Massimi e minimi – Problema 14

Sono dati una circonferenza di raggio r e centro O, una corda variabile AB e il diametro CD a essa perpendicolare in H. Calcolare il massimo di AB(CH-HD) con CH>HD.

Soluzione

Chiamiamo: \[ \overline{OD}=\overline{CO}=r \] \[ \overline{OH}=x \] Scriviamo AB, CH e HD in funzione di x: \[ \overline{AB}=2\overline{AH}=2\sqrt{r^{2}-x^{2}} \] \[ \overline{CH}=\overline{CO}+\overline{OH}=r+x \] \[ \overline{HD}=\overline{OD}-\overline{OH}=r-x \] Ora possiamo scrivere la nostra funzione con l’unica incognita x: \[ f\left(x\right)=\overline{AB}\left(\overline{CH}-\overline{HD}\right) \] \[ f\left(x\right)=2\sqrt{r^{2}-x^{2}}\left(r+x-r+x\right) \] \[ f\left(x\right)=4x\sqrt{r^{2}-x^{2}} \] Calcoliamo la derivata: \[ f’\left(x\right)=4\sqrt{r^{2}-x^{2}}+4x\frac{-2x}{2\sqrt{r^{2}-x^{2}}} \] \[ f’\left(x\right)=\frac{4\left(r^{2}-x^{2}-x^{2}\right)}{\sqrt{r^{2}-x^{2}}} \] \[ f’\left(x\right)=\frac{4\left(r^{2}-2x^{2}\right)}{\sqrt{r^{2}-x^{2}}} \] Studiamone il segno: \[ f’\left(x\right)\geq0\rightarrow r^{2}-2x^{2}\geq0 \] Ricordandoci che x non può essere negativo, otteniamo: \[ f’\left(x\right)\geq0\rightarrow x\leq\frac{\sqrt{2}}{2}r \] Abbiamo trovato l’intervallo di x per il quale la derivata della funzione è positiva. La funzione f(x) è crescente per x minore di rad2/2, decrescente per x maggiore di rad2/2, ha quindi un massimo per \[ x=\frac{\sqrt{2}}{2}r \] La funzione massima vale quindi \[ f\left(x\right)_{MAX}=4\frac{\sqrt{2}}{2}r\sqrt{r^{2}-\left(\frac{\sqrt{2}}{2}r\right)^{2}} \] \[ f\left(x\right)_{MAX}=2r^{2} \] \[ \left[\overline{AB}\left(\overline{CH}-\overline{HD}\right)\right]_{MAX}=2r^{2} \]

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