Equazioni di grado superiore al secondo Sono equazioni in cui la x compare a potenza 3, 4, 5, ecc…
Per quelle di terzo grado esiste una formula risolutiva che non considereremo. Noi tratteremo le soluzioni preferibilmente in campo complesso: se non hai fatto i numeri complessi devi considerare solo le soluzioni reali (qualche docente, purtroppo, le spiega solo in R)
scegli l’argomento
- Teorema fondamentale dell’algebra
- Equazioni abbassabili di grado
- Equazioni biquadratiche
- Equazioni binomie
- Equazioni trinomie
- Equazioni irrazionali
- Equazioni reciproche
- Equazioni da risolvere con artifici
- Equazioni risolubili graficamente
teorema fondamentale dell'algebra
Teorema fondamentale dell'algebra Il teorema fondamentale dell’algebra dice che:
Un’equazione di grado n ammette sempre n soluzioni reali distinte, reali coincidenti o complesse e coniugate.
Una cosa e’ sapere che le soluzioni ci sono ed un’altra e’ trovarle: infatti finora si sanno risolvere equazioni fino al quarto grado mentre per i gradi superiori qualche volta si possono trovare le soluzioni ma e’ stato dimostrato che non esiste un metodo generale
equazioni abbassabili di grado
Equazioni abbassabili di grado Considero il polinomio associato all’equazione e lo scompongo in fattori , ad esempio con Ruffini poi pongo il polinomio scomposto uguale a zero ed utilizzando la legge di annullamento del prodotto risolvo le equazioni componenti
La legge di annullamento del prodotto dice che: Un prodotto e’ zero se e solo se uno dei suoi fattori vale zero
Vediamo assieme qualche esercizio per meglio fissare il procedimento \(x^3 - 4x^2 - 4x + 16 = 0\) \(x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0\) \(x^4 - 5x^3 + 2x^2 + 20x - 24 = 0\)
Risolvere l’equazione: \(x^3 - 4x^2 - 4x + 16 = 0\) considero il polinomio associato \(x^3 - 4x^2 - 4x + 16 =\) Devo scomporlo Non posso raccogliere niente a fattor comune Passo a considerare il numero di termini : 4 Enumero le varie possibilita’ Non e’ un cubo di binomio Raccoglimento parziale; potrebbe essere: tra il primo termine ed il secondo raccolgo x\(^{^2}\) e tra il terzo ed il quarto raccolgo -4 \(= x^2 ( x - 4) - 4(x - 4) =\) dentro parentesi ho ottenuto termini uguali quindi va bene; procedo a raccogliere le parentesi \(= (x - 4)(x^2 - 4) =\) scompongo la differenza di quadrati (anche se potrei farne a meno perche’ so risolvere le equazioni di secondo grado) metto anche in ordine: nei prodotti fra polinomi prima si mettono quelli con i termini piu’ piccoli poi i piu’ grandi \(= (x + 2)(x - 2)(x - 4)\) ora pongo il polinomio uguale a zero per ottenere un’equazione equivalente a quella da cui siamo partiti: \((x + 2)(x - 2)(x - 4) = 0\) per la legge di annullamento del prodotto (siccome cerco i valori che mi rendono tutta l’espressione uguale a zero) dovro’ porre ogni termine del prodotto uguale a zero quindi la mia equazione e’ equivalente alle seguenti 3 equazioni
- \((x + 2) = 0\)
- \((x - 2) = 0\)
- \((x - 4) = 0\)
Risolvo la prima: \((x + 2) = 0 x = -2\) Risolvo la secondaa: \((x - 2) = 0 x = 2\) Risolvo la terza: \((x - 4) = 0 x = 4\) le tre soluzioni dell’equazione (di 3° grado) sono: \(x_1 = -2 x_2 = 2 x_3 = 4\)
In alcuni istituti tecnici industriali (ed anche in qualche libro di testo) ho visto risolverle cosi’: Polinomio associato \(x^3 - 6x^2 + 11x - 6 =\) i possibili divisori sono: (x – 1) (x + 1) (x – 2) (x + 2) (x – 3) (x + 3) (x – 6) (x + 6) Vediamo quali sono effettivamente fattori applicando il teorema del resto di Ruffini
- trovo il resto dividendo per \((x - 1) P(1)=1^3 - 6 \cdot 1^2 + 11 \cdot 1 - 6 = 1 - 6 + 11 - 6 = 0 (x - 1)\) e’ un fattore
- trovo il resto dividendo per \((x + 1) P(-1)=(-1)^3 - 6 \cdot (-1)^2 + 11 \cdot (-1) - 6 = -1 - 6 - 11 - 6 0 (x + 1)\) non e’ un fattore
- trovo il resto dividendo per \((x - 2) P(2)=2^3 - 6 \cdot 2^2 + 11 \cdot 2 - 6 = 8 - 24 + 22 - 6 = 0 (x - 2)\) e’ un fattore
- trovo il resto dividendo per \((x + 2) P(-2)=(-2)^3 - 6 \cdot (-2)^2 + 11 \cdot (-2) - 6 = -8 - 24 - 22 - 6 0 (x + 2)\)non e’ un fattore
- trovo il resto dividendo per \((x - 3) P(3)=3^3 - 6 \cdot 3^2 + 11 \cdot 3 - 6 = 27 - 54 + 33 - 6 = 0 (x - 3)\) e’ un fattore
- mi fermo perche’ ho trovato 3 fattori e il polinomio e’ di terzo grado
Quindi posso risolvere le tre equazioni \((x - 1) = 0 (x - 2) = 0(x - 3) = 0\) Ho le tre soluzioni \(x_1 = 1 x_2 = 2 x_3 = 3\)
Sembra piu’ semplice ma non permette di trovare le radici multiple, per esempio non potrai applicarlo al terzo esercizio
Risolvere l’equazione: \(x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0\) considero il polinomio associato \(x^3 - 6x^2 + 11x - 6 =\) Devo scomporlo Non posso raccogliere niente a fattor comune Passo a considerare il numero di termini : 4 Enumero le varie possibilita’ Non e’ un cubo di binomio Non e’ un raccoglimento parziale Non e’ un raggruppamento Devo provare Ruffini i possibili divisori sono polinomi del tipo (x – a) essendo a un divisore del termine noto, cioe’ a puo’ essere: \(+1 -1 +2 -2 +3 -3 +6 -6\) Provo a vedere se e’ scomponibile per \((x - 1)\) \(P(1)= (1)^3 - 6(1)^2 + 11(1) - 6 = 1 - 6 + 11 - 6 = 0\) \((x - 1)\) e’ un fattore quindi eseguo la divisione di Ruffini e scrivo \(x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = (x - 1)(x^2 - 5x + 6)\) Ora posso scrivere l’equazione di partenza come \((x - 1)(x^2 - 5x + 6) = 0\) e per la legge di annullamento del prodotto equivale alle due equazioni
- \((x - 1) = 0\)
- \((x^2 - 5x + 6) = 0\)
risolvo la prima \(x - 1 = 0 x = 1\) risolvo la seconda \(x^2 - 5x + 6 = 0\) \(5 [(-5)^2 - 4(1)(6)] x_{1,2} = ---------------------- 2\) eseguo i calcoli 5
\(\pm\)
[figura: radicearossa.jpg]
(25-24) x\(_{1,2}\) = ———————- 2 5
\(\pm\) 1 x\(_{1,2}\) = ———– 2
- x\(_1\) = 3
- x\(_2\) = 2
Quindi ho tre soluzioni reali:
- x\(_1\) = 1
- x\(_2\) = 2
- x\(_3\) = 3
Risolvere l’equazione: \(x^4 - 5x^3 + 2x^2 + 20x - 24 = 0\) considero il polinomio associato \(x^4 - 5x^3 + 2x^2 + 20x - 24 =\) Devo scomporlo Non posso raccogliere niente a fattor comune Passo a considerare il numero di termini : 5 Enumero le varie possibilita’ Non vedo raggruppamenti Devo provare Ruffini i divisori del termine noto sono: \(+1 -1 +2 -2 +3 -3 +4 -4 +6 -6 +12 -12 +24 -24\)
- Provo a vedere se e’ scomponibile per \((x - 1)\) \(P(1)= 1^4 - 5 \cdot 1^3 + 2 \cdot 1^2 + 20 \cdot 1 - 24 = 1 -5 +2 +20 -24 0\) Non e’ scomponibile per (x – 1)
- Provo a vedere se e’ scomponibile per \((x + 1)\) \(P(-1)= (-1)^4 - 5 \cdot (-1)^3 + 2 \cdot (-1)^2 + 20 \cdot (-1) -24 = -1 +5 +2 -20 -24 0\) Non e’ scomponibile per (x + 1)
- Provo a vedere se e’ scomponibile per \((x - 2)\) \(P(2)= 2^4 - 5 \cdot 2^3 + 2 \cdot 2^2 + 20 \cdot 2 -24 = 16 -40 +8 +40 -24 = 0\) E’ scomponibile per (x – 2)
[figura: rufafdb3.jpg]
Divido per (x-2) ed ottengo: \(x^4 - 5x^3 + 2x^2 + 20x - 24 = (x + 2)(x^3 - 3x^2 - 4x + 12) =\) Ora devo scomporre il polinomio di terzo grado; \(x^3 - 3x^2 - 4x + 12\) Ricomincio dall’ultimo fattore che e’ andato bene
- Provo a vedere se e’ scomponibile per \((x - 2)\) \(P(2)= 2^3 - 3 \cdot 2^2 - 4 \cdot 2 + 12 = 8 -12 -8 +12 = 0\) E’ ancora scomponibile per (x – 2)
[figura: rufafdb2.jpg]
Divido per (x-2) ed ottengo: \(x^4 - 5x^3 + 2x^2 + 20x - 24 = (x - 2)(x^3 - 3x^2 - 4x + 12) = = (x - 2)(x - 2)(x^2 - x - 6)\) Ora siccome il polinomio e’ tutto composto di polinomi di primo e secondo grado ricostruisco l’equazione \(x^4 - 5x^3 + 2x^2 + 20x - 24 = 0\) equivale a \((x - 2)(x - 2)(x^2 - x - 6) = 0\) Risolvo le singole equazioni:
- \((x - 2) = 0\)
- \((x - 2) = 0\)
- \((x^2 - x - 6) = 0\)
- risolvo la prima \(x - 2 = 0 x = 2\)
- risolvo la seconda \(x - 2 = 0 x = 2\)
- risolvo la terza \(x^2 - x - 6 = 0\) \(1 [(1)^2 - 4(1)(-6)] x = ---------------------- 2\) eseguo i calcoli \(1 (25) x = ---------------------- 2\) \(x_{1,2} = ( 1 5)/2\) Ottengo le soluzioni \(x = -2 x = 3\)
Le soluzioni dell’equazione di partenza saranno:
- \(x_1 = 2\)
- \(x_2 = 2\)
- \(x_3 = -2\)
- \(x_4 = 3\)
posso anche dire
- \(x_{1,2} = 2\) soluzione doppia
- \(x_3 = -2\)
- \(x_4 = 3\)
Come vedi il procedimento e’ lungo e noioso, allora, se possibile, si cercano metodi piu’ rapidi ed equazioni particolari che permettano di utilizzare metodi piu’ efficienti per trovare le soluzioni. Vedremo questi metodi nelle prossime pagine
equazioni biquadratiche
Equazioni biquadratiche Si chiamera’ biquadratica un’equazione che ha tre termini, uno con x\(^4\), uno con x\(^2\), ed un termine noto. \(ax^4 + bx^2 + c = 0\) Per risolvere quest’equazione conviene sostituire x\(^2\) con y e quindi x\(^4\) con y\(^2\), quindi l’equazione diviene di secondo grado in y; \(ay^2 + by + c = 0\) trovate le due soluzioni y\(_1\) ed y\(_2\) dovro’ risolvere le due equazioni \(x^2 = y_1 x^2 = y_2\) Le 4 soluzioni trovate saranno le soluzioni dell’equazione di partenza.
In qualche libro di testo viene addirittura fornita una formula finale
\(\pm\)
[figura: radiceablu.jpg]
\(-b (b^2 - 4ac) ---------------------- 2a\)
Vediamo un esempio concreto: risolvere \(x^4 - 5x^2 + 4 = 0\) pongo \(x^2 =y\) e quindi \(x^4 = y^2 y^2 - 5y + 4 = 0\) risolvo rispetto ad y -b
\(\pm\)
[figura: radicearossa.jpg]
(b\(^2\) – 4ac) y\(_{1,2}\) = ———————- 2a 5
\(\pm\)
[figura: radicearossa.jpg]
(25 – 16) y\(_{1,2}\) = ———————- 2 5
\(\pm\)
[figura: radicearossa.jpg]
9 y\(_{1,2}\) = ——————- 2 5
\(\pm\)3 y\(_{1,2}\) = ——– 2
- y\(_1\) = (5 + 3)/2 = 8/2 = 4
- y\(_2\) = (5 – 3)/2 = 2/2 = 1
Ora devo risolvere le due equazioni:
- x\(^2\) = 4
- x\(^2\) = 1
risolvo la prima
- x\(_1\) = -2
- x\(_2\) = +2
risolvo la seconda
- x\(_3\) = -1
- x\(_4\) = +1
quindi le 4 soluzioni (messe in fila) sono: \(x_1 = -2 x_2 = -1 x_3 = +1 x_4 = +2\)
Risolviamo per esercizio le seguenti equazioni x\(^4\) – 10x\(^2\) + 9 = 0 x\(^4\) – 3x\(^2\) – 4 = 0 x\(^4\) + 13x\(^2\) + 36 = 0
esercizio
esercizio\(x^4 - 10x^2 + 9 = 0\) pongo \(x^2 =y\) e quindi \(x^4 = y^2 y^2 - 10y + 9 = 0\) risolvo rispetto ad y (con la formula ridotta ) -b/2
\(\pm\)
[figura: radicearossa.jpg]
(b\(^2\)/4 – ac) y\(_{1,2}\) = ———————- a y = 5
\(\pm\)
[figura: radicearossa.jpg]
(25 – 19) y = 5
\(\pm\)
[figura: radicearossa.jpg]
16 y = 5
\(\pm\) 4
- y\(_1\) = 5 + 4 = 9
- y\(_2\) = 5 – 4 = 1
Ora devo risolvere le due equazioni:
- x\(^2\) = 9
- x\(^2\) = 1
risolvo la prima \(x = 9\)
- x\(_1\) = -3
- x\(_2\) = +3
risolvo la seconda \(x = 1\)
- x\(_3\) = -1
- x\(_4\) = +1
quindi ho 4 soluzioni reali che (messe in fila) sono: \(x_1 = -3 x_2 = -1 x_3 = +1 x_4 = +3\)
esercizio\(x^4 - 3x^2 - 4 = 0\) pongo \(x^2 =y\) e quindi \(x^4 = y^2 y^2 - 3y - 4 = 0\) risolvo rispetto ad y -b
\(\pm\)
[figura: radicearossa.jpg]
(b\(^2\) – 4ac) y\(_{1,2}\) = ———————- 2a 3
\(\pm\)
[figura: radicearossa.jpg]
(9 + 16) y\(_{1,2}\) = ———————- 2 3
\(\pm\)
[figura: radicearossa.jpg]
25 y\(_{1,2}\) = ——————- 2 3
\(\pm\)5 y\(_{1,2}\) = ——– 2
- y\(_1\) = (3 + 5)/2 = 8/2 = 4
- y\(_2\) = (3 – 5)/2 = -2/2 = -1
Ora devo risolvere le due equazioni:
- x\(^2\) = 4
- x\(^2\) = -1
risolvo la prima \(x = 4\)
- x\(_1\) = -2
- x\(_2\) = +2
risolvo la seconda \(x = -1\) e’ un’equazione a valori immaginari
- x\(_3\) = -i
- x\(_4\) = +i
quindi ho 2 soluzioni reali e 2 immaginarie: \(x_1 = -2 x_2 = 2 x_3 = -i x_4 = +i\)
esercizio\(x^4 + 13x^2 + 36 = 0\) pongo \(x^2 =y\) e quindi \(x^4 = y^2 y^2 + 13y + 36 = 0\) risolvo rispetto ad y -b
\(\pm\)
[figura: radicearossa.jpg]
(b\(^2\) – 4ac) y\(_{1,2}\) = ———————- 2a -13
\(\pm\)
[figura: radicearossa.jpg]
(169 – 144) y\(_{1,2}\) = ———————- 2 -13
\(\pm\)
[figura: radicearossa.jpg]
25 y\(_{1,2}\) = ——————- 2 -13
\(\pm\)5 y\(_{1,2}\) = ——– 2
- y\(_1\) = (-13 + 5)/2 = -8/2 = -4
- y\(_2\) = (-13 – 5)/2 = -18/2 = -9
Ora devo risolvere le due equazioni:
- x\(^2\) = -9
- x\(^2\) = -4
sono equazioni a valori immaginari
risolvo la prima x =
\(\pm\)
[figura: radicearossa.jpg]
- x\(_1\) = -3i
- x\(_2\) = +3i
risolvo la seconda x =
\(\pm\)
[figura: radicearossa.jpg]
- x\(_3\) = -2i
- x\(_4\) = +2i
quindi ho 4 soluzioni immaginarie (metto in fila): \(x_1 = -3i x_2 = -2i x_3 = +2i x_4 = +3i\)
Equazioni binomie \(Si chiamera' binomia un'equazione che ha due termini, uno con x^n ed un termine noto.\)
\[ax^n = b\]
Per risolvere teoricamente quest’equazione, siccome sappiamo fare bene solo le radici del numero 1, conviene lasciare 1 dopo l’uguale dividendo entrambe i termini per b \(a --- x^n = 1 b\) a questo punto e’ possibile fare la radice ennesima a destra ed a sinistra dell’uguale per ottenere il risultato \(a --- x^n = 1 b\)
Possiamo subito dire che se a e b hanno lo stesso segno allora entrambe i membri dell’equazione sono positivi, quindi se n e’ pari avremo due soluzioni reali, mentre se n e’ dispari avremo una sola soluzione reale se a e b hanno segno contrario invece se n e’ pari non avremo soluzioni reali, mentre ne avremo una se n e’ dispari
Invece in pratica si fa diversamente e dobbiamo distinguere due casi:
- ricerca delle sole soluzioni reali
- ricerca delle soluzioni sia reali che complesse
soluzioni reali delle equazioni binomie
Ricerca delle soluzioni reali nelle equazioni binomie Se cerchiamo solo le soluzioni reali non ci si fanno troppi problemi: si isola la x e si fa la radice a destra ed a sinistra dell’uguale
primo esempio con sole soluzioni reali \(2x^4 = 32\) divido per 2 \(x^4 = 16\) \(x = 16\) soluzioni reali: \(x_1 = -2\) e \(x_2 = +2\)
secondo esempio con sole soluzioni reali \(2x^3 = -54\) divido per 2 \(x^3 = -27\) \(x = (-27)\) C’e’ una sola soluzione reale: \(x_1 = -3\)
soluzioni delle equazioni binomie
Ricerca delle soluzioni reali e complesse nelle equazioni binomie Se cerchiamo le soluzioni sia reali che complesse dovremo fare ricorso alle scomposizioni di somme e differenze di potenze Risolviamo gli stessi esercizi della pagina precedente
primo esempio \(2x^4 = 32\) divido per 2 \(x^4 = 16\)\(x^4 - 16 = 0\)scompongo \(x^4 - 16 = (x^2 - 4)(x^2 + 4) = 0\) Pongo uguali a zero i fattori
- \(x^2 - 4 = 0\)
- \(x^2 + 4 = 0\)
Risolvo la prima
\(x = 4\)
- \(x_1 = - 2 x_2 = + 2\)
Risolvo la seconda
\(x = (-4)\)
- \(x_1 = - 2i x_2 = + 2i\)
in accordo con il teorema fondamentale dell’algebra ho 4 soluzioni: \(x_1 = - 2 x_2 = + 2 x_3 = - 2i x_4 = + 2i\)
secondo esempio \(2x^3 = -54\) divido per 2 \(x^3 = -27\) \(x^3 + 27 = 0\) scompongo \(x^3 + 27 = (x + 3)(x^2 - 3x + 9) = 0\) Pongo uguali a zero i fattori
- \(x + 3 = 0\)
- \(x^2 - 3x + 9 = 0\)
Risolvo la prima
- \(x_1 = - 3\)
Risolvo la seconda
\(3 (9 - 36) x_{1,2} = ---------------------- calcoli 2\)
- \(x_1 = (3 - 3i3)/2 x_2 = (3 + 3i3)/2\)
in accordo con il teorema fondamentale dell’algebra ho 3 soluzioni: \(x_1 = -3 x_2 = (3 - 3i3)/2 x_3 = (3 + 3i3)/2\)
\(x^2 - 3x + 9 = 0\) applico la formula \(-b (b^2 - 4ac) x_{1,2} = ---------------------- 2a\) sostituisco i valori \(3 (9 - 36) x_{1,2} = ------------------ 2\) calcolo \(3 (-27) x_{1,2} = --------------- 2\) estraggo quello che posso di radice \(3 3(-3) x_{1,2} = ------------------ 2\) per togliere il meno da dentro radice passo agli immaginari \(3 3i3 x_{1,2} = ------------------ 2\) ottengo le due soluzioni \(x_1 = (3 - 3i3)/2 x_2 = (3 + 3i3)/2\)
\(Veramente si porebbe ancora perfezionare il risultato mettendo in evidenza il fattore 3 al numeratore: in questo modo le due radici (piu' elegantemente) sono: x_1 = 3(1 - i3)/2 x_2 = 3(1 + i3)/2\)
equazioni trinomie
Equazioni trinomie Si chiamera’ trinomia un’equazione che ha tre termini, il primo (x\(^{2n}\)) con la potenza della x doppia del secondo (x\(^n\)) ed un termine noto. \(ax^{2n} + bx^n + c = 0\) come ad esempio \(x^6 + 9x^3 + 8 = 0\) Per risolvere quest’equazione (facendo come nelle biquadratiche) conviene sostituire x\(^n\) con y e quindi x\(^{2n}\) con y\(^2\), quindi l’equazione diviene di secondo grado in y; \(ay^2 + by + c = 0\) trovate le due soluzioni y\(_1\) ed y\(_2\) dovro’ risolvere le due equazioni binomie \(x^n = y_1 x^n = y_2\) Le 2n soluzioni trovate saranno le soluzioni dell’equazione di partenza.
Se non hai capito bene segui questo esempio sull’equazione sopra \(x^6 + 9x^3 + 8 = 0\) pongo \(x^3 = y\)e quindi \(x^6 = y^2\) quindi otteniamo \(y^2 + 9y + 8 = 0\) Risolvendola otterro’ le soluzioni \(y_1 = -1\) e \(y_2 = -8\)calcoli ora dovro’ risolvere le due equazioni binomie \(x^3 = -1 x^3 = -8\) Ora, seguendo le spiegazioni del tuo Prof. scegli se vuoi trovare
- Solo le soluzioni reali
- Sia le soluzioni reali che complesse
Proviamo qualche esercizio: \(x^6 - 26x^3 - 27 = 0\) \(x^8 - 17x^4 + 16 = 0\)
risolviamo: \(y^2 + 9y + 8 = 0\) applico la formula risolutiva \(-b (b^2 - 4ac) y_{1,2} = ---------------------- 2a\) a = 1 b = 9 c = 8 -9
\(\pm\)
[figura: radiceablu.jpg]
(81 – 4·1·8) y\(_{1,2}\) = ———————- 2·1 -9
\(\pm\)
[figura: radiceablu.jpg]
(81 – 32) y\(_{1,2}\) = ———————- 2 -9
\(\pm\)
[figura: radiceablu.jpg]
49 y\(_{1,2}\) = ————– 2 -9
\(\pm\) 7 y\(_{1,2}\) = ——– 2
- y\(_1\) = (-9 + 7)/2 = -2/2 = -1
- y\(_2\) = (-9 – 7)/2 = -16/2 = -8
esercizio Trovare le soluzioni reali delle equazioni \(x^3 = -1 x^3 = -8\)
Risolvo la prima: \(x^3 = -1 x = -1 x = -1\)
Risolvo la seconda: \(x^3 = -8 x = -8 x = -2\)
Si hanno due soluzioni reali \(x_1 = -2\) e \(x_2 = -1\)
esercizio Trovare tutte le soluzioni delle equazioni \(x^3 + 1 = 0 x^3 + 8 = 0\)
Risolvo la prima: devo scomporre \(x^3 + 1 = (x + 1)(x^2 - x + 1) = 0\) Per la legge di annullamento del prodotto per trovare tutte le soluzioni dovro’ porre
x + 1 = 0x\(^2\) – x + 1 = 0
Risolvo la prima equazione: \(x = -1\) Risolvo la seconda equazione: \(x^2 - x + 1 = 0\) \(-b (b^2 - 4ac) x_{1,2} = ---------------------- 2a\) \(1 (1 - 4) x_{1,2} = ---------------------- 2\) \(1 -3 x_{1,2} = --------------- 2\) \(1 i3 x_{1,2} = --------------- 2\) ho quindi le tre soluzioni \(x_1 = - 1 x_2 = (1 - i3)/2 x_3 = (1 + i3)/2\)
Risolvo la seconda: devo scomporre \(x^3 + 8 = (x + 2)(x^2 - 2x + 4) = 0\) Per la legge di annullamento del prodotto per trovare tutte le soluzioni dovro’ porre
x + 2 = 0x\(^2\) – 2x + 4 = 0
Risolvo la prima equazione: \(x = -2\) Risolvo la seconda equazione \(x^2 - 2x + 4 = 0\) applico la formula ridotta \(1 (1 - 4) x_{1,2} = ---------------------- 1\) \(x_{1,2} = 1 -3\)\(x_{1,2} = 1 i3\) ho quindi le tre soluzioni \(x_1 = - 2 x_2 = 1 - i3 x_3 = 1 + i3\)
in accordo con il teorema fondamentale dell’algebra ho 6 soluzioni \(x_1 = - 1 x_2 = (1 - i3)/2 x_3 = (1 + i3)/2\) \(x_4 = - 2 x_5 = 1 - i3 x_6 = 1 + i3\) Due soluzioni sono reali e 4 complesse
equazioni irrazionali
Equazioni irrazionali Sono equazioni in cui la x compare sotto il segno di radice: per poterle risolvere dovremo eliminare le radici elevando i termini opportunamente In queste equazioni si cercano solamente i valori Reali Distinguiamo i due casi:
- Radici a indice dispari
- Radici a indice pari
Aggiungere casi particolari:somma e differenza di radici cubiche – radicali doppi – radicali al denominatore
Equazioni irrazionali con indice dispari Se ho una radice con esponente dispari posso isolare la radice e quindi elevare a potenza prima e dopo l’uguale
Risolvere ad esempio: \(x - (x^3 + 2x^2 - 1) = - 1\) isolo la radice trasportandola dopo l’uguale (di solito si porta la radice dove il suo segno e’ positivo) e porto 1 prima dell’uguale \(x + 1 = (x^3 + 2x^2 - 1)\) elevo entrambe i membri alla terza \((x + 1)^3 = [(x^3 + 2x^2 - 1)]^3\) Eseguo i calcoli: sviluppo il cubo prima dell’uguale e dopo l’uguale semplifico la radice con la potenza \(x^3 + 3x^2 + 3x + 1 = x^3 + 2x^2 - 1\) trasporto tutto prima dell’uguale \(x^3 + 3x^2 + 3x + 1 - x^3 - 2x^2 + 1 = 0\) Sommo i termini simili \(x^2 + 3x + 2 = 0\) Risolvo \(-b (b^2 - 4ac) x_{1,2} = ---------------------- 2a\) \(-3 (9 - 8) x_{1,2} = ---------------------- 2\) \(-3 1 x_{1,2} = ----------------- 2\) \(-3 1 x_{1,2} = ---------- 2\) Le soluzioni sono: \(x_1 = (-3 - 1)/2 = -2 x_2 = (-3 + 1)/2 = -1\) Quindi nel caso di radice a potenza dispari la soluzione e’ piuttosto ovvia: elevo a potenza per togliere la radice e risolvo normalmente
Equazioni irrazionali con indice pari
La radice con il suo termine e’ sempre considerata positiva quindi x e’ un numero positivo \(-x\) e’ un numero negativo
Per poterle risolvere dovremo eliminare le radici elevando i termini a potenza pari Cio’ puo’ tuttavia dar luogo a qualche problema: elevando a potenza pari potrebbero comparire delle soluzioni aggiunte dovute solamente all’elevamento. Per riconoscere quali soluzioni siano valide abbiamo due strade diverse:
- la prima (piu’ difficile e, di solito, meno seguita a parte qualche Liceo Scientifico) consiste nel porre le condizioni iniziali e poi accettare solo le soluzioni che le soddisfino Occorre saper fare i sistemi di disequazioni
- la seconda (piu’ facile e quasi ovunque seguita) invece, consiste nel verificare, soluzione per soluzione, quali radici siano accettabili sostituendole nell’equazione di partenza e vedendo quali la verificano
Negli esercizi useremo il secondo metodo e, per i casi piu’ semplici, anche il primo.
Anche se vi sono alcune equazioni che, con un po’ di attenzione, possono essere risolte in modo immediato, vediamo di classificare alcuni tipi di equazioni irrazionali relativamente al numero di radicali presenti:
- Una sola radice piu’ un’espressione senza radici
- Due radici
- Due radici piu’ un’espressione senza radici
- Tre radici
- Tre radici piu’ un’espressione senza radici
- Quattro radici
Una sola radice piu' un'espressione senza radici Isoleremo la radice, eleveremo al quadrato (per eliminare la radice) poi risolveremo Elevando a quadrato potrebbero aggiungersi delle soluzioni quindi le soluzioni trovate vanno o verificate sull’equazione di partenza oppure controllate con delle condizioni di realta’ iniziali Vediamo il procedimento su degli esempi
x + 2 –
[figura: radicea.jpg]
(x\(^2\) – 4) = 0
metodo della verifica metodo delle condizioni iniziali
x + 2 +
[figura: radicea.jpg]
(x + 2) = 0
metodo della verifica metodo delle condizioni iniziali
Con un po’ di attenzione e’ talvolta possibile risolvere l’equazione in modo immediato senza fare troppi calcoli.Esempio \(x^2 + (x^2 - 4) = 0\) Se isolo la radice ottengo: \((x^2 - 4) = - x^2\) Ora il primo termine e’ positivo mentre il secondo e’ sicuramente negativo (essendo un quadrato col segno meno davanti) e un numero positivo non puo’ mai essere uguale ad un numero negativo quindi l’equazione non ammette soluzioni. Comunque non ti preoccupare, anche se non te ne accorgi, con i soliti metodi si ottengono gli stessi risultati, te lo mostro:
metodo della verifica metodo delle condizioni iniziali
Esercizio Risolvere: \(x + 2 - (x^2 - 4) = 0\) Isolo la radice portandola dopo l’uguale \(x + 2 = (x^2 - 4)\) Elevo a quadrato da una parte e dall’altra \((x + 2)^2 = [(x^2 - 4)]^2\) Eseguo il quadrato prima dell’uguale. Dopo l’uguale semplifico il quadrato con la radice \(x^2 + 4x + 4 = x^2 - 4\) Trasporto tutto prima dell’uguale \(x^2 + 4x + 4 - x^2 + 4 = 0\) Sommo \(4x + 8 = 0\) Risolvo \(4x = - 8 8 x = - --- = - 2 4\) Ora devo verificare se la soluzione va bene nell’equazione di partenza o e’ dovuta all’elevamento a quadrato Verifica: Sostituisco nell’equazione iniziale alla x il valore -2 \(-2 + 2 - [(-2)^2 - 4)] = 0 0 -0 = 0 0 = 0\) Avendo ottenuto un’uguaglianza la soluzione x=-2 e’ accettabile
Esercizio Risolvere: \(x + 2 - (x^2 - 4) = 0\)
Isolo la radice portandola dopo l’uguale \(x + 2 = (x^2 - 4)\) Pongo le condizioni iniziali: il termine sotto radice deve essere maggiore od uguale a zero, inoltre il termine senza radice deve avere lo stesso segno della radice (nel nostro caso +)
[figura: graffa.jpg]
\(x^2 - 4 0 x + 2 0\) Per risolvere la prima considero l’equazione associata \(x^2 - 4 = 0\) Risolvo \(x^2 = 4\) 2 soluzioni \(x_1= -2 x_2= 2\) Essendo il Delta maggiore di zero la disequazione e’ positiva per valori esterni
[figura: graffa.jpg]
\(x -2 U x 2 x -2\) Quindi la soluzione e’ \(x = -2 U x 2\) oppure usando un’altra notazione + + + \((-2)\) – – – \((+2)\) + + + + – – – \((-2)\) + + + + + + + + + + + ___________________ Quindi saranno accettabili solo le soluzioni che siano uguali a -2 oppure maggiori od uguali a +2
Le parentesi indicano che e’ accettabile anche il valore indicato
Ora risolvo normalmente: Isolo la radice portandola dopo l’uguale \(x + 2 = (x^2 - 4)\) Elevo a quadrato da una parte e dall’altra \((x + 2)^2 = [(x^2 - 4)]^2\) Eseguo il quadrato prima dell’uguale. Dopo l’uguale semplifico il quadrato con la radice \(x^2 + 4x + 4 = x^2 - 4\) Trasporto tutto prima dell’uguale \(x^2 + 4x + 4 - x^2 + 4 = 0\) Sommo \(4x + 8 = 0\) Risolvo \(4x = - 8 8 x = - --- = - 2 4\) Ora la soluzione x=-2 essendo fra i valori accettabili e’ accettabile
