disequazioni di grado superiore
Ora possiamo affrontare lo studio di disequazioni di grado 3,4,5…. Per poter procedere al meglio pero’ devi saper fare bene le scomposizioni in generale e la scomposizione di Ruffini in particolare,
Devi scomporre le espressioni in fattori di primo e secondo grado e quindi applicare i metodi gia’ visti Alcuni esempi ti chiariranno meglio come procedere
\(x^4 - 5x^3 + 5x^2 + 5x - 6 > 0\)svolgimento \(x^4 - 5x^2 +4 0\)svolgimento \(x^4 + x^3 -3x^2 - 4x - 4 ------------------------------ x^3 + 3x^2 + x + 3\) < 0 svolgimento
\(x^4 - 16 ---------------------- x^4 + x^3 - x - 1\)
\(\geq\) 0 svolgimento
esercizio su disequazione di quarto grado
Esercizio su disequazione di quarto grado risolviamo la disequazione: \(x^4 - 5x^3 + 5x^2 + 5x - 6 > 0\) Considero il polinomio associato \(x^4 - 5x^3 + 5x^2 + 5x - 6 =\) devo scomporlo in fattori; sono 5 termini, non riesco a fare dei raggruppamenti, quindi applico la scomposizione di Ruffini provo a scomporre per: \((x-1), P(1)= 1^4 -5 \cdot 1^3 +5 \cdot 1^2 +5 \cdot 1 - 6 = 1 - 5 + 5 - 5 + 6 = 0\) quindi (x-1) e’ un fattore: divido per (x-1) faccio la divisione di Ruffini \(1\) \(-5\) \(5\) \(5\) \(-6\)
\(1\) \(1\) \(-4\) \(1\) \(6\)
\(1\) \(-4\) \(1\) \(6\)
Ottengo quindi \(x^4 - 5x^3 + 5x^2 + 5x - 6 = (x-1)(x^3 -4x^2 + x + 6) =\) Continuo la scomposizione del secondo fattore: sono 4 termini:
- Non e’ il cubo di un binomio
- non e’ un raccoglimento parziale
- non mi sembra un raggruppamento
- quindi applico la scomposizione di Ruffini
provo a scomporre per \((x-1), P(1)= 1^3 -4 \cdot 1^2 + 1 - 6 = 1 - 4 + 1 + 6 0\) \((x+1), P(1)= (-1)^3 -4 \cdot (-1)^2 +(-1) - 6 = -1 - 4 - 1 + 6= 0\) Quindi (x+1) e’ un fattore; divido per (x+1) \(1\) \(-4\) \(1\) \(6\)
\(-1\) \(-1\) \(5\) \(-6\)
\(1\) \(-5\) \(6\)
quindi ottengo \(x^4 - 5x^3 + 5x^2 + 5x - 6 = (x-1)(x^3 -4x^2 + x + 6) = (x-1)(x+1)(x^2-5x+6)\) Ora devo decidere se voglio fare la disequazione con fattori di primo e secondo grado oppure solo con fattori di primo grado scomponendo anche l’ultimo fattore tra parentesi. Un metodo vale l’altro: per scomporre l’ultimo termine posso applicare la scomposizione del trinomio notevole, cioe’ \(x^2-5x+6=(x-2)(x-3)\) e quindi avro’: \(x^4 - 5x^3 + 5x^2 + 5x - 6 = (x-1)(x+1)(x-2)(x-3) > 0\) poniamo ogni fattore maggiore di zero
- x – 1 > 0 x > 1
- x + 1 > 0 x > -1
- x – 2 > 0 x > 2
- x – 3 > 0 x > 3
[figura: disequazione78.jpg]
Adesso riporto i risultati su un grafico indicando con un un + dove ogni disequazione e’ verificata e con un – dove non e’ verificata e faccio il conto dei segni: devo prendere gli intervalli dove il prodotto dei segni dei fattori (cioe’ il segno dell’espressione) risulta positivo. Ottengo come risultato: x < -1 U 1 < x < 2 U x > 3
Esercizio
Esercizio risolviamo la disequazione: \(x^4 - 5x^2 +4 0\) Considero il polinomio associato \(x^4 - 5x^2 +4 =\) devo scomporlo in fattori; sono 3 termini, se faccio la sostituzione x\(^{^2}\) = y ottengo \(x^2 - 5x +4 =\) questo posso scomporlo come trinomio notevole \(x^2 - 5x +4 = (y - 1)(y - 4)\) ora rimetto x\(^{^2}\) al posto di y \(x^4 - 5x^2 +4 = (x^2 - 1)(x^2 - 4)\) Ora devo decidere se voglio fare la disequazione con fattori di secondo grado oppure solo con fattori di primo grado scomponendo anche gli ultimi fattori tra parentesi. Un metodo vale l’altro: noi utilizzeremo fin dove possibile fattori di primo grado Dentro parentesi sono due termini e precisamente la differenza fra due quadrati cioe’ \(x^2 - 1 =(x - 1)(x + 1) x^2 - 4 =(x - 2)(x + 2)\) e quindi avro’: \(x^4 - 5x^2+ 4 = (x - 1)(x + 1)(x - 2)(x + 2) > 0\) poniamo ogni fattore maggiore di zero
- x – 1 > 0 x > 1
- x + 1 > 0 x > -1
- x – 2 > 0 x > 2
- x + 2 > 0 x > – 2
[figura: disequazione79.jpg]
Adesso riporto i risultati su un grafico indicando indicando con un un + dove ogni disequazione e’ positiva e con un – dove e’ negativa e con un cerchietto i punti dove il fattore vale zero ed e’ accettabile e faccio il conto dei segni: devo prendere gli intervalli dove il prodotto dei segni dei fattori (cioe’ il segno dell’espressione) risulta negativo o nullo. Ottengo come risultato: \(-2 x -1 U 1 x 2\)
Posso sempre trasformare in fattori di primo grado, a meno che l’equazione associata al trinomio abbia soluzioni complesse. In questo caso, essendo il discriminate dell’equazione minore di zero avremo che il polinomio sara’ sempre positivo (naturalmente se a>0)
Esercizio risolviamo la disequazione: \(x^4 + x^3 -3x^2 - 4x - 4 ------------------------------ x^3 + 3x^2 + x + 3\) < 0
Scomponiamo in fattori sia il numeratore che il denominatore
