Quesito1

Cosa rappresenta il limite seguente e qual è il suo valore?
\[\lim_{h \to 0}{\frac{5\left(\frac{1}{2}+h\right)^4-5\left(\frac{1}{2}\right)^4}{h}}\]

Soluzione

Il limite rappresenta il rapporto incrementale della funzione \(f(x)=5(\frac{1}{2}+x)^4\) in \(x_0=0\) o in alternativa della funzione \(g(x)=5x^4\) ma nel punto \(x_0=\frac{1}{2}\).
\[
\lim_{h \to0}{\frac{f(0+h)-f(0)}{h}}=\lim_{h\to0}{\frac{5}{h}\left[\left(\frac{1}{2}+h\right)^4-\left(\frac{1}{2}\right)^4\right]}.
\]
e sviluppando il binomio
\[
\left(\frac{1}{2}+h\right)^4=\left(\frac{1}{2}\right)^4+4\left(\frac{1}{2}\right)^3\cdot h+6\left(\frac{1}{2}\right)^2\cdot h^2+\frac{1}{2}\cdot h^3 + h^4
\]
si ottiene
\[
\lim_{h\to0}{\frac{5}{h}\left[\frac{1}{2^4}-\frac{1}{2}h+\frac{3}{2}h^2+2h^3+h^4-\frac{1}{2^4}\right]}=\frac{5}{2}
\]
In alternativa, notando che il limite rientra nel caso di indeterminazione \(\frac{0}{0}\), è possibile sfruttare il teorema di De L’H\(\hat{o}\)pital, ovvero calcolare il limite del rapporto delle derivate di numeratore e denominatore:
\[
\lim_{h \to0}{\frac{5\cdot4\cdot\left(\frac{1}{2}+h\right)^3}{1}}=\frac{5}{2}.
\]
Si potrebbe inoltre ottenere il valore del limite eseguendo la derivata \(f'(x)\) in\(x_0=0\). Infatti
\[
f'(x)=D\left[5\left(\frac{1}{2}+h\right)^4\right]=20\left(\frac{1}{2}\right)^3
\]
e \(f'(0)=5\cdot4\cdot\frac{1}{2^3}=\frac{5}{2}\)