Esercizio Risolvere: \(x + 2 + (x + 2) = 0\) Isolo la radice portando gli altri termini dopo l’uguale \((x + 2) = - x - 2\) Elevo a quadrato da una parte e dall’altra \([(x + 2)]^2 = (- x - 2)^2\) Eseguo il quadrato dopo l’uguale. Prima dell’uguale semplifico il quadrato con la radice \(x + 2 = x^2 + 4x + 4\) Trasporto tutto prima dell’uguale \(x + 2 - x^2 - 4x - 4 = 0\) Sommo \(-x^2 - 3x - 2 = 0\) Cambio segno \(x^2 + 3x + 2 = 0\) Risolvo \(-b (b^2 - 4ac) x_{1,2} = ---------------------- 2a -3 (9 - 8) x_{1,2} = ---------------------- 2 -3 1 x_{1,2} = --------- 2\) Le radici sono: \(x_1 = (-3 - 1)/2 = -2 x_2 = (-3 + 1)/2 = -1\) Non e’ finita! Devo fare la verifica
- Verifica soluzione x = -2 Sostituisco nell’equazione di partenza -2 al posto di x \(-2 + 2 + (-2 + 2) = 0 0 = 0\) L’uguaglianza e’ valida e la soluzione x=-2 e’ accettabile
- Verifica soluzione x = -1 Sostituisco nell’equazione di partenza -1 al posto di x \(-1 + 2 + (-1 + 2) = 0 1 + 1 = 0 2 = 0\) L’uguaglianza non e’ valida e la soluzione x=-1 non e’ accettabile
Una sola soluzione x = -2
Esercizio Risolvere: \(x + 2 + (x + 2) = 0\) isolo la radice portando gli altri termini dopo l’uguale \((x + 2) = - x - 2\)
Pongo le condizioni iniziali: il termine sotto radice deve essere maggiore od uguale a zero e l’altro temine deve avere lo stesso segno del radicale
[figura: graffa.jpg]
\(x + 2 0 -x - 2 0\) Cambio di segno e di verso la seconda
[figura: graffa.jpg]
\(x + 2 0 x + 2 0\) Risolvo
[figura: graffa.jpg]
\(x -2 x -2\) quindi la soluzione e’ \(x = -2\) Quindi saranno accettabili solo le soluzioni che siano uguali a -2
Ora procedo normalmente: Elevo a quadrato da una parte e dall’altra \([(x + 2)]^2 = (- x - 2)^2\) Eseguo il quadrato dopo l’uguale. Prima dell’uguale semplifico il quadrato con la radice \(x + 2 = x^2 + 4x + 4\) Trasporto tutto prima dell’uguale \(x + 2 - x^2 - 4x - 4 = 0\) Sommo \(-x^2 - 3x - 2 = 0\) Cambio segno \(x^2 + 3x + 2 = 0\) Risolvo \(-b (b^2 - 4ac) x_{1,2} = ---------------------- 2a -3 (9 - 8) x_{1,2} = ---------------------- 2 -3 1 x_{1,2} = --------- 2\) Le radici sono: \(x_1 = (-3 - 1)/2 = -2 x_2 = (-3 + 1)/2 = -1\) La prima soluzione x=-2 e’ accettabile la seconda x=-1 non e’ accettabile
Esercizio Risolvere: \(x^2 + (x^2 - 4) = 0\) Isolo la radice, ottengo: \((x^2 - 4) = - x^2\) Elevo a quadrato da una parte e dall’altra \([(x^2 - 4)]^2 = (- x)^2\) Prima dell’uguale semplifico il quadrato con la radice, dopo l’uguale eseguo il quadrato \(x^2 - 4 = x^4\) Trasporto tutto prima dell’uguale \(-x^4 + x^2 - 4 = 0\) Cambio segno \(x^4 - x^2 + 4 = 0\) Equazione biquadratica. Risolvo pongo \(x^2 =y\) e quindi \(x^4 = y^2 y^2 - y + 4 = 0\) risolvo rispetto ad y \(-b (b^2 - 4ac) y_{1,2} = ---------------------- 2a\)\(-1 (1^2 - 16) y_{1,2} = ---------------------- 2\) Essendo il Delta minore di zero l’equazione non ha soluzioni reali Nessuna soluzione
Esercizio Risolvere: \(x^2 + (x^2 - 4) = 0\) Isolo la radice ed ottengo: \((x^2 - 4) = - x^2\) Pongo le condizioni iniziali: il termine sotto radice deve essere maggiore od uguale a zero e l’altro temine deve avere lo stesso segno del radicale
[figura: graffa.jpg]
\(x^2 - 4 0 -x^2 0\) Cambio di segno e di verso la seconda
[figura: graffa.jpg]
\(x^2 - 4 0 x^2 0 Questa ammette la sola soluzione x=0\) Risolvo
[figura: graffa.jpg]
\(x -2 U x 2 x = 0\) Il sistema non ammette soluzioni quindi l’equazione irrazionale non e’ risolvibile
Due radici Lasceremo una radice prima dell’uguale e porteremo l’altra dopo l’uguale poi eleveremo a quadrato entrambe i membri dell’equazione Elevando a quadrato potrebbero aggiungersi delle soluzioni quindi le soluzioni trovate vanno o verificate sull’equazione di partenza oppure controllate con delle condizioni di realta’ iniziali Vediamo il procedimento su degli esempi
[figura: radicea.jpg]
(5x + 10) –
[figura: radicea.jpg]
(4 – x\(^2\)) = 0
metodo della verificametodo delle condizioni iniziali
Anche qui con un po’ di attenzione e’ talvolta possibile risolvere l’equazione in modo immediato senza fare troppi calcoli.Esempio \((x^2-3) + (x^2 - 4) = 0\) Se isolo la prima radice ottengo: \((x^2-3) = - (x^2 - 4)\) Ora il primo termine e’ positivo mentre il secondo e’ sicuramente negativo (essendo un radicale col segno meno davanti) e un numero positivo non puo’ mai essere uguale ad un numero negativo quindi l’equazione non ammette soluzioni. Anche qui se non te ne accorgi, con i soliti metodi si ottengono gli stessi risultati
Esercizio Risolvere: \((5x + 10) - (4 - x^2) = 0\) Porto la seconda radice dopo l’uguale \((5x + 10) = (4 - x^2)\) Elevo a quadrato da una parte e dall’altra \([(5x + 10) ]^2 = [(4 - x^2)]^2\) Semplifico i quadrati con le radici \(5x + 10 = 4 - x^2\) Trasporto tutto prima dell’uguale \(5x + 10 - 4 + x^2 = 0\) Sommo \(x^2 + 5x + 6 = 0\) Risolvo \(-5 (5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6) x_{1,2} = ---------------------- 2\) \(-5 (25-24) x_{1,2} = ---------------------- 2\) \(-5 1 x_{1,2} = ---------- 2\) \(x_1 = -2 x_2 = -3\) Ora devo verificare se le soluzioni vanno bene nell’equazione di partenza o sono dovute all’elevamento a quadrato
- Verifica per x = -2: Sostituisco nell’equazione iniziale alla x il valore -2 \([5 \cdot (-2) + 10] - [4 -(-2)^2] = 0 0 - 0 = 0\) Avendo ottenuto un’uguaglianza la soluzione x=-2 e’ accettabile
- Verifica per x = -3: Sostituisco nell’equazione iniziale alla x il valore -3 \([5 \cdot (-3) + 10] - [4 - (-3)^2] = 0 (-5) - (-5) = 0\) Avendo radici di numeri negativi la soluzione x=-3 non e’ accettabile
\(Soluzione x = -2\)
Due radici piu' un'espressione senza radici Lasceremo una radice prima dell’uguale e porteremo gli altri termini dopo l’uguale poi eleveremo a quadrato entrambe i membri dell’equazione
Considera come termini le due radici piu’ il termine fuori radice: hai tre termini: ne devi lasciare due da una parte ed uno dall’altra dell’uguale, quindi puoi anche fare diversamente da come faccio io: ormai per me isolare una radice prima dell’uguale e’ un’abitudine e, di solito, e’ anche il sistema piu’ semplice
In questo modo otteniamo un’equazione ove resta una sola radice (il doppio prodotto dell’elevamento a quadrato) piu’ dei termini fuori radice e ci rifacciamo a un caso precedente gia’ visto
D’ora in avanti controlliamo la compatibilita’ delle soluzioni solamente sostituendole nell’espressione iniziale
Vediamo il procedimento su un esempio \((x + 7) - 2 = (x - 1)\) Isolo la prima radice \((x + 7) = 2 + (x - 1)\) Elevo al quadrato da una parte e dall’altra \([ (x + 7) ]^2= [ 2 + (x - 1) ]^2\) Nel primo termine semplifico la radice con il quadrato, nel secondo eseguo il quadrato \(x + 7 = 4 + x - 1 + 4(x-1)\) Isolo la radice lasciandola dopo l’uguale (perche’ li’ e’ positiva) \(x + 7 - 4 - x + 1 = 4(x-1)\) \(4 = 4(x-1)\) Rielevo al quadrato \((4)^2 = [4(x-1) ]^2\) calcolo \(16 = 16(x-1)\) \(16 = 16x - 16\) \(16x = 32\) \(x = 2\) Ora devo verificare se la soluzione va bene nell’equazione di partenza o e’ dovuta all’elevamento a quadrato Verifica per x = 2 Sostituisco nell’equazione iniziale alla x il valore 2 \((2 + 7) - 2 = (2 - 1)\) \(3 - 2 = 1\) Avendo ottenuto un’uguaglianza la soluzione x=2 e’ accettabile
\([ (x + 7) ]^2= [ 2 + (x - 1) ]^2\) Nel primo termine semplifico la radice con il quadrato, nel secondo eseguo il quadrato Occorre ricordare che e’ il quadrato di un binomio col primo termine che e’ l’insieme dei termini fuori radice ed il secondo termine che e’ il radicale
- Quadrato del primo \(2^2 = 4\)
- Doppio prodotto2·2·(x – 1) = 4(x – 1)
- Quadrato del secondo \([(x - 1)]^2 = x - 1\)
Quindi otteniamo \(4 + 4(x-1) + x - 1\)
Tre radici Lasceremo una radice da una parte e porteremo le altre due dall’altra parte facendo in modo, per semplicita’, di spostare le radici dove hanno il segno positivo In questo modo otteniamo un’equazione ove resta una sola radice (il doppio prodotto dell’elevamento a quadrato), inoltre dei termini fuori radice che potremo sommare per ottenere un termine unico e ci rifacciamo a un caso precedente gia’ visto
Anche qui controlliamo la compatibilita’ delle soluzioni solamente sostituendole nell’espressione iniziale
