Calcolo probabilità con l’uso della definizione classica

Da un lotto di 20 macchine, ne vengono scelte 2 in modo casuale. Sapendo
che 5 delle 20 macchine sono difettose, calcolare:
a) la probabilità che la prima macchina scelta sia difettosa;
b) la probabilità che la seconda macchina scelta sia difettosa sapendo che la prima non lo è;
c) calcolare il numero medio di macchine difettose.

Soluzione

Indichiamo con \(n\) il numero di casi possibili e con \(k\) il numero dei casi favorevoli.

a) Possiamo calcolare la probabilità mediante l’uso della definizione frequentista:

\[p=\frac{k}{n}\]

con \(n=20\) e \(k=5\), ossia:

\[p=\frac{5}{20}=0.25\]

b) Se l’estrazione viene fatta senza reimmissione, il numero dei casi favorevoli non cambia ed è sempre \(k=5\), mentre il numero dei casi possibili è \(n=20-1=19\) visto che è stata già fatta un’estrazione:

\[p=\frac{5}{19}=0.2632\]

Se invece la macchina estratta viene reimmessa nel lotto, la probabilità è equivalente a quella del punto a).

c) Se indichiamo con

• \(X\) la variabile aleatoria che conta il numero di macchine difettose estratte con reimmissione,
• \(n=2\) il numero di estrazioni equiprobabili e indipendenti,
• \(p=5/20=0.25\) la probabilità di ottenere una macchina difettosa da una singola estrazione

possiamo dire che \(X\) ha distribuzione binomiale con parametri \(n\) e \(p\) (in simboli \(X\sim B(n,p)\)).

Il valore atteso \(E(X)\) di una distribuzione binomiale è dato dal prodotto \(n\cdot p):

\[E(X)=n\cdot p=2\cdot 0.25=0.5\]