Scomposizione del numeratore Considero il polinomio associato \(x^4 + x^3 - 3x^2 - 4x - 4 =\) devo scomporlo in fattori; sono 5 termini, non riesco a fare dei raggruppamenti, quindi applico la scomposizione di Ruffini provo a scomporre per: (x-1), P(1)= 1\(^{^4}\) + 1\(^{^3}\) -3·1\(^{^2}\) – 4·1 – 4 = 1 + 1 – 3 – 4 – 4
\(\neq\) 0 (x+1), P(-1)= (-1)\(^{^4}\) + (-1)\(^{^3}\) -3·(-1)\(^{^2}\) – 4·(-1) – 4 = 1 – 1 – 3 + 4 – 4
\(\neq\) 0 (x-2), P(2)= 2\(^{^4}\) + 2\(^{^3}\) -3·2\(^{^2}\) – 4·2 – 4 = 16 + 8 – 12 – 8 – 4 = 0 quindi (x-2) e’ un fattore: divido per (x-2) faccio la divisione di Ruffini \(1\) \(1\) \(-3\) \(-4\) \(-4\)
\(2\) \(2\) \(6\) \(6\) \(4\)
\(1\) \(3\) \(3\) \(2\)
Ottengo quindi \(x^4 + x^3 - 3x^2 - 4x - 4 = (x-2)(x^3 + 3x^2 + 3x + 2) =\) Continuo la scomposizione del secondo fattore: sono 4 termini:
- Non e’ il cubo di un binomio
- non e’ un raccoglimento parziale
- non mi sembra un raggruppamento
- quindi applico la scomposizione di Ruffini
provo a scomporre per l’ultimo fattore che era valido \((x-2), P(2)= 2^3 +3 \cdot 2^2 + 3 \cdot 2 + 2 = 8 + 12 + 6 + 2 0\) \((x+2), P(-2)= (-2)^3 +3 \cdot (-2)^2 +3 \cdot (-2) + 2 = -8 + 12 - 6 + 2 = 0\) Quindi (x+2) e’ un fattore; divido per (x+2) \(1\) \(3\) \(3\) \(2\)
\(-2\) \(-2\) \(-2\) \(-2\)
\(1\) \(1\) \(1\)
quindi ottengo \(x^4 + x^3 - 3x^2 - 4x - 4 = (x-2)(x^3 +3x^2 + 3x + 2) = (x-2)(x+2)(x^2+x+1)\) Ora provo a scomporre l’ultimo fattore
- Non e’ il quadrato di un binomio
- Non e’ un trinomio notevole
- Non si puo’ scomporre con Ruffini (i fattori possibili sono +1 e -1 che abbiamo gia’ provato)
Scomposizione del denominatore Considero il polinomio associato \(x^3 + 3x^2 + x + 3=\) sono 4 termini:
- Non e’ il cubo di un binomio
- Puo’ essere un raccoglimento parziale
- L’ultimo fattore non e’ scomponibile.
- provo a scomporre come raccoglimento parziale \(x^3 + 3x^2 + x + 3 = x^2(x+3) + 1(x+3) = (x+3)(x^2 + 1)\) L’ultimo fattore (2 termini) come somma di quadrati non e’ scomponibile
quindi ottengo \((x-2)(x+2)(x^2+x+1) ------------------------- (x+3)(x^2 + 1)\) < 0
poniamo ogni fattore maggiore di zero
- x – 2 > 0 x > 2
- x + 2 > 0 x > -2
- \(x^2+x+1 > 0 sempre verificato (delta minore di zero)\)
- x + 3 > 0 x > -3
- \(x^2 + 1 > 0 sempre verificato (delta minore di zero)\)
[figura: disequazione80.jpg]
Adesso riporto i risultati su un grafico indicando con un un + dove ogni disequazione e’ verificata e con un – dove non e’ verificata e faccio il conto dei segni: devo prendere gli intervalli dove il prodotto ed il quoziente dei segni dei fattori (cioe’ il segno dell’espressione) risulta negativo. Ottengo come risultato: x < -3 U -2 < x < 2
Nota che avrei potuto tralasciare i due fattori con delta minore di zero perche’,essendo positivi, non influiscono sul segno del risultato
Esercizio su disequazione di quarto grado risolviamo la disequazione: \(x^4 - 16 ---------------------- x^4 + x^3 - x - 1\)
Scomponiamo in fattori sia il numeratore che il denominatore
Scomponiamo il denominatore Considero il polinomio associato \(x^4 + x^3 - x - 1 =\) sono 4 termini:
- Non e’ il cubo di un binomio
- Puo’ essere un raccoglimento parziale
- Scomposizione del numeratore Considero il polinomio associato \(x^4 - 16 =\) devo scomporlo in fattori; sono 2 termini,e’ una differenza di quadrati \(x^4 - 16 = (x^2 - 4)(x^2 + 4) =\) il primo fattore e’ ancora una differenza di quadrati mentre il secondo come somma di quadrati non e’ piu’ scomponibile \(= ( x - 2)(x + 2)(x^2 + 4)\)
- provo a scomporre come raccoglimento parziale \(x^4 + x^3 - x - 1 = x^3(x+1) - 1(x+1) = (x+1)(x^3 - 1) =\) L’ultimo fattore (2 termini) come differenza di cubi e’ scomponibile, quindi ottengo \(= (x+1)(x-1)(x^2+x+1)\) L’ultimo fattore non e’ piu’ scomponibile
quindi ottengo \(( x - 2)(x + 2)(x^2 + 4) ------------------------------ (x+1)(x-1)(x^2+x+1)\)
\(\geq\) 0
Poniamo ogni fattore del numeratore maggiore od uguale a 0 ed ogni fattore del denominatore solamente maggiore di zero (lo zero non puo’ mai essere al denominatore)
x – 2
\(\geq\) 0 x
x + 2
\(\geq\) 0 x
- \(\geq\) 2
- \(\geq\) -2
- \(x^2 + 4 0 sempre vero (delta minore di zero)\)
- x + 1 > 0 x > -1
- x – 1 > 0 x > 1
- \(x^2+x+1 > 0 sempre vero (delta minore di zero)\)
[figura: disequazione81.jpg]
Adesso riporto i risultati su un grafico indicando con un un + dove ogni disequazione e’ verificata e con un – dove non e’ verificata inoltre indico con un cerchietto i punti dove il fattore vale zero ed e’ accettabile e poi faccio il conto dei segni: devo prendere gli intervalli dove il prodotto dei segni dei fattori (cioe’ il segno dell’espressione) risulta positivo o nullo. Ottengo come risultato: x -2 U -1 < x < 1 U x 2
Nota che anche qui avrei potuto tralasciare i due fattori con delta minore di zero perche’,essendo positivi, non influiscono sul segno del risultato
disequazioni con moduli
E’ un particolare tipo di disequazioni che pero’ sono usate abbastanza spesso: approfittiamone anche per sviluppare meglio il concetto di disuguaglianza fra valori assoluti
- Riprendiamo il concetto di valore assoluto
- Disuguaglianze fra valori assoluti
- Esercizi
concetto di valore assoluto
Riprendiamo il concetto di valore assoluto
In pratica il concetto di valore assoluto di un numero e’ quello di considerare il numero stesso senza che abbia un segno: siccome dai numeri razionali in avanti ogni numero (tranne lo 0) ha un segno dovremo far coincidere il valore assoluto sempre con il numero con segno positivo perche’ e’ quello che meglio coincide con il numero senza segno ti ricordo che partendo dai naturali, senza segno, passando ai numeri razionali, abbiamo trasformato tali numeri nel sottoinsieme positivo dei numeri interi quindi se il numero e’ negativo lo cambieremo di segno, mentre, se e’ positivo. lo prenderemo cosi’ com’e’; vedi anche a questa pagina Arriviamo quindi alla definizione matematica
Si definisce modulo di x e si scrive | x | lo stesso x se x e' positivo x cambiato di segno (cioe' -x) se x e' negativo In simboli: | x | = x se x > 0 | x | = -x se x < 0
Essendo 0 e’ l’unico numero senza segno la scrittura | 0 | non ha significato Ricordo che il modulo di un numero equivale ad elevare al quadrato il numero ed estrarne la radice aritmetica
Esempio calcolare il valore della seguente espressione ||-2 + 5 + 1| – |+4 – 3 -6|| = parto dai moduli interni, eseguo i calcoli dentro i moduli =||+4| – |-5|| = faccio sparire i moduli interni prendendo la determinazione positiva dei loro argomenti (numeri interni) =|+4 – (+5)| = faccio cadere la parentesi =|+ 4 – 5| = somma algebrica =|- 1| = tolgo il modulo cambiando di segno a -1 essendo questo negativo = 1
disuguaglianze fra valori assoluti
Disuguaglianze fra valori assoluti Dimostriamo adesso alcune disuguaglianze che utilizzano i valori assoluti e che troveremo sia negli esercizi che in vari ambiti matematici
- Disuguaglianza fra un modulo ed un numero reale positivo
- il modulo di una somma e’ minore della somma dei moduli
- modulo della differenza dei moduli
disuguaglianza fra un modulo ed un numero reale positivo
Disuguaglianza fra un modulo ed un numero reale positivo Troveremo questa disuguaglianza soprattutto quando dovremo verificare il valore di un limite di successione o di funzione Vale sempre, essendo b un numero reale positivo; |a|≤b ⇔ -b ≤ a ≤ b ed anche |a| Cioe’ se un modulo e’ minore di un numero reale si puo’ togliere il modulo ponendone l’argomento compreso fra i valori negativo e positivo del numero reale:
Dimostrazione a puo’ essere positivo, nullo oppure negativo prima considero il caso positivo o nullo, poi il caso negativo supponiamo che a sia positivo o nullo allora avremo sicuramente a≥-b ed inoltre essendo |a|≤b questo implica a ≤ b (per ipotesi a e’ positivo e b e’ positivo) quindi raccogliendo ottengo -b ≤ a ≤ b come volevo Suppongo che a sia negativo; allora risulta certamente a < b; inoltre la disuguaglianza |a|
Esempio Risolvere la seguente equazione |x – 4| ≤ 2x+3 applico la regola per togliere il modulo -2x -3 ≤ x-4 ≤ 2x +3 questa scrittura equivale a risolvere contemporaneamente le disequazioni
[figura: graffanera.jpg]
-2x -3 ≤ x-4 x-4 ≤ 2x +3
[figura: graffanera.jpg]
-2x-x ≤ +3-4 x-2x ≤ 4 +3
[figura: graffanera.jpg]
-3x ≤ -1 -x ≤ 7 cambio di segno e verso
[figura: graffanera.jpg]
3x ≥ 1 x ≥ 7
[figura: graffanera.jpg]
x ≥ 1/3 x ≥ -7 Siccome devo considerare ove sono entrambe verificate la soluzione sara’ data dai valori comuni, cioe’ -7 1/3
x ≥ 1/3 °‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾
x ≥ -7 °‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾
dove abbiamo entrambe le linee spesse, quindi x ≥ 1/3
modulo della somma minore della somma dei moduli
il modulo di una somma e' minore od uguale alla somma dei moduli Se p e qsono numeri reali, vale sempre la disuguaglianza |p + q|≤ |p| + |q| cioe’
Il modulo di una somma e' sempre minore od uguale alla somma dei moduli
Dimostrazione partiamo dalla disuguaglianze -|p| ≤ p ≤ |p| -|q| ≤ q ≤ |q| Tali disuguaglianze sono ovvie: infatti ogni numero reale e’ maggiore od uguale del suo modulo cambiato di segno ed e’ minore od uguale al suo modulo sommo termine a termine -|p| -|q| ≤ p + q ≤ |p| + |q| Raccolgo il meno, raggruppo con le parentesi ed ottengo -(|p| +|q|) ≤ (p + q) ≤ (|p| + |q|) Visto il risultato della pagina precedente questo equivale a dire | p + q | ≤ |p| + |q| come volevamo
spiego meglio il passaggio finale: dalla relazione |a|≤b ⇔ -b ≤ a ≤ b letta alla rovescia -b ≤ a ≤ b ⇔ |a|≤b se al posto di a pongo p+q ed al posto di b pongo |p|+|q| ottengo -(|p| +|q|) ≤ (p + q) ≤ (|p| + |q|) ⇔ |p+q|≤ |p|+|q|
