Interpolazione e numeri indici a base fissa e mobile

Il prezzo del bene X ha avuto il seguente andamento negli ultimi 7 anni:

Interpolare l’andamento del prezzo in funzione del tempo e misurare la bontà di adattamento del modello.
Costruire quindi le serie dei numeri indici del prezzo, a base mobile e a base fissa 2014 = 100.

Soluzione

Supponiamo come origine dei tempi l’anno 2013. Quindi, l’anno 2013 corrisponde al tempo \(t=0\), l’anno 2014 corrisponde a \(t=1\), l’anno 2012 corrisponde a \(t=-1\) e cosi via. I valori da interpolari saranno:

Indicato con \(T\) la variabile tempo, dobbiamo trovare i coefficienti \(a\) e \(b\) del modello

\[X=a+bT\]

Prima calcoliamo i valori medi \(\overline{t},\ \overline{x}\), le varianze corrette \(s_t^2,\ s_x^2\) delle due variabili e la loro covarianza \(s_{tx}\) :

\[\begin{eqnarray*}
\overline{t} &=& \frac{-3-2-1+0+1+2+3}{7}=0\\
\overline{x} &=& \frac{2.01+2.05+2.13+2.19+2.15+2.2+2.25}{7}=2.14\\
s_t^2 &=& \frac{(-3)^2+(-2)^2+(-1)^2+0^2+1^2+2^2+3^2-7\cdot 0^2}{6}=4.6667\\
s_x^2 &=& \frac{2.01^2+2.05^2+2.13^2+2.19^2+2.15^2+2.2^2+2.25^2-7\cdot 2.14^2}{6}=0.0072\\
s_{tx} &=& \frac{-3\cdot 2.01-2\cdot 2.05-1\cdot 2.13+0\cdot 2.19+1\cdot 2.15+2\cdot 2.2+3\cdot 2.25-7\cdot 0\cdot 2.14}{6}=0.1733\end{eqnarray*}\]

Dunque, i coefficiente del modello si ricavano dal seguente sistema:

\[\begin{cases}
b=\frac{s_{tx}}{s_t^2}=\frac{0.1733}{4.6667}=0.0371\\
a=\overline{x}-b\overline{t}=2.14-0.0371\cdot 0=2.14\end{cases}\]

La retta interpolatrice è \(X=2.14+0.0371T\).

La bontà del modello è dettata dal coefficiente di determinazione \(R^2\) che nel caso di un modello di regressione lineare semplice coincide con il coefficiente di correlazione al quadrato:

\[r_{tx}=\frac{s_{tx}}{\sqrt{s_t^2\cdot s_x^2}}=\frac{0.1733}{\sqrt{4.6667\cdot 0.0072}}=0.9434\]

da cui

\[R^2=r_{tx}^2=0.9434^2=0.8901\]

Essendo \(R^2\) un valore abbastanza vicino a 1, la bontà di adattamente è elevata.

I numeri indici a base fissa 2014 e mobile vengono calcolati come nella tabella qui presente: