Sia \(X\sim N(\mu=60;\sigma^2=49)\).Determinare il valore del terzo decile della distribuzione.

Soluzione

Il terzo decile è quel valore \(x^*\) tale per cui \(P(X\leq x^*)=0.3\).

Applicando la formula di standardizzazione otteniamo
\(P(X\leq x^*)=P\left(Z\leq\frac{x^*-60}{\sqrt{49}}\right)=P\left(Z\leq\frac{x^*-60}{7}\right)\)

Dato che 0.3 è un valore di probabilità \(< 0.5\), il valore critico corrispondente \(z^*=\frac{x^*-60}{7}\) sarà negativo e quindi non tabulato nelle tavole della distribuzione normale. A tal proposito, sfruttando le proprietà di simmetria della distribuzione normale, eseguiamo i seguenti passaggi:

\(\begin{eqnarray}
P\left(Z\leq\frac{x^*-60}{7}\right) &=& 0.3\\
P\left(Z\leq -\frac{x^*-60}{7}\right) &=& 0.7\end{eqnarray}\)

Consultando adesso la tavola della distribuzione normale, si può verificare che il valore di probabilità 0.7 corrisponde a \(z^*=-\frac{x^*-60}{7}=0.52\) da cui si ricava \(x^*=56.36\).