Vediamo il procedimento su un esempio \((x + 5) - x = (2x - 7)\) Lascio una radice prima dell’uguale \((x + 5) = x + (2x - 7)\) Elevo al quadrato da una parte e dall’altra \([ (x + 5) ]^2= [ x + (2x - 7) ]^2\) Nel primo termine semplifico la radice con il quadrato, nel secondo eseguo il quadrato di un binomio x + 5 = x + 2x·(2x-7) + 2x – 7 Isolo la radice lasciandola dopo l’uguale (perche’ li’ e’ positiva) e dentro la radice eseguo la moltiplicazione \(x + 5 - x - 2x + 7 = 2(2x^2-7x)\) \(12 - 2x = 2(2x^2-7x)\) Osserviamo che possiamo semplificare tutta l’equazione per due (e’ una cosa abbastanza comune in queste equazioni il poter semplificare: conviene farlo sempre per rendere piu’ semplice il successivo elevamento a quadrato) \(6 - x = (2x^2-7x)\) La radice e’ gia’ isolata, quindi elevo a quadrato da entrambe le parti \((6 - x)^2 = [(2x^2-7x)]^2\) \(36 - 12x + x^2 = 2x^2-7x\) Ottengo l’equazione Se vuoi vedere i calcoli \(x^2 + 5x - 36 = 0\) Risolvo Se vuoi vedere i calcoli \(x_1 = 4 x_2 = -9\)
Ora devo verificare se le soluzione vanno bene nell’equazione di partenza o sono dovute all’elevamento a quadrato
- Verifica per x = 4 Sostituisco nell’equazione iniziale alla x il valore 4 (4 + 5) – 4 = (2·4 – 7) \(3 - 2 = 1\) Avendo ottenuto un’uguaglianza la soluzione x=4 e’ accettabile
- Verifica per x = -9 Sostituisco nell’equazione iniziale alla x il valore 4 (-9 + 5) – (-9) = [2·(-9) – 7] Avendo ottenuto radici con argomento negativo la soluzione x=-9 non e’ accettabile
calcoli
calcoli\(36 - 12x + x^2 = 2x^2-7x 36 - 12x + x^2 - 2x^2+ 7x = 0 - x^2 - 5x + 36 = 0 x^2 + 5x - 36 = 0\)
esercizi
esercizi\(x^2 + 5x - 36 = 0\) \(-5 [5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-36)] x_{1,2} = ---------------------- 2\) \(-5 (25+144) x_{1,2} = ---------------------- 2\) \(-5 169 x_{1,2} = ---------------- 2\) \(-5 13 x_{1,2} = ------------ 2\) \(x_1 = 4 x_2 = -9\)
Tre radici piu' un'espressione senza radici Lasceremo una radice ed il termine senza radice da una parte e porteremo le altre due radici dall’altra parte facendo in modo, per semplicita’, di spostare le radici dove hanno il segno positivo (se possibile) In questo modo otteniamo un’equazione ove restano due radici (il doppio prodotto dell’elevamento a quadrato uno prima ed uno dopo l’uguale) ed anche i 4 quadrati che potremo sommare per ottenere un termine unico quindi ci rifacciamo a un caso precedente gia’ visto (2 radici piu’ un termine senza radici)
Anche qui controlliamo la compatibilita’ delle soluzioni solamente sostituendole nell’espressione iniziale
qui andiamo su esercizi chilometrici: vediamone comunque almeno uno
[figura: radicearossa.jpg]
[figura: radicearossa.jpg]
[figura: radicearossa.jpg]
\(x+1\) \(+\) x \(=\) \(2x\) \(+ 1\)
Elevo al quadrato da una parte e dall’altra
[figura: parapertarossa.jpg]
[figura: radicearossa.jpg]
[figura: radicearossa.jpg]
[figura: parchiusarossa.jpg]
\(2\)
[figura: parapertarossa.jpg]
[figura: radicearossa.jpg]
[figura: parchiusarossa.jpg]
\(2\)
\(x+1\) \(+\) x \(=\) \(2x\) \(+ 1\)
otteniamo:
[figura: radicearossa.jpg]
[figura: radicearossa.jpg]
\(x+1 + 2\) \(x(x+1)\) \(+ x = 2x + 2\) \(2x\) \(+ 1\)
Sommo i termini simili e, fortunatamente, mi si semplificano parecchie cose Restano solamente (ci e’ andata bene, abbiamo solo due termini)
[figura: radicearossa.jpg]
[figura: radicearossa.jpg]
\(2\) \(x(x+1)\) \(= 2\) \(2x\)
Divido per 2 da entrambe le parti e moltiplico dentro radice Siccome quasi sempre e’ possibile semplificare, per rendere piu’ semplici i calcoli e’ necessario appena possibile semplificare i termini
[figura: radicearossa.jpg]
[figura: radicearossa.jpg]
\(x^2+x\) \(=\) \(2x\)
adesso elevo al quadrato da una parte e dall’altra
[figura: parapertarossa.jpg]
[figura: radicearossa.jpg]
[figura: parchiusarossa.jpg]
\(2\)
[figura: parapertarossa.jpg]
[figura: radicearossa.jpg]
[figura: parchiusarossa.jpg]
\(2\)
\(x^2+x\) \(=\) \(2x\)
elimino le radici con i quadrati ed ottengo: \(x^2 + x = 2x x^2 + x - 2x = 0 x^2- x = 0\) e’ un’equazione spuria: raccolgo la x \(x(x - 1) = 0\)
ottengo le soluzioni
- \(x = 0\)
- \(x - 1 = 0 x = 1\)
Ora devo verificare se le soluzioni vanno bene nell’equazione di partenza o sono dovute all’elevamento a quadrato
Verifica per x = 0 Sostituisco nell’equazione iniziale alla x il valore 0
[figura: radicearossa.jpg]
[figura: radicearossa.jpg]
[figura: radicearossa.jpg]
\(0+1\) \(+\) \(=\) 2·0 \(+ 1\)
Verifica per x = 1 Sostituisco nell’equazione iniziale alla x il valore 1
[figura: radicearossa.jpg]
[figura: radicearossa.jpg]
[figura: radicearossa.jpg]
\(1+1\) \(+\) \(1\) \(=\) 2·1 \(+ 1\)
- \(1 = 1\) Avendo ottenuto un’uguaglianza la soluzione x=0 e’ accettabile
- \(2 + 1 = 2 + 1\) Essendo questa un’uguaglianza valida anche la soluzione x=1 e’ accettabile
Quattro radici Lasceremo due radici da una parte e porteremo le altre due radici dall’altra parte facendo in modo, per semplicita’, di spostare le radici dove hanno il segno positivo (se possibile) In questo modo otteniamo un’equazione ove restano due radici (il doppio prodotto dell’elevamento a quadrato uno prima ed uno dopo l’uguale) ed anche i 4 quadrati che potremo sommare per ottenere un termine unico quindi ci rifacciamo a un caso precedente gia’ visto (2 radici piu’ un termine senza radici)
Anche qui controlliamo la compatibilita’ delle soluzioni solamente sostituendole nell’espressione iniziale
anche qui andiamo su esercizi chilometrici: vediamone comunque uno
[figura: radicearossa.jpg]
[figura: radicearossa.jpg]
[figura: radicearossa.jpg]
[figura: radicearossa.jpg]
\(x+35\) \(+\) x \(=\) \(x+8\) \(+\) \(x+15\)
Elevo al quadrato da una parte e dall’altra
[figura: parapertarossa.jpg]
[figura: radicearossa.jpg]
[figura: radicearossa.jpg]
[figura: parchiusarossa.jpg]
\(2\)
[figura: parapertarossa.jpg]
[figura: radicearossa.jpg]
[figura: radicearossa.jpg]
[figura: parchiusarossa.jpg]
\(2\)
\(x+35\) \(+\) x \(=\) \(x+8\) \(+\) \(x+15\)
ottengo
[figura: radicearossa.jpg]
[figura: radicearossa.jpg]
\(x+35 + 2\) \(x(x+35)\) \(+ x = x + 8 + 2\) \((x+8)(x+15)\) \(+ x + 15\)
sommo i termini simili (le x spariscono) e eseguo le operazioni dentro radice
[figura: radicearossa.jpg]
[figura: radicearossa.jpg]
\(12 + 2\) \(x^2 + 35x\) \(= 2\) \(x^2 + 23x + 120\)
Divido per 2 tutti i termini Siccome quasi sempre e’ possibile semplificare, per rendere piu’ semplici i calcoli e’ necessario semplificare i termini subito appena possibile
[figura: radicearossa.jpg]
[figura: radicearossa.jpg]
\(6 +\) \(x^2 + 35x\) \(=\) \(x^2 + 23x + 120\)
elevo ancora al quadrato da entrambe le parti
[figura: parapertarossa.jpg]
[figura: radicearossa.jpg]
[figura: parchiusarossa.jpg]
\(2\)
[figura: parapertarossa.jpg]
[figura: radicearossa.jpg]
[figura: parchiusarossa.jpg]
\(2\)
\(6 +\) \(x^2 + 35x\) \(=\) \(x^2 + 23x + 120\)
Prima dell’uguale sviluppo il quadrato, dopo l’uguale semplifico il quadrato con la radice
[figura: radicearossa.jpg]
\(36 + 12\) \(x^2 + 35x\) \(+ x^2 + 35x = x^2 + 23x + 120\)
sommo i termini simili
[figura: radicearossa.jpg]
\(12\) \(x^2 + 35x\) \(= 84 - 12x\)
divido tutti i termini per 12
[figura: radicearossa.jpg]
\(x^2 + 35x\) \(= 7 - x\)
ora elevo ancora a quadrato da entrambe le parti dell’uguale
[figura: parapertarossa.jpg]
[figura: radicearossa.jpg]
[figura: parchiusarossa.jpg]
\(2\)
[figura: parapertarossa.jpg]
[figura: parchiusarossa.jpg]
\(2\)
\(x^2 + 35x\) \(=\) \(7 - x\)
ottengo \(x^2 + 35x = 49 - 14x + x^2 35x + 14x = 49 49x = 49 x = 1\) Ora devo verificare se la soluzione va bene nell’equazione di partenza o e’ derivata dall’elevamento a quadrato Verifica per x = 1 Sostituisco nell’equazione iniziale alla x il valore 1
[figura: radicearossa.jpg]
[figura: radicearossa.jpg]
[figura: radicearossa.jpg]
[figura: radicearossa.jpg]
\(1+35\) \(+\) \(1\) \(=\) \(1+8\) \(+\) \(1+15\)
\(6 + 1 = 3 + 4 7 = 7\) Avendo ottenuto un’uguaglianza la soluzione x=1 e’ accettabile
equazioni reciproche
Equazioni reciproche Sono equazioni caratterizzate dal fatto che per ogni soluzione esiste sempre come soluzione anche la sua reciproca (senza considerare il segno) cioe’ se ho soluzione x=2/3 avro’ come soluzione anche x=3/2 oppure x= -3/2 Si riconoscono per il fatto che, considerando il polinomio associato, i coefficienti equidistanti dal centro del polinomio sono uguali come modulo (possono anche avere segni contrari)
Le chiameremo di prima specie se i segni dei termini equidistanti sono uguali, di seconda specie se i segni sono diversi; per fare un esempio pratico le seguenti sono equazioni reciproche 2x\(^{^3}\) + 7 x\(^{^2}\) + 7x + 2 = 0 di prima specie 2x\(^{^3}\) – 7 x\(^{^2}\) + 7x – 2 = 0 di seconda specie 2x\(^{^5}\) – 5x\(^{^4}\) + 3x\(^{^3}\) – 3x\(^{^2}\) + 5x – 2 = 0 di seconda specie
