Testo

Della funzione \(f\), definita per \(0\leq x\leq 6\), si sa che è dotata di derivata prima e seconda e che il grafico della sua derivata \(f'(x)\) presenta due tangenti orizzontali per \(x=2\) e \(x=4\). Si sa anche che \(f(0)=9\), \(f(3)=6\), \(f(5)=3\).

Si trovino le ascisse dei punti di flesso di \(f\) motivando le risposte in modo esauriente.
Per quale valore di \(x\) la funzione \(f\) presenta il suo minimo assoluto? Sapendo che \(\int_{0}^{6}{f'(t)}dt=-5 \) per quale valore di \(x\) la funzione \(f\) presenta il suo massimo assoluto?
Sulla base delle informazioni note, quale andamento potrebbe avere il grafico di \(f\)?
Sia \(g\) la funzione definita da \(g(x) = xf(x)\). Si trovino le equazioni delle rette tangenti ai grafici di \(f\) e di \(g\) nei rispettivi punti di ascissa \(x=3\) e si determini la misura, in gradi e primi sessagesimali, dell’angolo acuto che esse formano.

Soluzione

1. Direttamente dal grafico di \(f'(x)\) (Fig.1) possiamo dedurre il segno di \(f”(x)\). In \([0,2)\) e in \((4,6]\) \(f”(x)>0\) (\(f\) ha concavità verso l’alto) visto che \(f'(x)\)è strettamente crescente. In \((2,4)\) \(f”(x)<0\) (\(f\) ha concavità verso il basso) dato che \(f'(x)\), in questo intervallo, è strettamente decrescente. In particolare \(f”(2)=0\) e \(f”(4)=0\) , dove \(x=2\) e \(x=4\) sono rispettivamente punti di massimo e minimo relativo di \(f’\) e quindi punti di flesso per \(f\). In Fig.2 riassumiamo quanto detto.

2. Il segno della derivata prima e monotonia di \(f\) è schematizzato in Fig. 3.

Dalla figura si nota immediatamente che il punto di minimo assoluto è in \(x=5\). Per trovare il punto di massimo assoluto ricorriamo al teorema fondamentale del calcolo integrale secondo cui tra \(f\) e \(f’\) sussiste la relazione
\[
\int_{0}^{x}f'(t)dt=[f(t)]_0^x=f(x)-f(0)=f(x)-9
\]
e quindi
\[
f(x)=\int_{0}^{x}f'(t)dt+9.
\]
Da quest’ultima espressione possiamo calcolare \(f(6)\) ricordandoci l’ulteriore condizione data dal testo, ovvero che \(\int_{0}^{6}f'(t)dt=-5\). Infatti
\[
f(6)=\int_{0}^{6}f'(t)dt+9=-5+9=4.
\]
Dato che \(f(0)>f(6)\) il massimo assoluto è raggiunto per \(x=0\).

3. Dalle informazioni date dal testo e ricavate dal punto precedente proponiamo un possibile grafico di \(f(x)\) in Fig.4 dove son evidenziati in rosso i punti noti e in blu i punti di flesso.

4. La retta tangente a \(f\) nel punto con \(x=3\) è
\[
t: y-f(3)=f'(3)(x-3)
\]
e quindi, dato che \(f(3)=6\) dal testo e \(f'(3)=-1\) dal grafico, si ha
\[
t:y=-x+9.
\]
Per la funzione \(g(x)=xf(x)\), la retta tangente è scritta come
\[
s: y-g(3)=g'(3)(x-3)
\]
dove \(g(3)=3\cdot f(3)=3\cdot 6=18\) e \(g'(3)=f(3)+f'(3)\cdot 3=6+3(-1)=3\). Quindi
\[
s: y=3x+9 \hspace{1 cm} \text{(Fig.5)}
\]

Ricordando che i coefficienti angolari rappresentano le tangenti goniometriche degli angoli orientati \(\alpha\) e \(\beta\) che le rette, \(r\) ed \(s\) rispettivamente, determinano con il semiasse positivo delle ascisse (Fig. 5) si ha che
\[m_t=-1=\tan \alpha\hspace{1cm} m_s=3=\tan \beta.
\]
Ne deriva che \(\alpha=-\frac{\pi}{4}\) e \(\beta\approx 1,249 \) rad. L’angolo \(\gamma\) invece, in verde in Fig.5, può essere scritto come \(\gamma=\pi(\beta-\alpha)=\pi-\beta-\frac{\pi}{4}=\frac{3\pi}{4}-\beta\approx 1,107 \) rad e quindi \(\gamma\approx 63,4349^\circ. \)