Intervallo di confidenza per la media della popolazione

In una recente ispezione in una azienda, è stato misurato il rumore (in decibel) in 74 sale. La media delle misure ottenuto è stata 61.3 e lo scarto quadratico medio campionario 7.8. Calcolare un intervallo di confidenza al 90% per la media dei decibel a cui sono esposti i lavoratori dell’azienda.

Soluzione

Sia \(n=74\) il campione estratto dalla popolazione, \(\overline{x}=61.3\) la sua media campionaria, e \(s=7.8\) il suo scarto quadratico medio.
Poichè la varianza della popolazione è incognita, ricaviamo il valore critico della distribuzione t di Student necessario per scrivere l’intervallo di confidenza. Calcoliamo dapprima il livello di significatività \(\alpha\):

\[1-\alpha=0.9\ \Rightarrow\ \alpha = 0.1\]

I gradi di libertà sono dati da \(\nu=n-1=73\)

Il valore critico si ricava dalla tavola della distribuzione t di student:

\[t_{\frac{\alpha}{2},\nu}=t_{\frac{0.1}{2},73}=t_{0.05,73}=1.666\]

Calcoliamo l’intervallo di confidenza richiesto:

\[\begin{eqnarray*}
IC_{90\%}&=&\overline{x}\pm t_{\frac{\alpha}{2},\nu}\frac{s}{\sqrt{n}}\\
&=& 61.3\pm 1.666\frac{7.8}{\sqrt{74}}=\\
&=& 61.3\pm 1.51\end{eqnarray*}\]

ossia,

\[IC_{90\%}=(61.3-1.51,61.3+1.51)=(59.79,62.81)\]

In pratica, nella popolazione dei rumori (in decibel) nell’azienda, la media si troverà nell’intervallo \((59.79,62.81)\) con il 90% delle probabilità.

Metodo alternativo con l’approssimazione alla distribuzione normale

Dato che il campione è abbastanza grande (\(n > 30\)), lo scarto quadratico medio campionario è molto vicino a quello reale \(\sigma\) (della popolazione). In virtù di ciò, l’intervallo di confidenza si può calcolare imponendo \(s=\sigma=7.8\) e utilizzando il valore critico della distribuzione normale:

\[IC_{90\%}=\overline{x}\pm z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\]

Ovviamente otterremmo analoghi risultati.