Quesito10

Quale delle seguenti funzioni è positiva per ogni \(x\) reale?
\(\;\cos(\sin(x^2+1))\)
\(\;\sin(\cos(x^2+1))\)
\(\;\sin(\ln(x^2+1))\)
\(\;\cos(\ln(x^2+1))\)
Si giustifichi la risposta.

Soluzione

Analizziamo i singoli casi.

A) \(\cos (\sin(x^2+1))\) è una funzione composta del tipo \(cos[f(x)]\) e pertanto il suo dominio si estende su tutto \(\mathbb{R}\).
Dato che \(x^2+1 \geq 1\) \(\forall x\in\mathbb{R}\), il codominio di \(\sin x^2+1\) sarà l’intervallo \([-1,1]\). Ma poiché \([-1,1]\subset [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\) a maggior ragione si ha che
\(
-\frac{\pi}{2}< \sin(x^2+1) < \frac{\pi}{2}. \) Questa espressione rappresenta un angolo del I o del IV quadrante dove il coseno assume valori positivi \(\forall x \in \mathbb{R}\).

B) In questo caso si ha una funzione composta del tipo \(\sin[f(x)]\) il cui dominio ancora una volta è tutto \(\mathbb{R}\). Come nel caso precedente, il codominio di \(\cos(x^2+1)\) è l’intervallo [-1,1]. Diversamente dal caso A, la funzione seno può assumere valori negativi se \(-1\leq\cos(x^2+1)<0\), ovvero ci troviamo all’interno del IV quadrante.

C) Come nel caso B siamo in presenza di una funzione composta del tipo \(\sin[f(x)]\).L’esistenza del logaritmo impone che \((x^2+1) >0\) che è evidentemente soddisfatta \(\forall x\in\mathbb{R}\) e in particolare \((x^2+1)\geq 1 \; \forall x \in \mathbb{R}\). Il codominio del logaritmo è \(\mathbb{R}\) e considerando che il seno assume valori compresi nell’intervallo \([-1,1]\) si ha che per \(-1\leq\ln(x^2+1)<0\), \(\sin(\ln(x^2+1))<0\).

D) Ancora una volta il codominio del logaritmo è \(\mathbb{R}\) e quindi \(\cos(\ln(x^2+1))\) assume valori compresi nell’intervallo \([-1,1]\).