Calcolare i seguenti integrali indefiniti applicando il metodo di integrazione per sostituzione:
Esercizio 1 \[ \int\frac{dx}{x-\sqrt{x+2}} \] Ponendo \[ t=\sqrt{x+2} \] ricaviamo x: \[ x=t^{2}-2 \] e quindi \[ \frac{dx}{dt}=2t\rightarrow dx=2tdt \] Ora, ritornando all’integrale iniziale: \[ \int\frac{dx}{x-\sqrt{x+2}}=\int\frac{2tdt}{t^{2}-2-t} \] \[ \int\frac{dx}{x-\sqrt{x+2}}=\int\frac{2t}{\left(t+1\right)\left(t-2\right)}dt \] Ricaviamo A e B tali che \[ \frac{2t}{\left(t+1\right)\left(t-2\right)}=\frac{A}{t+1}+\frac{B}{t-2} \] \[ \frac{2t}{\left(t+1\right)\left(t-2\right)}=\frac{\left(A+B\right)t-2A+B}{\left(t+1\right)\left(t-2\right)} \] \[ A=\frac{2}{3}\;;\; B=\frac{4}{3} \] L’integrale diventa: \[ \int\frac{dx}{x-\sqrt{x+2}}=\frac{2}{3}\int\frac{1}{t+1}dt+\frac{4}{3}\int\frac{1}{t-2}dt \] \[ \int\frac{dx}{x-\sqrt{x+2}}=\frac{2}{3}\ln\left|t+1\right|+\frac{4}{3}\ln\left|t-2\right|+C \] Risulta quindi: \[ \int\frac{dx}{x-\sqrt{x+2}}=\frac{2}{3}\ln\left(\sqrt{x+2}+1\right)+\frac{4}{3}\ln\left|\sqrt{x+2}-2\right|+C \] Esercizio 2 \[ \int\frac{x^{2}}{\sqrt{1-x^{2}}}dx \] Ponendo \[ x=\sin t \] ricaviamo t: \[ t=\arcsin x \] e quindi \[ \frac{dx}{dt}=\cos t\rightarrow dx=\cos tdt \] Ora, ritornando all’integrale iniziale: \[ \int\frac{x^{2}}{\sqrt{1-x^{2}}}dx=\int\frac{\sin^{2}t}{\sqrt{1-\sin^{2}t}}\cos tdt \] \[ \int\frac{x^{2}}{\sqrt{1-x^{2}}}dx=\int\sin^{2}tdt \] Con la formula di riduzione del seno \[ \sin^{2}t=\frac{1-\cos2t}{2} \] otteniamo: \[ \int\frac{x^{2}}{\sqrt{1-x^{2}}}dx=\frac{1}{2}\left(\int dt-\int\cos2tdt\right) \] \[ \int\frac{x^{2}}{\sqrt{1-x^{2}}}dx=\frac{1}{2}\left(t-\frac{1}{2}\sin2t\right)+C \] \[ \int\frac{x^{2}}{\sqrt{1-x^{2}}}dx=\frac{1}{2}\left(t-\sin t\cos t\right)+C \] Risulta quindi: \[ \int\frac{x^{2}}{\sqrt{1-x^{2}}}dx=\frac{1}{2}\arcsin x-\frac{1}{2}x\sqrt{1-x^{2}}+C \] Esercizio 3 \[ \int\frac{4\sin x}{4\cos^{2}x-8\cos x+3}dx \] Ponendo \[ t=\cos x \] ricaviamo x: \[ x=\arccos t \] e quindi \[ \frac{dx}{dt}=-\frac{1}{\sqrt{1-t^{2}}}\rightarrow dx=-\frac{1}{\sqrt{1-t^{2}}}dt \] Ora, ritornando all’integrale iniziale: \[ \int\frac{4\sin x}{4\cos^{2}x-8\cos x+3}dx=\int\frac{4\sqrt{1-t^{2}}}{4t^{2}-8t+3}\cdot\left(-\frac{1}{\sqrt{1-t^{2}}}\right)dt \] \[ \int\frac{4\sin x}{4\cos^{2}x-8\cos x+3}dx=\int\frac{-4}{4t^{2}-8t+3}dt \] \[ \int\frac{4\sin x}{4\cos^{2}x-8\cos x+3}dx=\int\frac{-4}{\left(2t-1\right)\left(2t-3\right)}dt \] Ricaviamo A e B tali che \[ \frac{-4}{\left(2t-1\right)\left(2t-3\right)}=\frac{A}{2t-1}+\frac{B}{2t-3} \] \[ \frac{-4}{\left(2t-1\right)\left(2t-3\right)}=\frac{\left(2A+2B\right)t-3A-B}{\left(t+1\right)\left(t-2\right)} \] \[ A=2\;;\; B=-2 \] L’integrale diventa: \[ \int\frac{4\sin x}{4\cos^{2}x-8\cos x+3}dx=\int\frac{2}{2t-1}dt-\int\frac{2}{2t-3}dt \] \[ \int\frac{4\sin x}{4\cos^{2}x-8\cos x+3}dx=\ln\left|2t-1\right|-\ln\left|2t-3\right|+C \] \[ \int\frac{4\sin x}{4\cos^{2}x-8\cos x+3}dx=\ln\left|\frac{2t-1}{2t-3}\right|+C \] Risulta quindi: \[ \int\frac{4\sin x}{4\cos^{2}x-8\cos x+3}dx=\ln\left|\frac{2\cos x-1}{2\cos x-3}\right|+C \]
Ciao Albert non capisco una cosa , quando pongo T , come faccio poi a ricavare la X ? mi riesce difficile in quasi tutti gli esercizi perche’ non ho capito bene come funziona . Sembra qualche volta che sia il reciproco ma altre volte mi smentisco da solo.Aiutami per favore
ciao! nel terzo esercizio non capisco perchè “4sinx” viene sostituito con “4 radice di 1-t^2”
grazie
Perchè sinx = 1-(cosx)^2
Ciao! Nel primo esercizio io ho aggiunto -1 e +1 al 2t al numeratore, in questo modo ho diviso l’integrale in due, cui uno presenta la derivata del denominatore al numeratore e mi viene ln(x-rad(x+2)), e il secondo integrale l’ho svolto con le costanti A e B, ottenendo (1/3)*ln(rad(x+2)-2)-(1/3)*ln(rad(x+2)+1). Il risultato non mi sembra lo stesso tuo eppure non mi sembra di avere riscontrato errori nel procedimento
Eh penso che da qualche parte tu abbia fatto un errore… prova a derivare così controlli se è giusto
ho derivato il risultato di Giovanni, il suo risultato è corretto , no cè nessun errore
nel primo esercizio non riesco a capire perchè a=2/3 e b=4/3
si pone A+B=2 (coeff di t) a sistema con -2A+B=0 (termine noto)
Ciao Albert, non riesco a capire come si trova la A e la B, xkè ogni volta che svolgo l’esercizio mi trovo valori diversi.. Penso di sbagliare metodo.. Potresti spiegarmelo per piacere? Grazie
Rivedi gli “integrali di funzioni razionali fratte”
Ciao, perchè nel secondo esercizio (nella penultima riga) c’è un dt anche se l’integrale è gia svolto?
me lo ero dimenticato, ora ho modificato :)
Ciao Albert,
Al terzo esercizio perché sostituisci anche “sinx”, non dovresti sostituire solo “cosx”?
No posso sostituire anche sinx=rad(1-(cosx)^2) se no diventa irrisolvibile
iao albert nel secondo esercizio quando sviluppi il sen2t, mi sembra che dovrebbe essere sin2t=2*sint*cost a te manca il due
Si però c’è l’ 1/2 davanti che semplifica il 2.
ciao albert scusa ma nel primo esercizio non manca il 2 che hai portato fuori?
Non ho portato fuori il 2, ho tenuto il numeratore dell’integrale uguale a 2t.
Si grazie, era un errore di trascrizione, i conti successivi rimangono giusti. Comunque ho corretto.
Ciao albert.
Nel primo esercizio quando si devono ricavare A e B non dovrebbe venire (A+B)t + B – 2A ????
Grazie mille