Massimi e minimi – Problema 18

Determinare sull’arco di un settore di raggio r un punto per cui sia massima la somma delle distanze dai lati del settore.

Soluzione

Rappresentazione grafica:

Vista la figura, chiamiamo: \[ \overline{AO}=\overline{OB}=\overline{OP}=r \] \[ A\hat{O}B=\alpha \] \[ A\hat{O}P=x \] Vogliamo sia massima la funzione \[ f=\overline{KP}+\overline{HP} \] Scriviamo KP in funzione di x, sapendo che il triangolo KPO è rettangolo: \[ \overline{KP}=\overline{OP}\sin\hat{POK} \] \[ \overline{KP}=r\sin\left(\alpha-x\right) \] Scriviamo HP in funzione di x, sapendo che il triangolo HPO è rettangolo: \[ \overline{HP}=\overline{OP}\sin\hat{POH} \] \[ \overline{HP}=r\sin x \] Ora possiamo scrivere la nostra funzione f con l’unica incognita x: \[ f=\overline{KP}+\overline{HP} \] \[ f\left(x\right)=r\sin\left(\alpha-x\right)+r\sin x \] \[ f\left(x\right)=r\left[\sin\left(\alpha-x\right)+\sin x\right] \] Calcoliamo la derivata: \[ f’\left(x\right)=r\left[\cos x-\cos\left(\alpha-x\right)\right] \] Studiamone il segno: \[ f’\left(x\right)\geq0\rightarrow\cos x-\cos\left(\alpha-x\right)\geq0 \] \[ f’\left(x\right)\geq0\rightarrow\cos x\geq\cos\left(\alpha-x\right) \] x è compreso tra 0 e 90 gradi, quindi in questo intervallo il suo coseno è positivo e siamo nel primo quadrante: possiamo procedere come segue. \[ f’\left(x\right)\geq0\rightarrow x\geq\alpha-x \] Otteniamo: \[ f’\left(x\right)\geq0\rightarrow x\geq\frac{\alpha}{2} \] Abbiamo trovato l’intervallo di x per il quale la derivata della funzione è positiva. La funzione f(x) è crescente per x minore di alfa/2, decrescente per x maggiore di alfa/2, ha quindi un massimo per \[ x=\frac{\alpha}{2} \] e il punto P risulta il punto medio dell’arco.

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