Calcolare la derivata seconda delle seguenti funzioni:
Esercizio 1 [ fleft(xright)=sqrt{x} ] Soluzione [ f’left(xright)=frac{1}{2sqrt{x}} ] Derivando ulteriormente: [ f”left(xright)=left(0-2frac{1}{2sqrt{x}}right)frac{1}{left(2sqrt{x}right)^{2}} ] [ f”left(xright)=-frac{1}{sqrt{x}}cdotfrac{1}{4x} ] [ f”left(xright)=-frac{1}{4xsqrt{x}} ] Esercizio 2 [ fleft(xright)=frac{x^{3}}{x+1} ] Soluzione [ f’left(xright)=frac{3x^{2}left(x+1right)-x^{3}}{left(x+1right)^{2}} ] [ f’left(xright)=frac{3x^{3}+3x^{2}-x^{3}}{left(x+1right)^{2}} ] [ f’left(xright)=frac{2x^{3}+3x^{2}}{left(x+1right)^{2}} ] Derivando ulteriormente: [ f”left(xright)=frac{left(6x^{2}+6xright)left(x+1right)^{2}-left(2x^{3}+3x^{2}right)cdot2left(x+1right)}{left(x+1right)^{4}} ] [ f”left(xright)=frac{left(x+1right)left[left(6x^{2}+6xright)left(x+1right)-left(4x^{3}+6x^{2}right)right]}{left(x+1right)^{4}} ] [ f”left(xright)=frac{6x^{3}+6x^{2}+6x^{2}+6x-4x^{3}-6x^{2}}{left(x+1right)^{3}} ] [ f”left(xright)=frac{2x^{3}+6x^{2}+6x}{left(x+1right)^{3}} ] [ f”left(xright)=frac{2xleft(x^{2}+3x+3right)}{left(x+1right)^{3}} ] Esercizio 3 [ fleft(xright)=left(2x+1right)e^{-x} ] Soluzione [ f’left(xright)=2e^{-x}+left(2x+1right)left(-e^{-x}right) ] [ f’left(xright)=2e^{-x}-2xe^{-x}-e^{-x} ] [ f’left(xright)=e^{-x}-2xe^{-x} ] [ f’left(xright)=e^{-x}left(1-2xright) ] Derivando ulteriormente: [ f”left(xright)=-e^{-x}left(1-2xright)-2e^{-x} ] [ f”left(xright)=-e^{-x}+2xe^{-x}-2e^{-x} ] [ f”left(xright)=2xe^{-x}-3e^{-x} ] [ f”left(xright)=e^{-x}left(2x-3right) ] Esercizio 4 [ fleft(xright)=xsin x ] Soluzione [ f’left(xright)=sin x+xcos x ] Derivando ulteriormente: [ f”left(xright)=cos x+cos x-xsin x ] [ f”left(xright)=2cos x-xsin x ]
Ciao ho difficoltà con un segno nella derivata seconda della seguente funzione:
2x/(2-x^)^2
A me esce 6x^2+4/(2-x^2)^3, mentre provando la derivata su wolfram mathematica ottengo invece – (6x^2+4 / (2-x^2)^3 )
Se guardi bene su wolfram oltre al meno davanti, al denominatore hai x^2-2, quindi il risultato è lo stesso
Grazie sei stato chiarissimo… quindi quando faccio la derivate del denominatore per il numeratore… visto che il denominatore è al quadrato pongo il 2(x^2+1)e poi faccio la derivata di x^2 nella parantesi?????
Proprio così, esatto ;)
Come si calcola la derivata seconda di: (x-1)^3. Grazie
dovrei fare la derivata seconda di questa funzione: (x^2-1)/(x^2+1)… ho fatto gia la derivata prima che è 4x/(x^2+1)^2… so il risultato della derivata seconda ma nn so il procedimento il risultato è: 4(3x^2-1)/(x^2+1)^3… potete spiegarmi per favore il procedimentooo????
Allora deriviamo f'(x)=(4x)/(x^2+1)^2:
f”(x)=(4(x^2+1)^2 -(4x)2(x^2+1)(2x))/(x^2+1)^4
Raccolgo (x^2+1) al numeratore:
f”(x)=((x^2+1)(4(x^2+1)-(4x)2(2x)))/(x^2+1)^4
Lo semplifico col denominatore e faccio i conti dentro parentesi:
f”(x)=(4x^2+4-16x^2)/(x^2+1)^3
f”(x)=(4-12x^2)/(x^2+1)^3
puoi spiegarmi perchè nella derivata seconda dell’esercizio 4 trovo 2 volte il coseno di x?
La derivata del senx è cosx (e questo è il primo coseno). La derivata del prodotto di x per cosx è:
1*cosx + x(-senx) = cosx – xsenx. Quindi in totale ho:
cosx +cosx -xsenx = 2cosx -xsenx
Il punto è questo: stiamo derivando e^(-x) che è una funzione composta. La funzione esponenziale resta uguale, poi però dobbiamo moltiplicare per la derivata della funzione interna (l’esponente -x) ovvero -1:
e(-x) *(-1) = -e^(-x)
Nel caso di 2e^(-x) le cose non cambiano. La sua derivata vale:
-2e^(-x)
può spiegarmi nell esercizio 3,la derivata seconda.. il perchè del meno prima dell e^-x ??? mi è tutto chiaro tranne questo!!grazie