Verificare le seguenti uguaglianze, applicando la definizione di limite infinito di una funzione per x che tende a un valore finito:

Esercizio 1 \[ \lim_{x\rightarrow\frac{3}{2}}\frac{-2}{\left(2x-3\right)^{2}}=-\infty \] La funzione è definita per \[ x\neq\frac{3}{2} \] Occorre mostrare che, comunque si scelga \[ M>0 \] arbitrariamente grande, la disuguaglianza \[ \frac{-2}{\left(2x-3\right)^{2}}<-M \] sia verificata per tutti i valori di x di un opportuno intorno di 3/2.Risolviamo ora la disequazione nell’incognita x: \[ \frac{-2}{\left(2x-3\right)^{2}}<-M \] \[ \frac{2}{\left(2x-3\right)^{2}}>M \] \[ \left(2x-3\right)^{2}<\frac{2}{M} \] \[ 2x-3>-\sqrt{\frac{2}{M}}\;\wedge\;2x-3<+\sqrt{\frac{2}{M}} \] \[ 2x>3-\sqrt{\frac{2}{M}}\;\wedge\;2x<3+\sqrt{\frac{2}{M}} \] \[ x>\frac{3}{2}-\frac{1}{2}\sqrt{\frac{2}{M}}\;\wedge\; x<\frac{3}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{\frac{2}{M}} \] Otteniamo quindi \[ \left(\frac{3}{2}-\frac{1}{2}\sqrt{\frac{2}{M}};\frac{3}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{\frac{2}{M}}\right) \] Visto che quest'ultimo intervallo costituisce un intorno di 3/2, possiamo affermare che il limite è verificato.Esercizio 2 \[ \lim_{x\rightarrow1}\frac{1}{2x-1-x^{2}}=-\infty \] La funzione è definita per \[ x\neq1 \] Occorre mostrare che, comunque si scelga \[ M>0 \] arbitrariamente grande, la disuguaglianza \[ \frac{1}{2x-1-x^{2}}<-M \] sia verificata per tutti i valori di x di un opportuno intorno di 1.Risolviamo ora la disequazione nell’incognita x: \[ \frac{1}{2x-1-x^{2}}<-M \] \[ 2x-1-x^{2}>-\frac{1}{M} \] \[ -\left(x^{2}-2x+1\right)>-\frac{1}{M} \] \[ \left(x-1\right)^{2}<\frac{1}{M} \] \[ x-1>-\sqrt{\frac{1}{M}}\;\wedge\; x-1<+\sqrt{\frac{1}{M}} \] \[ x>1-\sqrt{\frac{1}{M}}\;\wedge\; x<1+\sqrt{\frac{1}{M}} \] Otteniamo quindi \[ \left(1-\sqrt{\frac{1}{M}};1+\sqrt{\frac{1}{M}}\right) \] Visto che quest’ultimo intervallo costituisce un intorno di 1, possiamo affermare che il limite è verificato.

Esercizio 3 \[ \lim_{x\rightarrow1^{-}}\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}=+\infty \] La funzione è definita per \[ x\in\left(-1;+1\right) \] Occorre mostrare che, comunque si scelga \[ M>0 \] arbitrariamente grande, la disuguaglianza \[ \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}>M \] sia verificata per tutti i valori di x di un opportuno intorno sinistro di 1.

Risolviamo ora la disequazione nell’incognita x: \[ \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}>M \] \[ \sqrt{1-x^{2}}<\frac{1}{M} \] \[ 1-x^{2}<\frac{1}{M^{2}} \] \[ x^{2}>1-\frac{1}{M^{2}} \] \[ x<-\sqrt{1-\frac{1}{M^{2}}}\;\vee\; x>\sqrt{1-\frac{1}{M^{2}}} \] Ma la funzione esiste solo per \[ x\in\left(-1;+1\right) \] quindi l’intervalli risultanti saranno \[ \left(-1;-\sqrt{1-\frac{1}{M^{2}}}\right) \] e \[ \left(\sqrt{1-\frac{1}{M^{2}}};1\right) \] Visto che quest’ultimo intervallo costituisce un intorno sinistro di 1, possiamo affermare che il limite è verificato.

Esercizio 4 \[ \lim_{x\rightarrow0^{+}}2^{\frac{1}{x}}=+\infty \] La funzione è definita per \[ x\neq0 \] Occorre mostrare che, comunque si scelga \[ M>0 \] arbitrariamente grande, la disuguaglianza \[ 2^{\frac{1}{x}}>M \] sia verificata per tutti i valori di x di un opportuno intorno destro di 0.

Risolviamo ora la disequazione nell’incognita x: \[ 2^{\frac{1}{x}}>M \] \[ \frac{1}{x}>\log_{2}M \] Per x>0 (cerchiamo un intorno destro di 0): \[ x<\frac{1}{\log_{2}M} \] Otteniamo quindi \[ \left(0;\frac{1}{\log_{2}M}\right) \] Visto che quest'ultimo intervallo costituisce un intorno destro di 0, possiamo affermare che il limite è verificato.