Equazioni fratte

Risolvere le seguenti equazioni frazionarie numeriche:

1) \[ \frac{3}{x}=\frac{4}{x-1} \] Condizioni di esistenza C.E.: \[ x\neq0 \] \[ x-1\neq0\rightarrow x\neq1 \] Portiamo le frazioni al minimo comune denominatore: \[ \frac{3}{x}-\frac{4}{x-1}=0 \] \[ \frac{3\left(x-1\right)-4x}{x\left(x-1\right)}=0 \] Semplifichiamo il denominatore: \[ 3\left(x-1\right)-4x=0 \] \[ 3x-3-4x=0 \] \[ -x=3 \] \[ x=-3 \] che è una soluzione accettabile.

2) \[ \frac{3x+1}{x+2}+\frac{1-2x}{x-2}=\frac{x-6}{x+2} \] Condizioni di esistenza C.E.: \[ x+2\neq0\rightarrow x\neq-2 \] \[ x-2\neq0\rightarrow x\neq+2 \] Portiamo le frazioni al minimo comune denominatore: \[ \frac{3x+1}{x+2}+\frac{1-2x}{x-2}-\frac{x-6}{x+2}=0 \] \[ \frac{\left(3x+1\right)\left(x-2\right)+\left(1-2x\right)\left(x+2\right)-\left(x-6\right)\left(x-2\right)}{\left(x+2\right)\left(x-2\right)}=0 \] Semplifichiamo il denominatore: \[ \left(3x+1\right)\left(x-2\right)+\left(1-2x\right)\left(x+2\right)-\left(x-6\right)\left(x-2\right)=0 \] \[ 3x^{2}-6x+x-2+x+2-2x^{2}-4x-x^{2}+2x+6x-12=0 \] \[ 0x^{2}+0x-12=0 \] \[ 0=12\rightarrow S=\textrm{Ø} \] L’equazione è impossibile.

3) \[ \frac{1+x}{2x+4}-\frac{1}{x^{2}+2x}+\frac{x+1}{2x}=1 \] Scomponiamo i denominatori: \[ \frac{1+x}{2\left(x+2\right)}-\frac{1}{x\left(x+2\right)}+\frac{x+1}{2x}=1 \] Condizioni di esistenza C.E.: \[ x+2\neq0\rightarrow x\neq-2 \] \[ x\neq0 \] Portiamo le frazioni al minimo comune denominatore: \[ \frac{1+x}{2\left(x+2\right)}-\frac{1}{x\left(x+2\right)}+\frac{x+1}{2x}-1=0 \] \[ \frac{x\left(1+x\right)-2+\left(x+2\right)\left(x+1\right)-2x\left(x+2\right)}{2x\left(x+2\right)}=0 \] Semplifichiamo il denominatore: \[ x\left(1+x\right)-2+\left(x+2\right)\left(x+1\right)-2x\left(x+2\right)=0 \] \[ x+x^{2}-2+x^{2}+x+2x+2-2x^{2}-4x=0 \] \[ 0=0 \] L’equazione risulta indeterminata: \[ S=\mathbb{R}-\left\{ -2;0\right\} \] 4) \[ \left(\frac{x+5}{x+1}-1\right):x-\left(\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x}\right)=\frac{2}{x^{2}-1} \] Scomponiamo i denominatori: \[ \left(\frac{x+5}{x+1}-1\right)\cdot\frac{1}{x}-\left(\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x}\right)=\frac{2}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)} \] Condizioni di esistenza C.E.: \[ x\neq0 \] \[ x+1\neq0\rightarrow x\neq-1 \] \[ x-1\neq0\rightarrow x\neq+1 \] Facciamo i conti e portiamo le frazioni al minimo comune denominatore: \[ \frac{x+5}{x\left(x+1\right)}-\frac{1}{x}-\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x}-\frac{2}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}=0 \] \[ \frac{x+5}{x\left(x+1\right)}-\frac{1}{x-1}-\frac{2}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}=0 \] \[ \frac{\left(x-1\right)\left(x+5\right)-x\left(x+1\right)-2x}{x\left(x-1\right)\left(x+1\right)}=0 \] Semplifichiamo il denominatore: \[ \left(x-1\right)\left(x+5\right)-x\left(x+1\right)-2x=0 \] \[ x^{2}+5x-x-5-x^{2}-x-2x=0 \] \[ x-5=0 \] \[ x=5 \] che è una soluzione accettabile.

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