I numeri complessi estendono i numeri reali con l’unità immaginaria $i = \sqrt{-1}$. In questa pagina trovi numeri complessi esercizi svolti passo per passo: forma algebrica, modulo, argomento, operazioni, formula di De Moivre e radici $n$-esime.

Forma algebrica e operazioni

Un numero complesso in forma algebrica: $z = a + bi$, con $a = \text{Re}(z)$ (parte reale) e $b = \text{Im}(z)$ (parte immaginaria).

Somma: $(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i$

Prodotto: $(a+bi)(c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i$

Coniugato: $\bar{z} = a - bi$

Modulo: $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$

Inverso: $z^{-1} = \dfrac{\bar{z}}{|z|^2} = \dfrac{a - bi}{a^2 + b^2}$

Forma trigonometrica (polare)

$z = |z|(\cos\theta + i\sin\theta) = |z|e^{i\theta}$

dove $\theta = \text{arg}(z)$ è l’argomento (l’angolo con l’asse reale positivo).

Esercizi svolti sui numeri complessi

Esercizio 1 — Operazioni in forma algebrica

Testo: Dati $z_1 = 3 + 2i$ e $z_2 = 1 - i$, calcolare $z_1 + z_2$, $z_1 \cdot z_2$ e $z_1 / z_2$.

Svolgimento:

Somma: $z_1 + z_2 = (3+1) + (2-1)i = 4 + i$

Prodotto: $z_1 \cdot z_2 = (3\cdot1 - 2\cdot(-1)) + (3\cdot(-1) + 2\cdot1)i = 5 - i$

Divisione: moltiplichiamo per il coniugato di $z_2 = 1+i$:

$$\frac{z_1}{z_2} = \frac{(3+2i)(1+i)}{(1-i)(1+i)} = \frac{3 + 3i + 2i + 2i^2}{1+1} = \frac{3 + 5i - 2}{2} = \frac{1 + 5i}{2} = \frac{1}{2} + \frac{5}{2}i$$

Esercizio 2 — Forma trigonometrica

Testo: Scrivere $z = 1 + i$ in forma trigonometrica.

Svolgimento:

$|z| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$

$\theta = \arctan\left(\dfrac{1}{1}\right) = \dfrac{\pi}{4}$ (primo quadrante)

$$z = \sqrt{2}\left(\cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4}\right)$$

Esercizio 3 — Formula di De Moivre

Testo: Calcolare $(1 + i)^8$ usando De Moivre.

Svolgimento:

Dalla forma trigonometrica $z = \sqrt{2}e^{i\pi/4}$:

$$z^8 = (\sqrt{2})^8 \cdot e^{i \cdot 8 \cdot \pi/4} = 16 \cdot e^{i2\pi} = 16(\cos 2\pi + i\sin 2\pi) = 16$$

Risultato: $(1+i)^8 = 16$

Esercizio 4 — Radici $n$-esime

Testo: Trovare le radici cubiche di $-8$.

Svolgimento:

$-8 = 8e^{i\pi}$ (modulo 8, argomento $\pi$). Le radici cubiche:

$$\sqrt[3]{-8} = \sqrt[3]{8}\cdot e^{i(\pi + 2k\pi)/3} = 2e^{i(\pi/3 + 2k\pi/3)}, \quad k = 0, 1, 2$$

• $k=0$: $2(\cos\tfrac{\pi}{3} + i\sin\tfrac{\pi}{3}) = 2(\tfrac{1}{2} + i\tfrac{\sqrt{3}}{2}) = 1 + i\sqrt{3}$
• $k=1$: $2(\cos\pi + i\sin\pi) = -2$
• $k=2$: $2(\cos\tfrac{5\pi}{3} + i\sin\tfrac{5\pi}{3}) = 1 - i\sqrt{3}$

Verifica: $(-2)^3 = -8$ ✓

Domande frequenti