modulo della differenza fra moduli
il modulo della differenza fra due moduli e' maggiore od uguale alla differenza fra i moduli stessi Se p e q sono numeri reali, vale sempre la disuguaglianza ||p| – |q|| ≥ |p| – |q| cioe’
Il modulo della differenza fra due moduli e' sempre maggiore od uguale alla differenza fra i moduli stessi
perche’ scrivo cosi’
Dimostrazione Per la dimostrazione osserviamo che, per ogni numero reale m vale sempre |m| ≥ m pongo m = |p| – |q| vista l’osservazione precedente, posso scrivere ||p| – |q|| = |m| ≥ m = |p| – |q| e per la proprieta’ transitiva delle uguaglianze/disuguaglianze ||p| – |q|| ≥ |p| – |q| come volevamo
perche' scrivo cosi'
perche' scrivo cosi' In pratica non faccio altro che “leggere” la formula ||p| – |q||≥ |p| – |q|
Vediamo insieme come si legge: In matematica, per “leggere” si considera sempre ogni formula come un insieme di due blocchi, uno che sta prima e l’altro dopo l’uguale (o maggiore o minore) ||p| – |q||≥ |p| – |q| Nel nostro caso,considero il blocco prima del maggiore od uguale ||p| – |q|| quello che racchiude tutta l’espressione e’ il modulo,quindi dico Il modulo poi, dentro il modulo esterno, ho un’operazione che coinvolge il primo ed il secondo termine, quindi considero tale operazione della differenza adesso devo dire fra chi agisce l’operazione: essa agisce fra il modulo di a ed il modulo di b, cioe’ fra i due moduli fra due moduli adesso sono al maggiore od uguale e' maggiore od uguale adesso passo al secondo blocco |p| – |q| e vedo che c’e’ l’operazione differenza che coinvolge entrambe i termini della differenza dico poi fra chi e’ la differenza fra i due moduli Come vedi non e’ difficilissimo, forse un po’ complicato, ma con un po’ di esercizio vedrai che riuscirai a “leggere” una formula in modo veloce ed immediato Ti ripeto il procedimento evidenziando in rosso quello che considero ||p| – |q||≥ |p| – |q| Il modulo
||p| \(-\) |q||≥ |p| – |q| della differenza
||p| – |q||≥ |p| – |q| fra due moduli
||p| – |q||≥ |p| – |q| e' maggiore od uguale
||p| – |q||≥ |p| \(-\) |q| della differenza
||p| – |q||≥|p| – |q| fra i due moduli
Esercizi
equazioni con valori assoluti
Esercizi equazioni con valori assoluti Nota: quando ho una disequazione ai moduli e’ come se avessi due, tre,… equazioni che vanno risolte separatamente; togliendo i moduli trovero’ tali equazioni e trovero’ anche in che intervalli devo considerarle valide per trovare delle soluzioni accettabili: vediamo in questa pagina alcuni semplici esercizi sul come fare
x + 6 + |2x-2| > 0
2x + 3 – |x-2| > 0
|x + 4| – |x-2| < -x + 8
x + 6 + |x-4| + |x-1| ≤ -x + |x+3|
x + |2x + |x-2|| ≥ -x + 8
Per ora vi risparmio altre “impalcature” quali moduli in disequazioni fratte, irrazionali,…..
Esercizio Dire per quali valori di x la seguente disequazione risulta verificata x + 6 + |2x-2| > 0 Parto dalla definizione di modulo cioe’ |a| = a se a>0 |a| = -a se a<0 quindi pongo |2x-2| >0 e trovato l’intervallo dei valori per cui e’ positivo non cambio di segno l’espressione, cioe’ sostituisco al modulo 2x-2, mentre per l’intervallo dei valori in cui e’ negativo cambio di segno l’espressione, cioe’ sostituisco al modulo -2x+2 2x – 2 > 0 2x > 2 x > 1 Significa che nell’intervallo x > 1 il termine entro il modulo e’ positivo quindi metto 2x-2 al posto del modulo invece nell’intervallo x < 1 il termine entro il modulo e’ negativo quindi cambio di segno e metto -2x+2 al posto del modulo siccome ho anche il punto x=1 di solito lo aggiungo alla determinazione positiva mettendo il ≥; la mia disequazione diventa x + 6 +(-2x+2) > 0 se x < 1 x + 6 + 2x-2 > 0 se x ≥ 1 Quindi devo risolvere due disequazioni: la prima nell’intervallo x<1 la seconda nell’intervallo x≥1 te le indico in un grafico: sopra l’equazione e sotto l’intervallo in cui tale equazione e’ valida x + 6 +(-2x+2) > 0 x + 6 + 2x -2 > 0
__________________________________ 1____________________________________
Risolvo la prima x + 6 +(-2x+2) > 0 se x < 1 x + 6 – 2x + 2 > 0 -x + 8 > 0 -x > -8 x < 8 nell’intervallo x < 1 quindi siccome devo considerare solamenbte i valori dell’intervallo x<1 scrivero’ solamente: x < 1 Risolvo la seconda x + 6 + 2x -2 > 0 se x ≥ 1 3x + 4 > 0 3x > -4 x > -4/3 nell’intervallo x ≥ 1 e siccome devo considerare solamente i valori dell’intervallo x≥1 scrivero’: x ≥ 1 adesso devo mettere assieme i risultati e trovo la soluzione Soluzione x <1 U x ≥1 cioe’ per ogni valore di x ∀ x ∈ ℜ oppure, in grafico, considerando in rosso i punti che verificano l’equazione, \(______________________________\)
_____________________________ℜ
alcuni professori, senza mettere le condizioni solamente in alto, preferiscono trattare le disequazioni divise come un sistema:
[figura: graffanera.jpg]
