Media aritmetica, media geometrica e curva di concentrazione

Data la seguente tabella a doppia entrata:

a) Determinare la media geometrica di \(X\) e la mediana di \(Y\).
b) Relativamente alla \(X\), verificare la proprietà associativa della media aritmetica.
c) Ipotizzando che \(Y\) sia un carattere trasferibile, disegnare la curva di concentrazione

Soluzione

a) Estrapoliamo dalla tabella fornitaci la distribuzione delle frequenze marginali di \(X\) calcolando i valori centrali delle classi (\(m_i\)) e sommando le frequenza sulle righe:

Indicato con \(n=9+7+4=20\) il totale delle frequenze e con \(k=3\) il numero delle classi, la media geometrica (in questo caso ponderata) è data da:

\[M_g(X)=\sqrt[n]{\prod_{i=1}^k m_i^{f_{a_i}}}=\sqrt[n]{3^{9}\cdot 7.5^{7}\cdot 15^{4}}=5.7042\]

Estrapoliamo dalla tabella la distribuzione delle frequenze marginali di \(Y\) calcolando, oltre che i valori centrali delle classi (\(m_i\)) e le somme delle frequenze sulle colonne, le frequenze relative e quelle cumulate:

come si vede dalla tabella soprastante, la classe mediana è 10-20 e il valore mediano è dato da:

\[Me(Y)=10+(20-10)\frac{0.5-0.3}{0.65-0.3}=15.7143\]

b) Indicati con \(n_1\), \(n_2\) e \(n_3\) i totali di frequenza delle colonne, la proprietà associativa della media dice che la media della distribuzione marginale di \(X\) può essere anche ottenuta facendo una media pesata delle medie condizionate di \(X\), ossia:

\[M(X)=\frac{M(X|Y\in(2,10))\cdot n_1+M(X|Y\in(10,20))\cdot n_2+M(X|Y\in(20,30))\cdot n_3}{n}\]

Infatti:

\[M(X)=\frac{3\cdot 9+7.5\cdot7+15\cdot 4}{20}=6.9750\]

invece le medie condizionate valgono:

\[\begin{eqnarray*}
M(X|Y\in(2,10)&=&\frac{3\cdot 1+7.5\cdot 3+15\cdot 2}{6}=9.25\\
M(X|Y\in(10,20))&=&\frac{3\cdot 5+7.5\cdot 1+15\cdot 1}{7}=5.3571\\
M(X|Y\in(20,30))&=&\frac{3\cdot 3+7.5\cdot 3+15\cdot 1}{7}=6.6429\end{eqnarray*}\]

Sviluppando il secondo membro della proprietà associativa abbiamo:

\[\begin{align*}
&\frac{M(X|Y\in(2,10))\cdot n_1+M(X|Y\in(10,20))\cdot n_2+M(X|Y\in(20,30))\cdot n_3}{n}=\\
&=\frac{9.25\cdot 6+5.3571\cdot 7+6.6429)\cdot 7}{20}=6.9750\end{align*}\]

c) Un carattere è detto trasferibile se si può immaginare che un’unità statistica ceda il carattere posseduto in parte o del tutto a un’altra unità statistica. Ad esempio, il reddito è un carattere trasferibile, mentre invece l’età non è un carattere trasferibile.

La curva di concentrazione o curva di Lorenz è un grafico in cui si denota il grado di concentrazione del carattere in esame. In particolare, sull’asse x si graficano le frequenze relative cumulate (le \(f_c\) già calcolate) del carattere e si indicano con \(P_i\); mentre sull’asse y si graficano le intensità relative cumulate (\(m_i\cdot f_{a_i}\)/(intensità totale) del carattere chiamate \(Q_i\):

Rappresentiamo la curva di Lorenz graficamente: