Quartili, percentili e probabilità di una distribuzione normale

Di una variabile casuale \(X\) con distribuzione normale si sa che il terzo quartile è pari a 5 e il primo decile è pari a -0.84. Calcolare la media e la varianza di \(X\) e calcolare le seguenti probabilità:

a) \(P(X>3)\);
b) \(P(X<-3)\);
c) \(P(1 < X < 2)\).

Soluzione

Il terzo quartile è quel valore di \(X\) in cui la funzione di ripartizione cumulata vale 0.75, mentre il primo decile è quel valore di \(X\) in cui la funzione di ripartizione cumulata vale 0.1. Dunque, per trovare media \(\mu\) e varianza \(\sigma\) di \(X\), indicando con \(F(x)\) la sua funzione di ripartizione cumulata, dobbiamo risolvere il seguente sistema:

\[\begin{cases}
F(5)=0.75\\
F(-0.84)=0.1\end{cases}\]

Ricordando la formula di standardizzazione usata nell’esame 1 (METTERE LINK) per una variabile distribuita normalmente, la prima equazione equivale a:

\[\begin{align*}
P(X\leq 5)&=0.75\\
P\left(Z\leq \frac{5-\mu}{\sigma}\right)&=0.75\end{align*}\]

Leggendo le tavole della distribuzione normale, il valore di probabilità 0.75 corrisponde al valore \(z=0.67\) e quindi ricaviamo:

\[\frac{5-\mu}{\sigma}=0.67\]

Analogamente, la seconda equazione del sistema suddetto equivale a:

\[\begin{align*}
P(X\leq -0.84)&=0.1\\
P\left(Z\leq \frac{-0.84-\mu}{\sigma}\right)&=0.1\end{align*}\]

Essendo 0.1 un valore di probabilità non tabulato nelle tavole della distribuzione normale standard e sfruttando la proprietà di simmetria, riscriviamo l’ultima equazione come segue:

\[\begin{align*}
1-P\left(Z\leq \frac{-0.84-\mu}{\sigma}\right)&=1-0.1\\
P\left(Z > \frac{-0.84-\mu}{\sigma}\right)&=0.9\\
P\left(Z < \frac{0.84+\mu}{\sigma}\right)&=0.9\end{align*}\]

ottenendo, infine, il valore di \(z\) tabulato nella tavola corrispondente alla probabilità 0.9:

\[\frac{0.84+\mu}{\sigma}=1.28\]

A questo punto, risolvendo il sistema delle due equazioni ottenute nelle due incognite \(\mu\) e \(\sigma\)

\[\begin{cases}
\frac{5-\mu}{\sigma}=0.67\\
\frac{0.84+\mu}{\sigma}=1.28\end{cases}\]

otteniamo \(\mu=\sigma=2.99\).

Fatto ciò, possiamo calcolare le probabilità richieste:

a) \[\begin{eqnarray*}
P(X>3) &=& P\left(Z > \frac{3-2.99}{2.99}\right)=\\
&=& P(Z > 0.0033)=\\
&=& 1-P(Z \leq 0.0033)=\\
&=& 1-0.5=0.5\end{eqnarray*}\]

b) \[\begin{eqnarray*}
P(X < -3)&=&P\left(Z < \frac{-3-2.99}{2.99}\right)=\\
&=&P(Z < -2.0033)=\\
&=& 1-P(Z \leq 2.0033)=\\
&=&1-0.9772=0.0228\end{eqnarray*}\]

c) \[\begin{eqnarray*}
P(1 < X < 2)&=&P\left(\frac{1-2.99}{2.99} < Z < \frac{2-2.99}{2.99}\right)=\\
&=&P(-0.67 < Z < -0.33)=\\
&=& P(0.33 < Z < 0.67)=\\
&=&P(Z < 0.67)- P(Z < 0.33)=\\
&=& 0.7486-0.6293=0.1193\end{eqnarray*} \]