x + 6 +(-2x+2) > 0 x < 1 e
[figura: graffanera.jpg]
x + 6 + 2x -2 > 0 x ≥ 1 in effetti e’ piu’ preciso, anche se talvolta e’ graficamente pesante quando i moduli sono piu’ di uno; comunque nel prossimo esercizio faremo cosi’ anche noi, riservandoci di usare l’altro metodo quando dovremo mettere troppi vincoli
Esercizio Dire per quali valori di x la seguente disequazione risulta verificata 2x + 3 – |x-2| > 0 Parto dalla definizione di modulo cioe’ |a| = a se a>0 |a| = -a se a<0 quindi pongo |x-2| >0 e trovato l’intervallo dei valori per cui e’ positivo non cambio di segno l’espressione, cioe’ sostituisco al modulo x-2, mentre per l’intervallo dei valori in cui e’ negativo cambio di segno l’espressione, cioe’ sostituisco al modulo -x+2 x – 2 > 0 x > 2 Significa che nell’intervallo x > 2 il termine entro il modulo (argomento) e’ positivo quindi metto x-2 al posto del modulo invece nell’intervallo x < 1 l’argomento del modulo e’ negativo quindi cambio di segno e metto -x+2 al posto del modulo siccome ho anche il punto x=2 di solito lo aggiungo alla determinazione positiva mettendo il ≥; la mia disequazione si sdoppia nei due sistemi
[figura: graffanera.jpg]
2x + 3 – (-x+2) > 0 x < 2 e
[figura: graffanera.jpg]
2x + 3 -( x -2) > 0 x ≥ 2
[figura: graffa.jpg]
Quindi devo risolvere due sistemi: ti scrivo i sistemi sopra gli intervalli relativi 2x + 3 – (-x+2) > 0 x < 2
[figura: graffablu.jpg]
2x + 3 -( x -2) > 0 x ≥ 2
__________________________________ 2____________________________________
Risolvo il primo sistema
[figura: graffa.jpg]
2x + 3 – (-x+2) > 0 x < 2
[figura: graffa.jpg]
2x + 3 +x-2 > 0 x < 2
[figura: graffa.jpg]
3x + 1 > 0 x < 2
[figura: graffa.jpg]
3x > -1 x < 2
[figura: graffa.jpg]
x > -1/3 x < 2 -1/3 < x < 2 Risolvo il secondo sistema
[figura: graffablu.jpg]
2x + 3 -( x -2) > 0 x ≥ 2
[figura: graffablu.jpg]
2x + 3 -x + 2 > 0 x ≥ 2
[figura: graffablu.jpg]
x + 5 > 0 x ≥ 2
[figura: graffablu.jpg]
x > -5 x ≥ 2 quindi ottengo x ≥ 2 adesso devo mettere assieme i risultati e trovo la soluzione Soluzione -1/3 < x <2 U x ≥2 cioe’ ∀ x ∈ ℜ tale che x ∈ ]-1/3; +∞[ Si legge: per ogni numero reale appartenente all’intervallo aperto -1/3 piu’ infinito: aperto significa che -1/3 non e’ una soluzione, cioe’ non e’ compreso nell’intervallo delle soluzioni oppure, in grafico, considerando in rosso i punti che verificano l’equazione: x>-1/3 \(-1/3_______________________________\)
ℜ___________________________________________________
Esercizio Dire per quali valori di x la seguente disequazione risulta verificata |x + 4| – |x-2| > -x + 8 Parto dalla definizione di modulo cioe’ |a| = a se a>0 |a| = -a se a<0 quindi pongo |x+4|>0 ed anche |x-2| >0 e, se risultano negativi, li cambio di segno
[figura: graffanera.jpg]
x + 4 > 0 x – 2 > 0
[figura: graffanera.jpg]
x > -4 x > 2 trovo due punti che mi dividono la retta reale in 3 intervalli, come vedi dal grafico qui sotto x>-4 – – – – – – – – – + + + + + + + + + + + + + + + + + +
x> 2 – – – – – – – – – – – – – – – – – – + + + + + + + + + + +
ℜ -∞_______________________ -4______________________ 2____________________________________+∞
Nel primo intervallo (rosso) gli argomenti dei moduli sono entrambe negativi Nel secondo intervallo (verde) il primo modulo ha argomento positivo, mentre il secondo modulo ha argomento negativo Nel terzo intervallo (blu) entrambe gli argomenti dei moduli sonoo positivi per ogni intervallo devo controllare se gli argomenti dei moduli sono positivi o negativi e scrivere le relative equazioni: te lo sviluppo passo-passo
Primo intervallo: da -∞ a -4 x < -4 l’argomento del modulo |x+4| e’ negativo quindi devo sostituire nell’equazione al posto del modulo -x-4 l’argomento del modulo |x-2| e’ negativo quindi devo sostituire al posto del modulo -x+2 quindi ho l’equazione -x – 4 – (-x + 2) > -x + 8 e posso considerare il sistema
[figura: graffa.jpg]
Secondo intervallo: da -4 (compreso) a 2 -4≤ x < 2 l’argomento del modulo |x+4| e’ positivo quindi devo sostituire nell’equazione al posto del modulo x+4 l’argomento del modulo |x-2| e’ negativo quindi devo sostituire al posto del modulo -x+2 quindi ho l’equazione x + 4 – (-x + 2) > -x + 8 e posso considerare il sistema
[figura: graffanera.jpg]
Terzo intervallo: da 2 (compreso) a +∞ x ≥ 2 l’argomento del modulo |x+4| e’ positivo quindi devo sostituire nell’equazione al posto del modulo x+4 l’argomento del modulo |x-2| e’ positivo quindi devo sostituire al posto del modulo x-2 quindi ho l’equazione x + 4 – (x – 2) > -x + 8 e posso considerare il sistema
[figura: graffablu.jpg]
- -x-4 – (-x + 2) > -x + 8 x < -4
- x + 4 – (-x + 2) > -x + 8 -4 ≤ x < 2
- x + 4 – (x – 2) > -x + 8 x ≥ 2
la mia disequazione e’ equivalente ai 3 sistemi I
