Quesito7

E’ dato un tetraedro regolare di spigolo \(l\) e altezza \(h\). Si determini l’ampiezza dell’angolo \( \alpha\) formato da \(l\) e da \(h\).

Soluzione

Un tetraedro regolare è uno dei cinque solidi platonici le cui facce sono triangoli equilateri congruenti di lato \(l=\overline{AV}=\overline{AB}\) (Fig.1). Tale solido è retto, ovvero il piede dell’altezza cade nel centro del cerchio inscritto nella base. Essendo la base un triangolo equilatero, il centro corrisponde al baricentro.\\In riferimento alla Fig.1, la mediana \(AM\) è pertanto divisa dal baricentro \(H\) in parti di lunghezza una il doppio dell’altra (\(\overline{AH}=2\overline{HM}\)) per cui
\[
\overline{AH}=\frac{2}{3}\overline{AM}.
\]
In un triangolo equilatero la mediana è anche l’altezza e perciò
\[
\overline{AM}=\overline{AB}\sin\frac{\pi}{3}=l\frac{\sqrt{3}}{2}.
\]
Vale quindi,
\[
\overline{AH}=\frac{2}{3}\cdot\left(l\frac{\sqrt{3}}{3}\right)=\frac{l\sqrt{3}}{3}
\]
e anche
\[
\sin\alpha=\frac{\overline{AH}}{\overline{AV}}=\frac{1}{\sqrt{3}}\hspace{5mm}\to\hspace{5mm}\alpha=\arcsin\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)\approx35,26^\circ.
\]