Esercizio generico sul calcolo delle probabilità

Ad un tizio viene proposto di scommettere sul numero di successi ottenuti in 10 prove, consistenti nel lancio di una moneta truccata. Definito come successo l’uscita della faccia “testa” \(T\), al tizio conviene giocare con una moneta per la quale \(p(T) = 0,42\) scommettendo che si otterranno esattamente 3 successi, oppure con una moneta per la quale \(p(T) = 0,55\) scommettendo che si otterranno almeno 8 successi?

Soluzione

Indicato con \(X\) il numero di successi su \(n=10\) prove nel lancio della moneta (cioè il numero di teste ottenute) e con \(p\) la probabilità di ottenere testa in un lancio, \(X\) ha distribuzione binomiale con parametri \(n\) e \(p\) (in simboli \(X\sim B(n,p)\). La probabilità che \(X\) assuma un certo valore \(x=0,1,\dots ,10\) si calcola con la formula:

\[P(X=x)={n\choose x}\cdot p^x\cdot (1-p)^{n-x}\]

Esaminiamo la prima scelta: la probabilità di ottenere esattamente 3 successi vale

\[\begin{eqnarray*}
P(X=3) &=& {10\choose 3}\cdot 0.42^3\cdot (1-0.42)^{10-3}=\\
&=& \frac{10!}{3!\cdot 7!}\cdot 0.42^3\cdot 0.58^7=\\
&=& \frac{10\cdot \cancel{9}^{3}\cdot\cancel{8}^4\cdot \cancel{7!}}{\cancel{3}\cdot\cancel{2}\cdot\cancel{7!}}\cdot 0.42^3\cdot 0.58^7=0.1963\end{eqnarray*}\]

Esaminiamo la seconda scelta: la probabilità di ottenere almeno 8 successi è data da:

\[\begin{eqnarray*}
P(X\geq 8) &=& P(X=8)+P(X=9)+P(X=10)=\\
&=& {10\choose 8}\cdot 0.55^8\cdot 0.45^2+{10\choose 9}\cdot 0.55^9\cdot 0.45^1+{10\choose 10}\cdot 0.55^{10}\cdot 0.45^0=\\
&=& \frac{10!}{8!\cdot 2!}\cdot 0.55^8\cdot 0.45^2+\frac{10!}{9!}\cdot 0.55^9\cdot 0.45+0.55^{10}=\\
&=& \frac{\cancel{10}^5\cdot 9\cdot\cancel{8!}}{\cancel{8!}\cdot\cancel{2}}\cdot 0.55^8\cdot 0.45^2+10\cdot0.55^9\cdot 0.45+0.55^{10}=0.0996\end{eqnarray*}\]

Poichè alla prima scelta corrisponde una probabilità di successo superiore rispetto alla seconda, al tizio conviene giocare con una moneta per la quale \(p(T) = 0,42\) scommettendo che si otterranno esattamente 3 successi.