Integrali per parti – Batteria 4

Calcolare i seguenti integrali indefiniti applicando il metodo di integrazione per parti:

Esercizio 1 \[ \int\sqrt{1-x^{2}}dx \] L’integrale dato può essere scritto come \[ \int\sqrt{1-x^{2}}dx=\int1\cdot\sqrt{1-x^{2}}dx \] Chiamiamo \[ f\left(x\right)=\sqrt{1-x^{2}} \] \[ g’\left(x\right)=1 \] di conseguenza \[ f’\left(x\right)=-\frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}} \] \[ g\left(x\right)=x \] Ora applichiamo la formula di integrazione per parti \[ \int f\left(x\right)g’\left(x\right)dx=f\left(x\right)g\left(x\right)-\int f’\left(x\right)g\left(x\right)dx \] e otteniamo: \[ \int\sqrt{1-x^{2}}dx=x\sqrt{1-x^{2}}+\int\frac{x^{2}}{\sqrt{1-x^{2}}}dx \] \[ \int\sqrt{1-x^{2}}dx=x\sqrt{1-x^{2}}-\int\frac{-x^{2}}{\sqrt{1-x^{2}}}dx \] \[ \int\sqrt{1-x^{2}}dx=x\sqrt{1-x^{2}}-\int\frac{1-x^{2}-1}{\sqrt{1-x^{2}}}dx \] \[ \int\sqrt{1-x^{2}}dx=x\sqrt{1-x^{2}}-\int\sqrt{1-x^{2}}dx+\int\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}dx \] \[ \int\sqrt{1-x^{2}}dx=x\sqrt{1-x^{2}}-\int\sqrt{1-x^{2}}dx+\arcsin x \] Guardando questa ultima espressione come una vera e propria equazione (lo è a tutti gli effetti), possiamo portare al primo membro, e sommare, i due integrali: \[ 2\int\sqrt{1-x^{2}}dx=x\sqrt{1-x^{2}}+\arcsin x \] \[ \int\sqrt{1-x^{2}}dx=\frac{x\sqrt{1-x^{2}}+\arcsin x}{2}+C \] Esercizio 2 \[ \int x\tan^{2}xdx \] Chiamiamo \[ f\left(x\right)=x \] \[ g’\left(x\right)=\tan^{2}x \] di conseguenza \[ f’\left(x\right)=1 \] \[ g\left(x\right)=\int\tan^{2}xdx=\int\frac{1-\cos^{2}x}{\cos^{2}x}dx=\tan x-x \] Ora applichiamo la formula di integrazione per parti \[ \int f\left(x\right)g’\left(x\right)dx=f\left(x\right)g\left(x\right)-\int f’\left(x\right)g\left(x\right)dx \] e otteniamo: \[ \int x\tan^{2}xdx=x\tan x-x^{2}-\int\left(\tan x-x\right)dx \] \[ \int x\tan^{2}xdx=x\tan x-x^{2}+\ln\left|\cos x\right|+\frac{x^{2}}{2}+C \] \[ \int x\tan^{2}xdx=x\tan x-\frac{x^{2}}{2}+\ln\left|\cos x\right|+C \] Esercizio 3 \[ \int3x^{2}\arctan xdx \] Chiamiamo \[ f\left(x\right)=\arctan x \] \[ g’\left(x\right)=3x^{2} \] di conseguenza \[ f’\left(x\right)=\frac{1}{1+x^{2}} \] \[ g\left(x\right)=x^{3} \] Ora applichiamo la formula di integrazione per parti \[ \int f\left(x\right)g’\left(x\right)dx=f\left(x\right)g\left(x\right)-\int f’\left(x\right)g\left(x\right)dx \] e otteniamo: \[ \int3x^{2}\arctan xdx=x^{3}\arctan x-\int\frac{x^{3}}{x^{2}+1}dx \] Dividiamo i polinomi della funzione integranda fratta: \[ x^{3}:\left(x^{2}+1\right) \] e otteniamo quoziente \[ Q\left(x\right)=x \] e resto \[ R\left(x\right)=-x \] L’integrale iniziale si può ora scrivere: \[ \int3x^{2}\arctan xdx= \] \[ =x^{3}\arctan x-\int xdx+\int\frac{x}{x^{2}+1}dx= \] \[ =x^{3}\arctan x-\int xdx+\frac{1}{2}\int\frac{2x}{x^{2}+1}dx \] \[ \int3x^{2}\arctan xdx=x^{3}\arctan x-\frac{x^{2}}{2}+\ln\sqrt{1+x^{2}}+C \]

17 thoughts on “Integrali per parti – Batteria 4

  1. L’ultimo esercizio non dovrebbe risultare x^3arctanx-x^2/2+ln|1+x^2|+c? non capisco la radice dell’argomento del logaritmo dove sia saltata fuori…

  2. Ciao Albert! Non capisco perchè nel primo esercizio ti trovi ad un certo punto integrale della radice di (1-x^2). Ti chiedo scusa per tutte le domande, ma sto facendo oggi per la prima volta gli integrali per parti, e finora grazie a te sto svolgendo bene tutti gli esercizi, ma in alcuni punti non mi trovo.

    1. Eli Mate, perché quando spezza l’integrale, si ritrova con un int di (1-x^2)/rad (1-x^2), per poterlo semplificare mette il numeratore sotto radice e lo eleva al quadrato, di modo tale da poterlo semplificare con il denominatore. come risultato quindi si trova int della radice di(1-x^2)

    1. int (tgx)^2 dx=
      int (senx)^2 / (cosx)^2 dx =
      int (1-(cosx)^2) / (cosx)^2 dx =
      int 1/(cosx)^2 dx – int 1 dx =
      tgx -x +C

  3. al terzo passaggio dell esercizio 1 .. 1-x+1 .. i due uno non dovrebbero essere di segno opposto ?? non hai aggiunto +2 in questo modo??

    1. Si hai ragione, anche se poi i segni tornavano giusti dal passaggio successivo… comunque ho corretto, grazie!

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