Testo
Un’azienda industriale possiede tre stabilimenti (A,B e C). Nello stabilimento A si produce la metà dei pezzi, e di questi il 10\% sono difettosi. Nello stabilimento B si produce un terzo dei pezzi, e il 7\% sono difettosi. Nello stabilimento C si producono i pezzi rimanenti, e il 5\% sono difettosi. Sapendo che un pezzo è difettoso, con quale probabilità esso proviene dallo stabilimento A?

Soluzione

Definiamo gli eventi
\[A=\{\text{pezzo prodotto nello stabilimento A}\} \]
\[B=\{\text{pezzo prodotto nello stabilimento B}\} \]
\[C=\{\text{pezzo prodotto nello stabilimento C}\}. \]
\[E=\{\text{un pezzo è difettoso}\}\]

Notiamo che questi eventi sono disgiunti (un pezzo prodotto in A non può essere prodotto in B) e rappresentano i soli eventi possibili. La probabilità \(P(E)\) che un pezzo sia difettoso si ottiene ricordando il teorema delle probabilità totali
\[
p(E)=P(A\cap E)+p(B\cap E)+p(C\cap E)
\]
Quindi la probabilità che si verifichi l’evento: A \(cap\)E=\(\{\}\) il pezzo proviene dallo stabilimento A è difettoso \(\}\) si può scrivere come
\[p(A \cap E) = p(A)\cdot(p(E\vert A)
\]
dove \(p(A)\) è la probabilità che un pezzo sia prodotto dallo stabilimento A e \(p(E\vert A)\) indica la probabilità con la quale lo stabilimento A produce pezzi difettosi. Con i dati del quesito risulta
\[
p(A) = 50\% = \frac{1}{2},\hspace{5mm}p(E\vert A)=10\% = \frac{1}{10}\hspace{5mm}\Longrightarrow\hspace{5mm}p(A\cap E)=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{10}=\frac{1}{20}
\]
Analogalmente per gli eventi, \((E\cap B)\) e \((E\cap C)\)
\[
p(B\cap E)= p(B)\cdot p(E\vert B)=33,3\%\cdot7\%=\frac{1}{3}\cdot\frac{7}{100}
\]
\[
p(C\cap E)=p(C)\cdot p(E\vert C)=\left(1-\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)\cdot5\%=\frac{1}{6}\cdot\frac{5}{100}
\]
dove \(1-\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{1}{6}\) la frazione di pezzi prodotti dallo stabilimento C. La probabilità che un pezzo sia comunque difettoso diviene è
\[
p(E)=p(A)\cdot p(E\vert A)+p(B)\cdot p(E\vert B)+p(C)\cdot p(E\vert C)=\frac{49}{600}
\]

La richiesta del quesito riguarda la probabilità \(p(A\vert E)\) che un pezzo (osservato) difettoso provenga dallo stabilimento A. Ovvero si vuole ottenere la probabilità che questo effetto sia dovuto ad una particolare causa: si vuole inferire la probabilità di una relazione di causa/effetto.
La formula di Bayes fornisce la risposta a questa inferenza pesando la probabilità \(p(A\cap E)\) con la probabilità \(p(E)\). Nel caso in esame
\[
p(A\vert E) = \frac{p(A\cap E)}{p(E)}=\frac{p(A)\cdot p(E\vert A)}{p(E)}=
\]
\[
=\frac{p(A)\cdot p(E\vert A)}{p(A)\cdot p(E\vert A)+p(B)\cdot p(E\vert B) + p(C)\cdot p(E\vert C)}\approx 0,6122
\]

Un modello grafico fornisce un punto di vista alternativo alla soluzione precedente (Fig.1).

Le tre cause che stanno alla base dei pezzi difettosi possono essere visualizzate come tre segmenti uscenti da un medesimo punto associando a ciascun elemento le probabilità del pezzo prodotto. \\
Prodotto un pezzo può succedere che questo sia difettoso \(\text{evento } E)\) o meno, per cui vi è una ulteriore biforcazione nella successione degli eventi. La somma dei prodotti della probabilità dei singoli rami che conducono ad un pezzo difettoso (rami in colore) esprime la probabilità totale dell’evento \(E\).
La probabilità che lo stabilimento A sia all’origine di un pezzo difettoso si ottiene rapportando le probabilità del ramo connesso ad A (in blu) con la probabilità totale.