Equazioni fratte – Problema 4

In un triangolo rettangolo un cateto supera l’altro di 10m e il rapporto tra la somma della terza parte del cateto minore con la quarta parte del maggiore e la somma dei cateti è 2/7. Determinare la lunghezza del perimetro.

Soluzione
Se il cateto minore lo chiamiamo x, il maggiore sarà 10+x, quindi l’equazione da risolvere sarà la seguente: \[ \frac{\frac{1}{3}x+\frac{1}{4}\left(10+x\right)}{x+10+x}=\frac{2}{7} \] \[ \frac{\frac{1}{3}x+\frac{5}{2}+\frac{1}{4}x}{2x+10}=\frac{2}{7} \] \[ \frac{\frac{7}{12}x+\frac{5}{2}}{2\left(x+5\right)}=\frac{2}{7} \] Risolviamo ora l’equazione: \[ \frac{\frac{7}{12}x+\frac{5}{2}}{2\left(x+5\right)}-\frac{2}{7}=0 \] \[ \frac{\frac{49}{12}x+\frac{35}{2}-4x-20}{14\left(x+5\right)}=0 \] \[ \frac{49}{12}x+\frac{35}{2}-4x-20=0 \] \[ \frac{1}{12}x=\frac{5}{2} \] \[ x=30 \] Quindi il cateto minore è lungo x=30m, il maggiore y=40m. L’ipotenusa la possiamo calcolare per mezzo del teorema di Pitagora: \[ i=\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\sqrt{30^{2}+40^{2}}=\sqrt{2500}=50\: m \] Il perimetro allora: \[ P=x+y+i=30+40+50=120\: m \]

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