Quesito 2

Si illustri il significato di asintoto e si fornisca un esempio di funzione \( f(x) \) il cui grafico presenti un asintoto orizzontale e due asintoti verticali.

Soluzione

Il termine \(asintoto\) indica una retta cui tende il grafico di una funzione quando \(x\to\infty\) oppure\(x \to c\). In particolare se per la funzione \(f(x)\) si ha
\[
\lim_{x\to\infty}{f(x)=l}
\]
la retta \(r:y=l\) è asintoto orizzontale.
Se invece
\[
\lim_{x\to\infty}{f(x)=\infty}
\]
allora \(y=mx+q\) è l’equazione dell’asintoto obliquo di \(f\) se i limiti
\[
\lim_{x\to\infty}{\frac{f(x)}{x}=m}\hspace{5mm}\land\hspace{5mm}\lim_{x\to\infty}{(f(x)-mx)}=q, \hspace{5mm} m,q \in\mathbb{R}
\]
Se infine,
\[
\lim_{x\to c}{f(x)=\infty}
\]
la retta \(x=c\) è asintoto verticale.
Una funzione \(f(x)\) con le caratteristiche richieste può essere
\[
f(x)=\frac{x^2+1}{(x-1)(x+2)}.
\]
Quindi \(\lim_{x\to1}{f(x)}=\lim_{x\to-2}{f(x)}=\infty\) e perciò le rette \(x=1\) e \(x=-2\) sono asintoti verticali.
Inoltre la retta \(y=1\) è asintoto orizzontale poiché inoltre
\[
\lim_{x\to\infty}{f(x)}=\lim_{x\to\infty}{\frac{x^2+1}{(x-1)(x+2)}}=\lim_{x\to\infty}{\frac{x^2\left(1+\frac{1}{x^2}\right)}{x^2\left(1+\frac{1}{x}-\frac{2}{x^2}\right)}}=1.
\]