Calcolare i seguenti integrali indefiniti applicando il metodo di integrazione per parti:

Esercizio 1 \[ \int\sqrt{1-x^{2}}dx \] L’integrale dato può essere scritto come \[ \int\sqrt{1-x^{2}}dx=\int1\cdot\sqrt{1-x^{2}}dx \] Chiamiamo \[ f\left(x\right)=\sqrt{1-x^{2}} \] \[ g’\left(x\right)=1 \] di conseguenza \[ f’\left(x\right)=-\frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}} \] \[ g\left(x\right)=x \] Ora applichiamo la formula di integrazione per parti \[ \int f\left(x\right)g’\left(x\right)dx=f\left(x\right)g\left(x\right)-\int f’\left(x\right)g\left(x\right)dx \] e otteniamo: \[ \int\sqrt{1-x^{2}}dx=x\sqrt{1-x^{2}}+\int\frac{x^{2}}{\sqrt{1-x^{2}}}dx \] \[ \int\sqrt{1-x^{2}}dx=x\sqrt{1-x^{2}}-\int\frac{-x^{2}}{\sqrt{1-x^{2}}}dx \] \[ \int\sqrt{1-x^{2}}dx=x\sqrt{1-x^{2}}-\int\frac{1-x^{2}-1}{\sqrt{1-x^{2}}}dx \] \[ \int\sqrt{1-x^{2}}dx=x\sqrt{1-x^{2}}-\int\sqrt{1-x^{2}}dx+\int\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}dx \] \[ \int\sqrt{1-x^{2}}dx=x\sqrt{1-x^{2}}-\int\sqrt{1-x^{2}}dx+\arcsin x \] Guardando questa ultima espressione come una vera e propria equazione (lo è a tutti gli effetti), possiamo portare al primo membro, e sommare, i due integrali: \[ 2\int\sqrt{1-x^{2}}dx=x\sqrt{1-x^{2}}+\arcsin x \] \[ \int\sqrt{1-x^{2}}dx=\frac{x\sqrt{1-x^{2}}+\arcsin x}{2}+C \] Esercizio 2 \[ \int x\tan^{2}xdx \] Chiamiamo \[ f\left(x\right)=x \] \[ g’\left(x\right)=\tan^{2}x \] di conseguenza \[ f’\left(x\right)=1 \] \[ g\left(x\right)=\int\tan^{2}xdx=\int\frac{1-\cos^{2}x}{\cos^{2}x}dx=\tan x-x \] Ora applichiamo la formula di integrazione per parti \[ \int f\left(x\right)g’\left(x\right)dx=f\left(x\right)g\left(x\right)-\int f’\left(x\right)g\left(x\right)dx \] e otteniamo: \[ \int x\tan^{2}xdx=x\tan x-x^{2}-\int\left(\tan x-x\right)dx \] \[ \int x\tan^{2}xdx=x\tan x-x^{2}+\ln\left|\cos x\right|+\frac{x^{2}}{2}+C \] \[ \int x\tan^{2}xdx=x\tan x-\frac{x^{2}}{2}+\ln\left|\cos x\right|+C \] Esercizio 3 \[ \int3x^{2}\arctan xdx \] Chiamiamo \[ f\left(x\right)=\arctan x \] \[ g’\left(x\right)=3x^{2} \] di conseguenza \[ f’\left(x\right)=\frac{1}{1+x^{2}} \] \[ g\left(x\right)=x^{3} \] Ora applichiamo la formula di integrazione per parti \[ \int f\left(x\right)g’\left(x\right)dx=f\left(x\right)g\left(x\right)-\int f’\left(x\right)g\left(x\right)dx \] e otteniamo: \[ \int3x^{2}\arctan xdx=x^{3}\arctan x-\int\frac{x^{3}}{x^{2}+1}dx \] Dividiamo i polinomi della funzione integranda fratta: \[ x^{3}:\left(x^{2}+1\right) \] e otteniamo quoziente \[ Q\left(x\right)=x \] e resto \[ R\left(x\right)=-x \] L’integrale iniziale si può ora scrivere: \[ \int3x^{2}\arctan xdx= \] \[ =x^{3}\arctan x-\int xdx+\int\frac{x}{x^{2}+1}dx= \] \[ =x^{3}\arctan x-\int xdx+\frac{1}{2}\int\frac{2x}{x^{2}+1}dx \] \[ \int3x^{2}\arctan xdx=x^{3}\arctan x-\frac{x^{2}}{2}+\ln\sqrt{1+x^{2}}+C \]