[figura: graffanera.jpg]
-x-4 – (-x + 2) > -x + 8 x < -4 II
[figura: graffanera.jpg]
x + 4 – (-x + 2) > -x + 8 -4≤ x < 2 III
[figura: graffanera.jpg]
x + 4 – (x – 2) > -x + 8 x ≥ 2
Da notare che, se usi il sistema, non c’e’ piu’ bisogno di fare riferimento all’intervallo di validita’ perche’ esso e’ inglobato nel sistema stesso, quindi otterrai automaticamente i risultati negli intervalli validi Risolvo il primo sistema
[figura: graffa.jpg]
-x – 4 – (-x+2) > -x + 8 x < -4
[figura: graffa.jpg]
-x – 4 +x – 2 > -x + 8 x < -4
[figura: graffa.jpg]
-6 > -x + 8 x < -4
[figura: graffa.jpg]
x > 8+6 x < -4
[figura: graffa.jpg]
x > 14 x < -4 faccio il grafico x<-4 ________________ -4
x>14 14________________
il sistema non ammette soluzione (devi considerare dove sono valide entrambe) Risolvo il secondo sistema
[figura: graffanera.jpg]
x + 4 – (-x+2) > -x + 8 -4 ≤ x < 2
[figura: graffanera.jpg]
x + 4 + x – 2 > -x + 8 -4 ≤ x < 2
[figura: graffanera.jpg]
2x +2 > -x + 8 -4 ≤ x < 2
[figura: graffanera.jpg]
2x + x > 8-2 -4 ≤ x < 2
[figura: graffanera.jpg]
3x > 6 -4 ≤ x < 2
[figura: graffanera.jpg]
x > 2 -4 ≤ x < 2 faccio il grafico -4 ≤ x < 2 -4_______________
x>2 2________________
il sistema non ammette soluzione (devi considerare dove sono valide entrambe e 2 non appartiene ne’ alla prima, ne’ alla seconda disequazione) Risolvo il terzo sistema
[figura: graffablu.jpg]
x + 4 – (x-2) > -x + 8 x ≥ 2
[figura: graffablu.jpg]
x + 4 – x + 2 > -x + 8 x ≥ 2
[figura: graffablu.jpg]
6 > -x + 8 x ≥ 2
[figura: graffablu.jpg]
x > -6 + 8 x ≥ 2
[figura: graffablu.jpg]
x > 2 x ≥ 2 faccio il grafico x ≥ 2 2__________________________
x>2 2__________________________
per indicare che il punto e’ compreso l’ho sottolineato e messo in corsivo; di solito nei grafici si indica con un tondino il sistema ammette soluzione x > 2 (devi considerare dove sono valide entrambe) adesso metto assieme i risultati dei tre sistemi e trovo la soluzione Soluzione x > 2 cioe’ ∀ x ∈ ℜ / x ∈ ]2 ; +∞[ Il simbolo / significa “tale che”. Si legge: per ogni numero Reale x tale che x appartenga all’intervallo aperto da 2 a piu’ infinito: aperto significa che 2 non e’ una soluzione, cioe’ non e’ compreso nell’intervallo delle soluzioni oppure, in grafico, considerando in rosso i punti che verificano l’equazione: x>2 \(2_______________________________\)
ℜ_____________________________________________
Esercizio Dire per quali valori di x la seguente disequazione risulta verificata x + 6 + |x-4| + |x-1| ≤ -x + |x+3| Parto dalla definizione di modulo cioe’ |a| = a se a>0 |a| = -a se a<0 quindi pongo |x-4|>0, |x-1|>0 ed |x+3| >0 e, se risultano negativi, li cambio di segno
[figura: graffanera.jpg]
x – 4 > 0 x – 1 > 0 x + 3 > 0
[figura: graffanera.jpg]
x > 4 x > 1 x > -3 trovo tre punti che mi dividono la retta reale in 4 intervalli, come vedi dal grafico qui sotto x>4 – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – + + + + + + + + +
x>1 – – – – – – – – – – – – – – – – + + + + + + + + + + + + + + + +
x>-3 – – – – – – – – + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
ℜ -∞_____________________ -3______________________ 1_________________________ 4_____________________________+∞
x < -3 -3 ≤ x < 1 1 ≤ x < 4 x ≥ 4
Nel primo intervallo (x<-3) gli argomenti dei 3 moduli sono tutti negativi Nel secondo intervallo (-3 ≤ x < 1 ) i primi due moduli hanno argomento positivo, mentre il terzo modulo ha argomento negativo Nel terzo intervallo (1 ≤ x < 4) il primo modulo ha argomento negativo, mentre il secondo ed il terzo modulo hanno argomento positivo Nel quarto intervallo (x ≥ 4) tutti e tre i moduli hanno argomento positivo per ogni intervallo devo controllare se gli argomenti dei moduli sono positivi o negativi e scrivere le relative equazioni: te lo sviluppo passo-passo
Primo intervallo: da -∞ a -3 x < -3 l’argomento del modulo |x-4| e’ negativo quindi devo sostituire al posto del modulo -x+4 l’argomento del modulo |x-1| e’ negativo quindi devo sostituire al posto del modulo -x+1 l’argomento del modulo |x+3| e’ negativo quindi devo sostituire nell’equazione al posto del modulo -x-3 quindi ho l’equazione x + 6 – x + 4 – x + 1 ≤ -x -x – 3 e posso considerare il sistema
[figura: graffa.jpg]
x + 6 – x + 4 – x + 1 ≤ -x -x – 3 x < -3 o, meglio, facendo i calcoli
[figura: graffa.jpg]
Secondo intervallo: da -3 (compreso) ad 1 -3≤ x < 1 l’argomento del modulo |x-4| e’ negativo quindi devo sostituire al posto del modulo -x+4 l’argomento del modulo |x-1| e’ negativo quindi devo sostituire al posto del modulo -x+1 l’argomento del modulo |x+3| e’ positivo quindi devo sostituire nell’equazione al posto del modulo x+3 quindi ho l’equazione x + 6 – x + 4 – x + 1 ≤ -x + x + 3 e posso considerare il sistema
[figura: graffanera.jpg]