dividiamole per tipi secondo il grado dell’equazione (per quelle di secondo grado useremo la normale formula risolutiva)
- di terzo grado
- di quarto grado
- di quinto grado
equazioni reciprochedi terzo grado
Equazioni reciproche di terzo grado
\(ax^3 + bx^2 + bx + a = 0\) prima specie \(ax^3 + bx^2 - bx - a = 0\) seconda specie
Come prima cosa c’e’ da dire che se l’equazione reciproca e’ di grado dispari, siccome ogni soluzione deve avere la sua reciproca e, per il teorema fondamentale dell’algebra le soluzioni sono in numero dispari allora (intuitivamente) tra le soluzioni dovra’ sempre esservi 1 (o -1) come numero reciproco di se’ stesso in particolare per le equazioni reciproche di prima specie -1 per le equazioni reciproche di seconda specie +1 Pertanto potremo sempre usare Ruffini con il divisore (x+1) per le equazioni di prima specie dimostrazione (x-1) per le equazioni di seconda specie dimostrazione Vediamo un esempio per tipo:
Equazione reciproca di prima specie \(3x^3 + 13 x^2 + 13 x + 3 = 0\) E’ reciproca di prima specie perche’ i coefficienti equidistanti dal centro dell’equazione sono uguali e di stesso segno 3 con 3 e 13 con 13 posso scomporre per (x+1): infatti \(P(-1)= 3(-1)^3 + 13 (-1)^2 + 13(-1) + 3 = = 3(-1) + 13(1) + 13(-1) + 3 = = - 3 + 13 - 13 + 3 = 0\) quindi faccio la divisione di Ruffini \(3\) \(13\) \(13\) \(3\)
\(-1\) \(-3\) \(-10\) \(-3\)
\(3\) \(10\) \(3\)
quindi ottengo \(3x^3 + 13 x^2 + 13 x + 3 = (x + 1) (3x^2 + 10x + 3)\) adesso pongo uguali a zero i fattori ed ottengo
- primo fattore x + 1 = 0 cioe’ x = -1
- secondo fattore \(3x^2 + 10x + 3 = 0\) che mi da’ come soluzioni x = -3 x = -1/3calcoli
Ottengo quindi le tre soluzioni (le ordino) \(x_1 = - 3 x_2 = -1 x_3 = -1/3\)
Equazione reciproca di seconda specie \(2x^3 - 7x^2 + 7x - 2 = 0\) E’ reciproca di seconda specie perche’ i coefficienti equidistanti dal centro dell’equazione sono uguali e di segno contrario 2 con -2 e -7 con 7 posso scomporre per (x-1):infatti \(P(1)= 2(1)^3 - 7(1)^2 + 7(1) - 2 = 2 - 7 + 7 - 2 = 0\) quindi faccio la divisione di Ruffini \(2\) \(-7\) \(7\) \(-2\)
\(1\) \(2\) \(-5\) \(2\)
\(2\) \(-5\) \(2\)
quindi ottengo \(2x^3 - 7x^2 + 7x - 2 = (x - 1) (2x^2 - 5x + 2)\) adesso pongo uguali a zero i fattori ed ottengo
- primo fattore x – 1 = 0 cioe’ x = 1
- secondo fattore \(x^2 - 5x + 2 = 0\) x = 2 x = 1/2calcoli
Ottengo quindi le tre soluzioni (le ordino) x\(_{_1}\) = 1/2 x\(_{_2}\) = 1 x\(_{_3}\) = 2
risolviamo: \(3x^2 + 10x + 3 = 0\) applico la formula risolutiva ridotta
\(\sqrt{\phantom{x}}\)
\(\beta\)
\(\pm\) \(^2 - ac\)
\(x_{1,2} =\)
\(\beta\) = b/2 abbiamo: a = 3 b = 10
\(\beta\) = 5 c = 3 sostituiamo nella formula -5
\(\pm\)
[figura: radiceablu.jpg]
(25 – 3·3) x\(_{1,2}\) = ———————- 3 -5
\(\pm\)
[figura: radiceablu.jpg]
(25 – 9) x\(_{1,2}\) = ———————- 3 -5
\(\pm\)
[figura: radiceablu.jpg]
16 x\(_{1,2}\) = ————– 3 -5
\(\pm\) 4 x\(_{1,2}\) = ——– 3
- x\(_1\) = (-5-4)/3 = -3
- x\(_2\) = (-5+4)/3 = – 1/3
risolviamo: \(2x^2 - 5x + 2 = 0\) applico la formula risolutiva \(-b (b^2 - 4ac) x_{1,2} = ---------------------- 2a\) a = 2 b = -5 c = 2 5
\(\pm\)
[figura: radiceablu.jpg]
(25 – 4·2·2) x\(_{1,2}\) = ———————- 2·2 5
\(\pm\)
[figura: radiceablu.jpg]
(25 – 16) x\(_{1,2}\) = ———————- 4 5
\(\pm\)
[figura: radiceablu.jpg]
9 x\(_{1,2}\) = ————– 4 5
\(\pm\) 3 x\(_{1,2}\) = ——– 4
- x\(_1\) = (5-3)/4 = 2/4 = 1/2
- x\(_2\) = (5+3)/4 = 8/4 = 2
dimostrazione
per mostrare che e’ possibile utilizzare la scomposizione di Ruffini con il divisore (x+1) consideriamo il polinomio associato e scomponiamolo \(ax^3 + bx^2 + bx + a =\) sono 4 termini possiamo raccogliere a fra il primo ed il quarto termine e bx fra il secondo ed il terzo \(= a(x^3 + 1) + bx(x + 1) =\) dentro la prima parentesi ho una somma di cubi: la scompongo \(= a(x + 1)(x^2 - x + 1) + bx(x + 1) =\) ora raccolgo il termine comune (x+1) \(= (x + 1)[a(x^2 - x + 1) + bx] =\) \(= (x + 1)[ax^2 - ax + a + bx] =\) \(= (x + 1)[ax^2 +x(b-a) + a]\) quindi un fattore del polinomio e’ (x+1) come volevamo
per mostrare che e’ possibile utilizzare la scomposizione di Ruffini con il divisore (x-1) consideriamo il polinomio associato e scomponiamolo \(ax^3 + bx^2 - bx - a =\) sono 4 termini possiamo raccogliere a fra il primo ed il quarto termine e bx fra il secondo ed il terzo \(= a(x^3 - 1) + bx(x - 1) =\) dentro la prima parentesi ho una differenza di cubi: la scompongo \(= a(x - 1)(x^2 + x + 1) + bx(x - 1) =\) ora raccolgo il termine comune (x-1) \(= (x - 1)[a(x^2 + x + 1) + bx] =\) \(= (x - 1)[ax^2 + ax + a + bx] =\) \(= (x - 1)[ax^2 +x(a+b) + a]\) quindi un fattore del polinomio e’ (x-1) come volevamo
equazioni reciprochedi quarto grado
Equazioni reciproche di quarto grado
abbiamo due tipi diversi
- \(ax^4 + bx^3 +cx^2+ bx + a = 0\)detta anche di prima specie
- \(ax^4 + bx^3 - bx - a = 0\)detta anche di seconda specie
equazioni reciproche di quarto grado di prima specie
Equazioni reciproche di quarto grado di prima specie E’ del tipo: \(ax^4 + bx^3 +cx^2+ bx + a = 0\)
Per risolvere un’equazione di questo genere prima dividiamo tutti i termini dell’equazione per x\(^{^2}\) \(ax^2 + bx + c\) b + —- + x \(a ---- x^2\) = 0
Raccolgo poi i coefficienti uguali a e b \(a (x^2 +\) \(1 ---- ) x^2\) + b( x + 1 — ) x + c = 0
e poi operiamo la sostituzione \(x +\) \(1---x\) \(= y\)
e quindi \(x^2 +\) \(1 ---- x^2\) \(= y^2 - 2\)
otteremo quindi un’equazione di secondo grado in y che risolveremo normalmente ottenendo per y due valori y\(_{_1}\) e y\(_{_2}\) successivamente risolveremo le due equazioni (di secondo grado) x 1 + —- = x \(y_1\) x 1 + —- = x \(y_2\)
ottenendo per la x i quattro valori delle soluzioni E’ piu’ facile risolverle praticamente che in teoria: vediamo un esempio:
Risolvere l’equazione \(6x^4 - 5x^3 - 38x^2 - 5x + 6 = 0\) divido tutti i termini per \(x^2\) \(6x^2 - 5x - 38\) 5 – —- + x \(6 ----- x^2\) = 0
Raccolgo poi i coefficienti uguali 6 e -5 \(6 (x^2 +\) \(1 ---- ) x^2\) – 5( x + 1 — ) x – 38 = 0
e poi operiamo la sostituzione x + 1 — x = y
e \(x^2 +\) \(1 ---- x^2\) \(= y^2 - 2\)
otteniamo \(6(y^2 -2) - 5y - 38 = 0 6y^2 - 12 - 5y - 38 = 0 6y^2 - 5y - 50 = 0\) che ha soluzioni calcoli Nota che questi risultati non devono essere reciproci tra loro\(y_1 =\) 5 – —- 2 \(y_2 =\) 10 —- 3
ho quindi le due equazioni x 1 + —- = x 5 – —- 2 x 1 + —- = x 10 —- 3
Risolvo la prima: il minimo comune multiplo e’ 2x che e’ certamente diverso da zero \(2x^2 + 2 --------------- 2x\) = – 5x —— 2x
elimino i denominatori \(2x^2 + 2 = - 5x 2x^2 + 5x + 2 = 0\)Nota che e’ un’equazione reciproca: il primo e l’ultimo termine hanno lo stesso coefficiente 2 che ha come soluzioni calcoli le soluzioni sono reciproche\(x_1 = -2\) \(x_2 =\) 1 – —- 2
Risolvo la seconda: il minimo comune multiplo e’ 3x che e’ certamente diverso da zero \(3x^2 + 3 --------------- 2x\) = 10x —— 2x
elimino i denominatori \(3x^2 + 3 = 10x 3x^2 - 10x + 3 = 0\)Nota che e’ un’equazione reciproca: il primo e l’ultimo termine hanno lo stesso coefficiente 3 che ha come soluzioni calcoli Anche queste sono reciproche\(x_1 =\) 1 —- 3 \(x_2 = 3\)
ottenendo per la x i quattro valori delle soluzioni \(x_1 = -2\) \(x_2 =\) \(1- ---- 2\) \(x_3 =\) \(1 ---- 3\) \(x_4 = 3\)
mostriamo che la seconda deriva dalla prima \(x +\) \(1---x\) \(= y\)
elevo al quadrato da una parte e dall’altra (x + 1 — x \()^2 = y^2\)
sviluppo il quadrato \(x^2 + 2 +\) \(1 --- x^2\) \(= y^2\)
il doppio prodotto vale 2: Porto il 2 dopo l’uguale \(x^2 +\) \(1 ---- x^2\) \(= y^2 - 2\)
come volevamo
infatti per fare il doppio prodotto hai 2 · x · \(1---- x\) \(= 2\)
la x al numeratore si semplifica con la x al denominatore
x 1 + —- = x \(y_1\)
e’ un’equazione di secondo grado perche’ se fai il minimo comune multiplo ottieni \(x^2 + 1 -------- x\) = \(x y_1 ----- x\)
siccome l’equazione e’ reciproca e il numero zero non ha reciproco allora la x e’ certamente diversa da zero e posso togliere il denominatore \(x^2 + 1 = x y_1\) e ricordando che y\(_{_1}\) e’ un numero ordinando l’equazione ottengo \(x^2 - y_1x + 1 = 0\) che e’ una normalissima equazione di secondo grado completa
L’equazione e’ reciproca cioe’ le soluzioni devono essere reciproche fra loro Il numero 0 non ha reciproco (e quindi non puo’ essere soluzione) perche’ non esiste nessun numero che moltiplicato per zero dia risultato 1 se infatti esistesse avremmo Numero · 0 = 1 e quindi \(Numero =\) \(1---- 0\)
e non si puo’ mai dividere un numero per zero!
