Integrali per sostituzione – Batteria 5

Calcolare i seguenti integrali indefiniti applicando il metodo di integrazione per sostituzione:

Esercizio 1 \[ \int\frac{dx}{x-\sqrt{x+2}} \] Ponendo \[ t=\sqrt{x+2} \] ricaviamo x: \[ x=t^{2}-2 \] e quindi \[ \frac{dx}{dt}=2t\rightarrow dx=2tdt \] Ora, ritornando all’integrale iniziale: \[ \int\frac{dx}{x-\sqrt{x+2}}=\int\frac{2tdt}{t^{2}-2-t} \] \[ \int\frac{dx}{x-\sqrt{x+2}}=\int\frac{2t}{\left(t+1\right)\left(t-2\right)}dt \] Ricaviamo A e B tali che \[ \frac{2t}{\left(t+1\right)\left(t-2\right)}=\frac{A}{t+1}+\frac{B}{t-2} \] \[ \frac{2t}{\left(t+1\right)\left(t-2\right)}=\frac{\left(A+B\right)t-2A+B}{\left(t+1\right)\left(t-2\right)} \] \[ A=\frac{2}{3}\;;\; B=\frac{4}{3} \] L’integrale diventa: \[ \int\frac{dx}{x-\sqrt{x+2}}=\frac{2}{3}\int\frac{1}{t+1}dt+\frac{4}{3}\int\frac{1}{t-2}dt \] \[ \int\frac{dx}{x-\sqrt{x+2}}=\frac{2}{3}\ln\left|t+1\right|+\frac{4}{3}\ln\left|t-2\right|+C \] Risulta quindi: \[ \int\frac{dx}{x-\sqrt{x+2}}=\frac{2}{3}\ln\left(\sqrt{x+2}+1\right)+\frac{4}{3}\ln\left|\sqrt{x+2}-2\right|+C \] Esercizio 2 \[ \int\frac{x^{2}}{\sqrt{1-x^{2}}}dx \] Ponendo \[ x=\sin t \] ricaviamo t: \[ t=\arcsin x \] e quindi \[ \frac{dx}{dt}=\cos t\rightarrow dx=\cos tdt \] Ora, ritornando all’integrale iniziale: \[ \int\frac{x^{2}}{\sqrt{1-x^{2}}}dx=\int\frac{\sin^{2}t}{\sqrt{1-\sin^{2}t}}\cos tdt \] \[ \int\frac{x^{2}}{\sqrt{1-x^{2}}}dx=\int\sin^{2}tdt \] Con la formula di riduzione del seno \[ \sin^{2}t=\frac{1-\cos2t}{2} \] otteniamo: \[ \int\frac{x^{2}}{\sqrt{1-x^{2}}}dx=\frac{1}{2}\left(\int dt-\int\cos2tdt\right) \] \[ \int\frac{x^{2}}{\sqrt{1-x^{2}}}dx=\frac{1}{2}\left(t-\frac{1}{2}\sin2t\right)+C \] \[ \int\frac{x^{2}}{\sqrt{1-x^{2}}}dx=\frac{1}{2}\left(t-\sin t\cos t\right)+C \] Risulta quindi: \[ \int\frac{x^{2}}{\sqrt{1-x^{2}}}dx=\frac{1}{2}\arcsin x-\frac{1}{2}x\sqrt{1-x^{2}}+C \] Esercizio 3 \[ \int\frac{4\sin x}{4\cos^{2}x-8\cos x+3}dx \] Ponendo \[ t=\cos x \] ricaviamo x: \[ x=\arccos t \] e quindi \[ \frac{dx}{dt}=-\frac{1}{\sqrt{1-t^{2}}}\rightarrow dx=-\frac{1}{\sqrt{1-t^{2}}}dt \] Ora, ritornando all’integrale iniziale: \[ \int\frac{4\sin x}{4\cos^{2}x-8\cos x+3}dx=\int\frac{4\sqrt{1-t^{2}}}{4t^{2}-8t+3}\cdot\left(-\frac{1}{\sqrt{1-t^{2}}}\right)dt \] \[ \int\frac{4\sin x}{4\cos^{2}x-8\cos x+3}dx=\int\frac{-4}{4t^{2}-8t+3}dt \] \[ \int\frac{4\sin x}{4\cos^{2}x-8\cos x+3}dx=\int\frac{-4}{\left(2t-1\right)\left(2t-3\right)}dt \] Ricaviamo A e B tali che \[ \frac{-4}{\left(2t-1\right)\left(2t-3\right)}=\frac{A}{2t-1}+\frac{B}{2t-3} \] \[ \frac{-4}{\left(2t-1\right)\left(2t-3\right)}=\frac{\left(2A+2B\right)t-3A-B}{\left(t+1\right)\left(t-2\right)} \] \[ A=2\;;\; B=-2 \] L’integrale diventa: \[ \int\frac{4\sin x}{4\cos^{2}x-8\cos x+3}dx=\int\frac{2}{2t-1}dt-\int\frac{2}{2t-3}dt \] \[ \int\frac{4\sin x}{4\cos^{2}x-8\cos x+3}dx=\ln\left|2t-1\right|-\ln\left|2t-3\right|+C \] \[ \int\frac{4\sin x}{4\cos^{2}x-8\cos x+3}dx=\ln\left|\frac{2t-1}{2t-3}\right|+C \] Risulta quindi: \[ \int\frac{4\sin x}{4\cos^{2}x-8\cos x+3}dx=\ln\left|\frac{2\cos x-1}{2\cos x-3}\right|+C \]

20 thoughts on “Integrali per sostituzione – Batteria 5

  1. Ciao Albert non capisco una cosa , quando pongo T , come faccio poi a ricavare la X ? mi riesce difficile in quasi tutti gli esercizi perche’ non ho capito bene come funziona . Sembra qualche volta che sia il reciproco ma altre volte mi smentisco da solo.Aiutami per favore

  2. Ciao! Nel primo esercizio io ho aggiunto -1 e +1 al 2t al numeratore, in questo modo ho diviso l’integrale in due, cui uno presenta la derivata del denominatore al numeratore e mi viene ln(x-rad(x+2)), e il secondo integrale l’ho svolto con le costanti A e B, ottenendo (1/3)*ln(rad(x+2)-2)-(1/3)*ln(rad(x+2)+1). Il risultato non mi sembra lo stesso tuo eppure non mi sembra di avere riscontrato errori nel procedimento

    1. ho derivato il risultato di Giovanni, il suo risultato è corretto , no cè nessun errore

  3. Ciao Albert, non riesco a capire come si trova la A e la B, xkè ogni volta che svolgo l’esercizio mi trovo valori diversi.. Penso di sbagliare metodo.. Potresti spiegarmelo per piacere? Grazie

  4. Ciao albert.
    Nel primo esercizio quando si devono ricavare A e B non dovrebbe venire (A+B)t + B – 2A ????
    Grazie mille

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