispetto alla retta \(r\) e \(C\) il punto di contatto del percorso \(A \to C \to B\) con la retta \(r\) (Fig.1). Si dimostra che il punto \(C\) è determinato dall’intersezione del segmento \(A’B\) e\(r\) e che il percorso \(A \to C \to B\) è il più breve. Supponiamo per assurdo che \(C\) non sia il punto che definisce il percorso più breve.Esiste quindi un altro punto \(C’\in r\) tale che
\[
\overline{AC’}+\overline{C’B} < \overline{AC} + \overline{CB}. \] Dato che per costruzione \(A'\) è simmetrico ad \(A\) e che il segmento \(AA'\) \(\bot \;r\), le seguenti coppie di triangoli sono congruenti \[ \triangle AHC' \simeq \triangle A'HC'\hspace{5mm} \land \hspace{5mm} \triangle AHC \simeq \triangle A'HC. \] Ne segue che \(\overline{AC'}=\overline{A'C'}\) e \(\overline{AC}=\overline{A'C}\) e quindi \[ \overline{A'C'}+\overline{C'B}<\overline{A'B} \] che è in contraddizione con la disuguaglianza applicata a \(\triangle A'C'B\) che invece afferma \(\overline{A'C'}+\overline{C'B}\geq \overline{A'B}\).\\ \(Nota\) dalla congruenza \(\triangle AHC' \simeq \triangle A'HC'\;\; \land \;\; \triangle AHC \simeq \triangle A'HC.\) deriva la congruenza degli angoli \(\angle ACH \simeq \angle A'CH \simeq \angle BCK\) . Da quest'ultima discende la relazione \(\hat{i}=\hat{r}\), dove \(\hat{i}\) è l'angolo di incidenza e \(\hat{r}\) quello di riflessione, uguaglianza che costituisce la legge di riflessione dei fenomeni ondulatori (Fig.2).