risolviamo l’ equazione: \(6y^2 - 5y - 50 = 0\) prendiamo la formula risolutiva
\(\sqrt{\phantom{x}}\)
\(\pm\) \(b^2 - 4ac\)
\(y_{1,2} =\)
abbiamo: a = 6 b = -5 c = – 50 sostituiamo nella formula
\(\sqrt{\phantom{x}}\)
–(-5)
\(\pm\) \((-5)^2 - 4(6)(-50)\)
\(y_{1,2} =\) =
2(6)
facciamo i calcoli dentro radice
\(\sqrt{\phantom{x}}\)
\(\pm\) 25 + 1200
\(\sqrt{\phantom{x}}\)
\(\pm\) 1225
\(\pm\) 35 = ———– = 12
adesso devo prendere una volta il piu’ ed una volta il meno 5 + 35 = ——— = 12 10 —- 3
5 – 35 = ——— = 12 5 – —- 2
Ho quindi le due soluzioni \(y_1 =\) \(5- ---- 2\) \(y_2 =\) \(10 ---- 3\)
risolviamo l’ equazione: \(2x^2 + 5x + 2 = 0\) prendiamo la formula risolutiva
\(\sqrt{\phantom{x}}\)
\(\pm\) \(b^2 - 4ac\)
\(x_{1,2} =\)
abbiamo: a = 2 b = 5 c = 2 sostituiamo nella formula
\(\sqrt{\phantom{x}}\)
\(\pm\) \((5)^2 - 4(2)(2)\)
\(x_{1,2} =\) =
2(2)
facciamo i calcoli dentro radice
\(\sqrt{\phantom{x}}\)
\(\pm\) 25 – 16
\(\sqrt{\phantom{x}}\)
\(\pm\) 9
\(\pm\) 3 = ———– = 4
adesso devo prendere una volta il piu’ ed una volta il meno -5 + 3 = ——— = 4 1 –— 2
-5 – 3 = ——— = 4 – 2
Ho quindi le due soluzioni \(x_1 =\) \(1- ---- 2\) \(x_2 =\) \(- 2\)
risolviamo l’ equazione: \(3x^2 - 10x + 3 = 0\) prendiamo la formula risolutiva ridotta
\(\sqrt{\phantom{x}}\)
\(\beta\)
\(\pm\) \(^2 - ac\)
\(x_{1,2} =\)
abbiamo: a = 3 b = -10
\(\beta\) = -5 c = 3 sostituiamo nella formula
\(\sqrt{\phantom{x}}\)
–(-5)
\(\pm\) \((-5)^2 - (3)(3)\)
\(x_{1,2} =\) =
facciamo i calcoli dentro radice
\(\sqrt{\phantom{x}}\)
\(\pm\) 25 – 9
\(\sqrt{\phantom{x}}\)
\(\pm\) 16
\(\pm\) 4 = ———– 3
adesso devo prendere una volta il piu’ ed una volta il meno 5 – 4 = ——— = 3 1 — 3
5 + 4 = ——— = 3 3
Ho quindi le due soluzioni \(x_1 =\) \(1 ---- 3\) \(x_2 =\) \(3\)
equazioni reciproche di quarto grado di seconda specie
Equazioni reciproche di quarto grado di seconda specie Sono del tipo: \(ax^4 + bx^3 - bx - a = 0\)
Il polinomio associato e’ sempre scomponibile per (x-1)(x+1) Per mostrare che e’ possibile utilizzare la scomposizione di Ruffini con i divisori (x-1)(x+1) consideriamo il polinomio associato e scomponiamolo \(ax^4 + bx^3 - bx - a =\) sono 4 termini possiamo raccogliere a fra il primo ed il quarto termine e bx fra il secondo ed il terzo \(= a(x^4 - 1) + bx(x^2 - 1) =\) dentro la prima parentesi ho una differenza di quadrati: la scompongo \(= a(x^2 - 1)(x^2 + 1) + bx(x^2 - 1) =\) ora raccolgo il termine comune \((x^2-1)\) \(= (x^2 - 1)[a(x^2 + 1) + bx] =\) \(= (x^2 - 1)[ax^2 + a + bx] =\) \(= (x - 1)(x + 1)(ax^2 + bx + a)\) quindi due fattori del polinomio sono (x-1)(x+1) e scomponendo con Ruffini otterremo come quoziente un’equazione di secondo grado
vediamo un esempio: Risolvere l’equazione \(3x^4 - 10x^3 + 10x - 3 = 0\) considero il polinomio associato \(3x^4 - 10x^3 + 10x - 3\) e scompongo per (x-1): faccio subito la divisione di Ruffini ricordandomi di ordinare perche’ manca il termine in x\(^{^2}\) \(3\) \(-10\) \(//\) \(10\) \(-3\)
\(1\) \(3\) \(-7\) \(-7\) \(3\)
\(3\) \(-7\) \(-7\) \(3\)
ottengo: \(3x^4 - 10x^3 + 10x - 3 = (x - 1)(3x^3 - 7 x^2 - 7x + 3)=\) ora continuo a scomporre per (x+1): faccio subito la divisione di Ruffini \(3\) \(-7\) \(-7\) \(3\)
\(-1\) \(-3\) \(10\) \(-3\)
\(3\) \(-10\) \(3\)
quindi ho \(3x^4 - 10x^3 + 10x - 3 = (x - 1)(3x^3 - 7 x^2 - 7x + 3)= (x-1)(x+1)(3x^2 - 10x + 3)\) devo risolvere \((x-1)(x+1)(3x^2 - 10x + 3) = 0\)
pongo ogni fattore uguale a zero
\(3x^2 - 10x + 3 = 0\) ha come soluzioni calcoli \(x_1 =\) 1 —- 3 \(x_2 = 3\)
- x – 1 = 0 ottengo x = 1
- x + 1 = 0 ottengo x = -1
quindi le soluzioni dell’equazione di partenza sono (le ho ordinate) \(x_1 = -1\) \(x_2\) \(1= ---- 3\) \(x_3 = 1\) \(x_4 = 3\)
equazioni reciproche di quinto grado
Facciamo solo un cenno sul metodo di soluzione Posono essere di due tipi: \(ax^5 + bx^4 + cx^3+ cx^2 + bx + a = 0\) prima specie \(ax^5 + bx^4 + cx^3 - cx^2 - bx - a = 0\) seconda specie
l’equazione reciproca e’ di grado dispari, siccome ogni soluzione deve avere la sua reciproca e, per il teorema fondamentale dell’algebra le soluzioni sono in numero dispari (5) allora (intuitivamente) tra le soluzioni dovra’ sempre esservi 1 (o -1) come numero reciproco di se’ stesso in particolare per le equazioni reciproche di prima specie -1 per le equazioni reciproche di seconda specie +1 Pertanto potremo sempre usare Ruffini con il divisore (x+1) per le equazioni di prima specie (x-1) per le equazioni di seconda specie In questo modo l’equazione si trasforma in prodotto fra il termine (x+1) oppure (x-1) ed un’equazione reciproca di quarto grado che sappiamo gia’ risolvere
equazioni risolubili con artifici
Equazioni risolubili con artifici (opportune sostituzioni)
Qui purtroppo non c’e’ niente da fare: sono equazioni che riesci a risolvere solamente con l’esperienza e quindi saprai come comportarti quando avrai fatto esercizi,esercizi ed esercizi Vediamo qualche esempio molto semplice e limitato ad opportune sostituzioni, ricordando che non e’ possibile considerare tutti i casi possibili
Devi vedere come prima cosa se e’ possibile suddividere le incognite in gruppi in modo che un gruppo sia il quadrato dell’altro: in questo modo puoi traformare la tua equazione in un’equazione di secondo grado: risolvere \((x^2 - 4x +8)^2 - x^2 + 4x = 28\) se vado a sviluppare ottengo un’equazione di quarto grado Osservo che prima dell’uguale il termine dentro parentesi e’ quasi simile (a parte il segno) a quello fuori di parentesi: manca il numero 8, lo estraggo dal termine noto \((x^2 - 4x +8)^2 - x^2 + 4x = 20 + 8 (x^2 - 4x +8)^2 - x^2 + 4x - 8 = 20\) adesso metto in evidenza il meno \((x^2 - 4x +8)^2 - (x^2 - 4x + 8) = 20\) Ora posso operare la sostituzione \(x^2 - 4x + 8 = y\) e la mia equazione diventa \(y^2 - y = 20 y^2 - y - 20 = 0\) ottengo le soluzioni calcoli \(y_1 = -4\) \(y_2 = 5\)
adesso sostituisco i valori trovati alla y e devo risolvere le due equazioni \(x^2 - 4x + 8 = -4\) \(x^2 - 4x + 8 = 5\)
Risolvo la prima \(x^2 - 4x + 8 = -4\) \(x^2 - 4x + 12 = 0\) ottengo le soluzioni calcoli \(x_1 = 2 - 2i2\) \(x_2 = 2 + 2i2\)
Risolvo la seconda \(x^2 - 4x + 8 = 5\) \(x^2 - 4x + 3 = 0\) ottengo le soluzioni calcoli \(x_1 = 1\) \(x_2 = 3\)
Ho quindi le soluzioni \(x_1 = 1\) \(x_2 = 3\) \(x_3 = 2 - 2i2\) \(x_4 = 2 + 2i2\)
Naturalmente potevo eseguire i calcoli e poi risolvere l’equazione di quarto grado con il metodo delle equazioni abbassabili di grado, ma qui ti ho mostrato il metodo che puoi applicare anche quando non puoi utilizzare altri metodi: pensa se le soluzioni fossero state
[figura: radicea.jpg]
3, 2
[figura: radicea.jpg]
7, 3/7 , 5/4 in tal caso e’ un po’ difficile usare il metodo di abbassare di grado lo stesso ragionamento vale anche per l’ equazione successiva che, se facessi i calcoli, si traformerebbe in una equazione trinomia di sesto grado
Quando hai delle frazioni e’ utile cercare di raggruppare tutte le incognite in termini uguali in modo da poterli sostituire mediante una y: risolvere: \(7 ---------- + x^3 - 1\) \(7x^3\) \(= 57\)
siccome sotto abbiamo x\(^{^3}\)-1 vediamo se possiamo trasformare anche l’altra x in modo che diventi x\(^{^3}\)-1 siccome davanti ad x\(^{^3}\) ho il 7 devo togliere un 7; lo estraggo dal termine noto \(7 ---------- + x^3 - 1\) \(7x^3\) = 50 + 7
\(7 ---------- + x^3 - 1\) \(7x^3\) – 7 = 50
ora metto in evidenza il 7 \(7 ---------- + x^3 - 1\) \(7(x^3\) – 1) = 50