x + 6 – x + 4 – x + 1 ≤ -x + x + 3 -3≤ x < 1 o, meglio, facendo i calcoli
[figura: graffanera.jpg]
Terzo intervallo: da 1 (compreso) a 4 1 ≤ x < 4 l’argomento del modulo |x-4| e’ negativo quindi devo sostituire al posto del modulo -x+4 l’argomento del modulo |x-1| e’ positivo quindi devo sostituire al posto del modulo x-1 l’argomento del modulo |x+3| e’ positivo quindi devo sostituire nell’equazione al posto del modulo x+3 quindi ho l’equazione x + 6 – x + 4 + x – 1 ≤ -x + x + 3 e posso considerare il sistema
[figura: graffanera.jpg]
x + 6 – x + 4 + x – 1 ≤ -x + x + 3 1 ≤ x < 4 o, meglio, facendo i calcoli
[figura: graffanera.jpg]
quarto intervallo: da 4 (compreso) a +∞ x ≥ 4 l’argomento del modulo |x-4| e’ positivo quindi devo sostituire al posto del modulo x-4 l’argomento del modulo |x-1| e’ positivo quindi devo sostituire al posto del modulo x-1 l’argomento del modulo |x+3| e’ positivo quindi devo sostituire nell’equazione al posto del modulo x+3 quindi ho l’equazione x + 6 + x – 4 + x – 1 ≤ -x + x + 3 e posso considerare il sistema
[figura: graffanera.jpg]
x + 6 + x – 4 + x – 1 ≤ -x + x + 3 x ≥ 4 o, meglio, facendo i calcoli
[figura: graffanera.jpg]
- – x + 11 ≤ -2x – 3 x < -3
- -x + 11 ≤ 3 -3≤ x < 1
- x + 9 ≤ 3 1 ≤ x < 4
- 3x + 1 ≤ 3 x ≥ 4
la mia disequazione e’ equivalente ai 4 sistemi I
[figura: graffanera.jpg]
– x + 11 ≤ -2x – 3 x < -3 II
[figura: graffanera.jpg]
-x + 11 ≤ 3 -3≤ x < 1 III
[figura: graffanera.jpg]
x + 9 ≤ 3 1 ≤ x < 4 IV
[figura: graffanera.jpg]
x + 1 ≤ 3 x ≥ 4
Non c’e’ piu’ bisogno di fare riferimento all’intervallo di validita’ perche’ esso e’ inglobato nel sistema, quindi, risolvendo il sistema otterremo automaticamente i risultati negli intervalli validi Risolvo il primo sistema
[figura: graffa.jpg]
– x + 11 ≤ -2x – 3 x < -3
[figura: graffa.jpg]
– x + 2x ≤ -11 – 3 x < -3
[figura: graffa.jpg]
x ≤ -14 x < -3 faccio il grafico x≤-14 ________________-14
il sistema ha soluzione x≤-14 (devi considerare dove sono valide entrambe) Risolvo il secondo sistema
[figura: graffanera.jpg]
-x + 11 ≤ 3 -3≤ x < 1
[figura: graffanera.jpg]
-x ≤ 3 – 11 -3≤ x < 1
[figura: graffanera.jpg]
-x ≤ -8 -3≤ x < 1
[figura: graffanera.jpg]
x ≥ 8 -3≤ x < 1 faccio il grafico x ≥ 8
8________________
-3≤ x < 1 -3_______________1
il sistema non ammette soluzione (devi considerare dove sono valide entrambe) Risolvo il terzo sistema
[figura: graffablu.jpg]
x + 9 ≤ 3 1 ≤ x < 4
[figura: graffablu.jpg]
x ≤ -6 1 ≤ x < 4 faccio il grafico x≤-6 ____________________-6
1 ≤ x < 4 1___________________4
per indicare che il punto e’ compreso ho messo il trattino sotto; di solito nei grafici si indica con un tondino il sistema non ammette soluzione (devi considerare dove sono valide entrambe) Risolvo il quarto sistema
[figura: graffanera.jpg]
3x + 1 ≤ 3 x ≥ 4
[figura: graffablu.jpg]
3x ≤ 3 – 1 x ≥ 4
[figura: graffablu.jpg]
3x ≤ 2 x ≥ 4
[figura: graffablu.jpg]
x ≤ 2/3 x ≥ 4 faccio il grafico x ≤ 2/3 ________________ __________________ ___________2/3
4___________________
il sistema non ammette soluzione (devi considerare dove sono valide entrambe) adesso metto assieme i risultati dei tre sistemi e trovo la soluzione Soluzione x ≤ -14 cioe’ ∀ x ∈ ℜ / x ∈ ]-∞ ; -14] Il simbolo / significa “tale che”. Si legge: per ogni numero Reale x tale che x appartenga all’intervallo semiaperto da meno infinito a -14: semiaperto significa che -∞ non e’ una compreso ma -14 e’ compreso quindi appartiene alle soluzioni oppure, in grafico, considerando in rosso i punti che verificano l’equazione: x≤-14 \(_________________-14\)
ℜ ∞____________________ _____________________________________
Esercizio Dire per quali valori di x la seguente disequazione risulta verificata x + |2x + |x-2|| ≥ -x + 8 Qui abbiamo un modulo dentro un altro modulo: parto dal modulo interno e sdoppio la mia disequazione in due parti: ottengo due disequazioni con un modulo e riapplico il procedimento ad ognuna di esse: otterro’ quindi 4 disequazioni che sono valide in 4 intervalli diversi Pongo x-2>0 x – 2 > 0 x > 2 Significa che nell’intervallo x > 2 il termine entro il modulo e’ positivo quindi metto x-2 al posto del modulo invece nell’intervallo x < 2 il termine entro il modulo e’ negativo quindi cambio di segno e metto -x+2 al posto del modulo la mia disequazione diventa x + |2x – x + 2| ≥ -x + 8 se x < 2 x + |2x + x-2 | ≥ -x + 8 se x ≥ 2 o meglio, calcolando x + |x + 2| ≥ -x + 8 se x < 2 x + |3x – 2 | ≥ -x + 8 se x ≥ 2 Ora devo riapplicare la definizione di modulo per risolvere le due nuove disequazioni
- Sviluppo la prima x + |x + 2| ≥ -x + 8 se x < 2 x+2>0 x>-2 allora ottengo le due nuove disequazioni x – x – 2 ≥ -x + 8 se x < 2 e se x < -2 x + x + 2 ≥ -x + 8 se x < 2 e se x ≥ -2 o, meglio, facendo un po’ di calcoli – 2 ≥ -x + 8 se x < 2 e se x < -2 2x + 2 ≥ -x + 8 se x < 2 e se x ≥ -2
- Sviluppo la seconda x + |3x – 2 | ≥ -x + 8 se x < 2 3x-2>0 3x>2 x>2/3 allora ottengo le due nuove disequazioni x – 3x + 2 ≥ -x + 8 se x ≥ 2 e se x < 2/3 x + 3x – 2 ≥ -x + 8 se x ≥ 2 e se x ≥ 2/3 o, meglio, facendo un po’ di calcoli -2x + 2 ≥ -x + 8 se x ≥ 2 e se x < 2/3 4x – 2 ≥ -x + 8 se x ≥ 2 e se x ≥ 2/3
Guarda la figura qui sotto che ti evidenzia il procedimento seguito:
[figura: disequazione93.jpg]
Al solito, se metto sotto forma di sistema non devo preoccuparmi per gli intervalli, quindi passo direttamente ad indicare i 4 sistemi che devo risolvere la mia disequazione e’ equivalente ai 4 sistemi
[figura: graffanera.jpg]
– 2 ≥ -x + 8 x < 2 x < -2
[figura: graffanera.jpg]
2x + 2 ≥ -x + 8 x < 2 x ≥ -2
[figura: graffanera.jpg]
-2x + 2 ≥ -x + 8 x ≥ 2 x < 2/3
[figura: graffanera.jpg]
4x – 2 ≥ -x + 8 x ≥ 2 x ≥ 2/3
____________________ ____________________ 2___________________ ____________________
da notare che con il metodo dell’intervallo il terzo sistema e’ impossibile, perche’ il valore 2/3 non e’ maggiore di 2 e quindi le disequazioni sono incompatibili e non danno luogo ad un intervallo Risolvo il primo sistema
[figura: graffa.jpg]
– 2 ≥ -x + 8 x < 2 x < -2
[figura: graffa.jpg]
x ≥ 2 + 8 x < 2 x < -2
[figura: graffa.jpg]
x ≥ 10 x < 2 x < -2 faccio il grafico x≥10 10____________________
il sistema non ha soluzione Risolvo il secondo sistema
[figura: graffa.jpg]
2x + 2 ≥ -x + 8 x < 2 x ≥ -2
[figura: graffa.jpg]
2x + x ≥ -2 + 8 x < 2 x ≥ -2
[figura: graffa.jpg]
3x ≥ 6 x < 2 x ≥ -2
[figura: graffa.jpg]
x ≥ 2 x < 2 x ≥ -2 faccio il grafico x ≥ 2 2______________________
x < 2 ______________ ___________________2
x ≤ 2 ______________ ___________________2
il sistema non ammette soluzione (il 2 non appartiene alla seconda disequazione) Risolvo il terzo sistema
[figura: graffanera.jpg]
-2x + 2 ≥ -x + 8 x ≥ 2 x < 2/3
[figura: graffanera.jpg]
-2x + x ≥ -2 + 8 x ≥ 2 x < 2/3
[figura: graffanera.jpg]
-x ≥ 6 x ≥ 2 x < 2/3
[figura: graffanera.jpg]
x ≤ -6 x ≥ 2 x < 2/3 faccio il grafico x≤-6 ______________-6
x≥2 2_________________ ___________________
x≶2/3 ___________________________ ________2/3
il sistema non ammette soluzione Risolvo il quarto sistema
[figura: graffablu.jpg]
4x – 2 ≥ -x + 8 x ≥ 2 x ≥ 2/3
[figura: graffablu.jpg]
4x + x ≥ 2 + 8 x ≥ 2 x ≥ 2/3
[figura: graffablu.jpg]
5x ≥ 10 x ≥ 2 x ≥ 2/3
[figura: graffablu.jpg]
x ≥ 2 x ≥ 2 x ≥ 2/3 faccio il grafico x ≥ 2 2______________________
x ≥ 2 2______________________
x ≥ 2/3 2/3_________________ _______________________
il sistema ammette soluzione x ≥ 2 adesso metto assieme i risultati dei tre sistemi e trovo la soluzione Soluzione x ≥ 2 cioe’ ∀ x ∈ ℜ / x ∈ [2 ; +∞[ Il simbolo / significa “tale che”. Si legge: per ogni numero Reale x tale che x appartenga all’intervallo semiaperto da 2 a + infinito: semiaperto significa che +∞ non e’ una compreso ma 2 e’ compreso quindi appartiene alle soluzioni oppure, in grafico, considerando in rosso i punti che verificano l’equazione: x≥2 \(2_________________\)
ℜ ____________________ _____________________________________
Esercizi
Esercizi risolviamo l’ equazione: \(2x^2 + 5x + 2 = 0\) prendiamo la formula risolutiva
\(\sqrt{\phantom{x}}\)
\(\pm\) \(b^2 - 4ac\)
\(x_{1,2} =\)
abbiamo: a = 2 b = 5 c = 2 sostituiamo nella formula
\(\sqrt{\phantom{x}}\)
\(\pm\) \((5)^2 - 4(2)(2)\)
\(x_{1,2} =\) =
2(2)
facciamo i calcoli dentro radice
\(\sqrt{\phantom{x}}\)
\(\pm\) 25 – 16
\(\sqrt{\phantom{x}}\)
\(\pm\) 9
\(\pm\) 3 = ———– = 4
adesso devo prendere una volta il piu’ ed una volta il meno -5 + 3 = ——— = 4 1 –— 2
-5 – 3 = ——— = 4 – 2
Ho quindi le due soluzioni \(x_1 =\) \(1- ---- 2\) \(x_2 =\) \(- 2\)
Essendo \(x^2 - 5x + 6 > 0\) dovro’ prendere i valori esterni all’intervallo delle radici, quindi x < 2 U x > 3
Esercizi risolviamo l’ equazione: \(3x^2 - 10x + 3 = 0\) prendiamo la formula risolutiva ridotta
\(\sqrt{\phantom{x}}\)
\(\beta\)
\(\pm\) \(^2 - ac\)
\(x_{1,2} =\)
abbiamo: a = 3 b = -10
\(\beta\) = -5 c = 3 sostituiamo nella formula
\(\sqrt{\phantom{x}}\)
–(-5)
\(\pm\) \((-5)^2 - (3)(3)\)
\(x_{1,2} =\) =
facciamo i calcoli dentro radice
\(\sqrt{\phantom{x}}\)
\(\pm\) 25 – 9
\(\sqrt{\phantom{x}}\)
\(\pm\) 16
\(\pm\) 4 = ———– 3
adesso devo prendere una volta il piu’ ed una volta il meno 5 – 4 = ——— = 3 1 — 3
5 + 4 = ——— = 3 3
Ho quindi le due soluzioni \(x_1 =\) \(1 ---- 3\) \(x_2 =\) \(3\)
Essendo \(x^2 - 5x + 6 > 0\) dovro’ prendere i valori esterni all’intervallo delle radici, quindi x < 2 U x > 3
[figura: i1.jpg]
\(\Delta\)
\(>\)0
[figura: i2.jpg]
\(\Delta\)
\(>\)0
[figura: i3.jpg]
\(\Delta\)
\(>\)0
[figura: i4.jpg]
\(\Delta\) = 0
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