adesso opero la sostituzione \(x^3 - 1 = y\) ed ottengo 7 —— + y 7y = 50
supponendo y diverso da zero posso fare il minimo comune multiplo \(7 + 7y^2 ------------- = y\) 50y ——- y
elimino i denominatori \(7 + 7y^2 = 50y 7y^2 - 50y + 7 = 0\) ottengo le soluzioni calcoli \(x_1\) 1 = ——– 7 \(x_2 = 7\)
adesso sostituisco i valori trovati alla y e devo risolvere le due equazioni \(x^3 - 1 =\) 1 — 7 \(x^3 - 1 = 7\)
Risolvo la prima \(x^3 - 1 =\) 1 — 7
\(x^3 =\) 1 — 7 + 1
\(x^3 =\) 8 — 7
Cerco sia le radici reali che complesse \(x^3 -\) 8 — 7 = 0
considero il polinomio associato e lo scompongo come differenza di cubi\(x^3\) 8 – — = 7 (x – 2 —-
\(\sqrt[3]{\phantom{x}}\)7 \() ( x^2\) 2x + —- +
\(\sqrt[3]{\phantom{x}}\)7 \(4 ------ ) 7^2\)
uguagliando a zero devo risolvere le due equazioni x 2 – —- =
\(\sqrt[3]{\phantom{x}}\)7 0 \(x^2\) 2x + —- +
\(\sqrt[3]{\phantom{x}}\)7 \(4 ------ = 7^2\) 0
risolvo la prima ed ottengo una soluzione reale \(x_1 =\) \(2 ---- 7\)
la seconda mi dara’ due soluzioni complese e coniugate faccio il minimo comune multiplo \(x^27^2 + 2x7 + 4 -------------------------- = 7^2\) \(0 ------ 7^2\)
elimino i denominatori \(x^27^2 + 2x7 + 4 = 0\) ottengo le soluzioni calcoli \(x_2 =\) \(-1 + i3 ---------7\) \(x_3 =\) \(-1 - i3 ---------7\)
Risolvo la seconda \(x^3 - 1 = 7\) \(x^3 = 8\) Cerco sia le radici reali che complesse considero il polinomio associato e lo scompongo come differenza di cubi \(x^3 - 8 = (x - 2)(x^2 + 2x + 4)\) uguagliando a zero devo risolvere le due equazioni x – 2 = 0 \(x^2 + 2x + 4 = 0\)
la prima mi da’ la soluzione reale \(x_1 = 2\) la seconda mi dara’ due soluzioni complesse e coniugate \(x^2 + 2x + 4 = 0\) ottengo le soluzioni calcoli \(x_2 = -1 - i3\) \(x_3 = -1 + i3\)
Ho quindi le 6 soluzioni \(x_1 =\) \(2 ---- 7\) \(x_2 =\) \(-1 + i3 ---------7\) \(x_3 =\) \(-1 - i3 ---------7\) \(x_4 = 2\) \(x_5 = -1 - i3\) \(x_6 = -1 + i3\)
risolviamo l’ equazione: \(y^2 - y - 20 = 0\) prendiamo la formula risolutiva
\(\sqrt{\phantom{x}}\)
\(\pm\) \(b^2 - 4ac\)
\(y_{1,2} =\)
abbiamo: a = 1 b = -1 c = – 20 sostituiamo nella formula
\(\sqrt{\phantom{x}}\)
–(-1)
\(\pm\) \((-1)^2 - 4(1)(-20)\)
\(y_{1,2} =\) =
2(1)
facciamo i calcoli dentro radice
\(\sqrt{\phantom{x}}\)
\(\pm\) 1 + 80
\(\sqrt{\phantom{x}}\)
\(\pm\) 81
\(\pm\) 9 = ———– = 2
adesso devo prendere una volta ilmeno ed una volta il piu’ 1 – 9 = ——— = 2 – 4
1 + 9 = ——— = 22 5
Ho quindi le due soluzioni \(y_1 = -4\) \(y_2 = 5\)
risolviamo l’ equazione: \(x^2 - 4x + 12 = 0\) prendiamo la formula risolutiva ridotta
\(\sqrt{\phantom{x}}\)
\(\beta\)
\(\pm\) \(^2 - ac\)
\(x_{1,2} =\)
abbiamo: a = 1 b = -4
\(\beta\) = -2 c = 12 sostituiamo nella formula
\(\sqrt{\phantom{x}}\)
–(-2)
\(\pm\) \((-2)^2 - (1)(12)\)
\(x_{1,2} =\) =
facciamo i calcoli dentro radice
\(\sqrt{\phantom{x}}\)
\(\pm\) 4 – 12 =
\(\sqrt{\phantom{x}}\)
\(\pm\) -8 =
Essendo negativo il termine dentro radice otterro’ due radici complesse e coniugate ricordando che 8 = 2\(^{^3}\) = 2\(^{^2}\)·2 ottengo = 2
\(\pm\) 2i
\(\sqrt{\phantom{x}}\)2 Ho quindi le due soluzioni \(x_1 = 2 - 2i2\) \(x_2 = 2 + 2i2\)
risolviamo l’ equazione: \(x^2 - 4x + 3 = 0\) prendiamo la formula risolutiva ridotta
\(\sqrt{\phantom{x}}\)
\(\beta\)
\(\pm\) \(^2 - ac\)
\(x_{1,2} =\)
abbiamo: a = 1 b = -4
\(\beta\) = -2 c = 3 sostituiamo nella formula
\(\sqrt{\phantom{x}}\)
–(-2)
\(\pm\) \((-2)^2 - (1)(3)\)
\(x_{1,2} =\) =
facciamo i calcoli dentro radice
\(\sqrt{\phantom{x}}\)
\(\pm\) 4 – 3 =
\(\pm\) 1 adesso devo prendere una volta il piu’ ed una volta il meno ed ottengo le due soluzioni \(x_1 =\) \(1\) \(x_2 =\) \(3\)
risolviamo l’ equazione: \(7y^2 - 50y + 7 = 0\) intanto osservando i coefficienti vedi che si tratta di un’equazione reciproca prendiamo la formula risolutiva ridotta
\(\sqrt{\phantom{x}}\)
\(\beta\)
\(\pm\) \(^2 - ac\)
\(y_{1,2} =\)
abbiamo: a = 7 b = -50
\(\beta\) = -25 c = 7 sostituiamo nella formula
\(\sqrt{\phantom{x}}\)
–(-25)
\(\pm\) \((-25)^2 - (7)(7)\)
\(y_{1,2} =\) =
facciamo i calcoli dentro radice
\(\sqrt{\phantom{x}}\)
\(\pm\) 625 – 49
\(\sqrt{\phantom{x}}\)
\(\pm\) 576
\(\pm\) 24 = ———– 7
adesso devo prendere una volta il meno ed una volta il piu’ 25 – 24 ————– = 7 1 — 7
25 + 24 ————– = 7 7
Ho quindi le due soluzioni \(y_1 =\) \(1 ---- 7\) \(y_2 =\) \(7\)
risolviamo l’ equazione: \(x^27^2 + 2x7 + 4 = 0\) prendiamo la formula risolutiva ridotta
\(\sqrt{\phantom{x}}\)
\(\beta\)
\(\pm\) \(^2 - ac\)
\(y_{1,2} =\)
abbiamo: \(a = 7^2 b = 2 7 = 7 c = 4\) sostituiamo nella formula
\(\sqrt{\phantom{x}}\)
\(\sqrt[3]{\phantom{x}}\)7
\(\pm\) \((7)^2 - (7^2)(4)\)
\(y_{1,2} =\) =
\(7^2\)
facciamo i calcoli dentro radice
\(\sqrt{\phantom{x}}\)
\(\sqrt[3]{\phantom{x}}\)7
\(\pm\) \(7^2 - 47^2\)
\(7^2\)
\(\sqrt{\phantom{x}}\)
\(\sqrt[3]{\phantom{x}}\)7
\(\pm\) \(-37^2\)
\(7^2\)
posso estrarre
\(\sqrt[3]{\phantom{x}}\)7 di radice perche’ ho 7\(^{^2}\)calcoli\(- 7 7 -3 = ----------------------- = 7^2\)
cioe’ \(- 7 i7 3 = ----------------------- = 7^2\)
ora raccolgo
\(\sqrt[3]{\phantom{x}}\)7al numeratore per semplificarlo con parte del denominatore \(7 ( -1 i 3 ) = ----------------------- = 7^2\)
semplifico ed ottengo -1
\(\pm\) i
[figura: radiceablu.jpg]
3 = ———————– =
\(\sqrt[3]{\phantom{x}}\)7
adesso devo prendere una volta il piu’ ed una volta il meno ed ottengo le due soluzioni \(x_1 =\) \(-1 + i 3 -------------------- 7\) \(x_1 =\) \(-1 - i 3 -------------------- 7\)
vediamo come estrarre di radice quello che possiamo dell’espressione
\(\sqrt{\phantom{x}}\)
\(-37^2 =\)
vediamolo intuitivamente Posso scrivere:
\(\sqrt{\phantom{x}}\)
= \(-3(7 )^2 =\)
adesso estraggo il quadrato dalla radice ed ottengo =
\(\sqrt[3]{\phantom{x}}\)7
[figura: radiceablu.jpg]
risolviamo l’ equazione: \(x^2 + 2x + 4 = 0\) prendiamo la formula risolutiva ridotta
\(\sqrt{\phantom{x}}\)
\(\beta\)
\(\pm\) \(^2 - ac\)
\(x_{1,2} =\)
abbiamo: a = 1 b = 2
\(\beta\) = 1 c = 4 sostituiamo nella formula
\(\sqrt{\phantom{x}}\)
\(\pm\) \((1)^2 - (1)(4)\)
\(x_{1,2} =\) =
facciamo i calcoli dentro radice
\(\sqrt{\phantom{x}}\)
\(\pm\) 1 – 4 =
\(\sqrt{\phantom{x}}\)
\(\pm\) -3 =
Essendo negativo il termine dentro radice otterro’ due radici complesse e coniugate = 1
\(\pm\) i
\(\sqrt{\phantom{x}}\)3 Ho quindi le due soluzioni \(x_1 = 1 - i3\) \(x_2 = 1 + i3\)
equazioni risolubili con metodi grafici
E’ l’ultima spiaggia: se proprio non e’ possibile fare nient’altro, con questo metodo potrai almeno ottenere una soluzione approssimata. Rimandando al capitolo Analisi numerica per l’analisi dell’approssimazione vediamo qui un semplice esempio del metodo; Per seguire il metodo devi conoscere bene la geometria cartesiana e devi saper tracciare i grafici delle principali funzioni
Vediamo il metodo su un semplice esempio risolvere \(log x + x = 0\) \(per log x intendiamo il logaritmo naturale di x: log x = ln x = log_e x\) cerchiamo di separare l’espressione in due funzioni di cui conosciamo i grafici una prima ed una dopo l’uguale log x = -x La soluzione cercata sara’ l’ascissa del punto di intersezione delle due funzioni (o anche punto comune alle due funzioni)
[figura: graffablu.jpg]
y = log x y= -x
[figura: grafico01.jpg]
E’ sufficiente ora tracciare i grafici delle due funzioni La prima e’ la funzione logaritmo la seconda e’ la bisettrice del secondo e quarto quadrante La soluzione (il punto blu piu’ grosso) e’ compresa fra 0 ed 1 e vale circa 0,4