Parabola: definizione, equazione e proprietà

definizione di parabola

Definizione di parabola Parliamo della parabola: prima studieremo la parabola con vertice l’origine ed asse coincidente con l’asse y; poi vedremo la parabola con asse parallelo all’asse delle y e vedremo che l’equazione della parabola ha tanti punti di contatto con l’equazione di secondo grado

• Definizione
• Equazione della parabola con vertice nell’origine
• equazione della parabola con asse parallelo all’asse y
• equazione della parabola con asse parallelo all’asse delle x
• Problemi sulla parabola

parabola

[figura: parabola02.jpg]

Definizione La parabola e’ il luogo geometrico dei punti del piano per cui e’ uguale la distanza da un punto fisso F detto fuoco e da una retta fissa detta direttrice Significa che per tutti i punti P della figura avremo che \(PF = PH\)

Parabola con vertice nell'origine ed asse verticale

[figura: parabola01.jpg]

Consideriamo il Fuoco sull’asse y e la direttrice come retta orizzontale da banda opposta dell’origine rispetto al fuoco e avente dall’origine la stessa distanza che il fuoco PF = PH

• Equazione della parabola con asse verticale e vertice nell’origine
• Proprieta’ della parabola con asse verticale e vertice nell’origine
• Esercizi

Equazione della parabola con vertice nell'origine ed asse verticale

[figura: parabola01.jpg]

Applichiamo la definizione considerando il Fuoco sull’asse y e la direttrice come retta orizzontale da banda opposta dell’origine rispetto al fuoco ed avente dall’origine la stessa distanza del fuoco PF = PH ora dobbiamo decidere quanto vale la distanza dall’origine del fuoco e della direttrice

Abbiamo il solito problema: se mettiamo semplice la costante avremo poi un’equazione complicata, mentre conviene porre la costante in un certo modo in maniera che poi l’equazione resti semplice negli anni ’60 si preferiva procedere cosi’

Per avere il risultato semplice poniamo \(1\)

\(F = (0 ,\) \(---\) )

\(4a\)

quindi la direttrice avra’ equazione \(1\)

\(y = -\) \(---\)

\(4a\)

Siccome devo porre PF=PH ricaviamo PF e PH Per ricavare PF uso la formula della distanza fra due punti \(P = (x,y)\) \(1\)

\(F = (0 ,\) \(---\) )

\(4a\)

\(\sqrt{\phantom{x}}\)

\(1\)

\(PF =\) \(( x - 0)^2 + ( y -\) \(---\) \()^2\)

\(4a\)

Per trovare PH mi servono le coordinate di H osservando la figura vedo che la x di H e’ uguale a quella di P mentre la y si trova sulla direttrice quindi vale -1/4a \(P = (x,y)\) \(1\)

\(H = (x , -\) \(---\) )

\(4a\)

anche qui applico la distanza fra due punti potevo fare anche la distanza punto retta, oppure osservare che il segmento e’ verticale quindi si puo’ ottenere come differenza fra le coordinate y

\(\sqrt{\phantom{x}}\)

\(1\)

\(PH =\) \(( x - x)^2 + ( y +\) \(---\) \()^2\)

\(4a\)

(x-x) vale zero e sparisce: posso semplificare il quadrato con la radice: ottengo per fare prima posso uguagliare le radici e poi eliminarle prima e dopo l’uguale e quindi saltare un paio di passaggi \(1\)

\(PH = y +\) \(---\)

\(4a\)

imposto l’uguaglianza PF = PH

\(\sqrt{\phantom{x}}\)

\(1\) \(1\)

\(( x - 0)^2 + ( y -\) \(---\) \()^2 = y +\) \(---\)

\(4a\) \(4a\)

Per togliere la radice elevo al quadrato prima e dopo l’uguale, cosi’ la radice si elimina con il quadrato \(1\) \(1\)

\(x^2 + ( y -\) \(---\) \()^2 = (y\) \(+ --- )^2\)

\(4a\) \(4a\)

eseguo i quadrati y \(1\) y \(1\)

\(x^2 + y^2\) \(- --- +\) \(------\) \(= y^2\) \(+ ---- +\) \(------\)

\(2a\) \(16a^2\) \(2a\) \(16a^2\)

elimino i termini uguali da parti opposte dell’uguale y y

\(x^2\) \(- --- =\) \(----\)

\(2a\) \(2a\)

Faccio il minimo comune multiplo 2a \(2ax^2 - y\) y

\(-------------\) \(=\) \(-------\)

\(2a\) \(2a\)

elimino i denominatori \(2ax^2 - y = y\) \(2ax^2 = y + y\) \(2ax^2 = 2y\) \(2y = 2ax^2\)ho usato la proprieta’ simmetrica e, dividendo per 2, ottengo la formula finale

\[y = ax^2\]

[figura: parabola01.jpg]

Poniamo \(F = (0 , p)\) quindi la direttrice avra’ equazione \(y = - p\) Siccome devo porre PF=PH ricaviamo PF e PH Per ricavare PF uso la formula della distanza fra due punti \(P = (x,y) F = ( 0,p)\) \(PF_ = (x - 0)^2 + (y - p)^2 = x^2 + (y - p)^2\) Per trovare PH mi servono le coordinate di H osservando la figura vedo che la x di H e’ uguale a quella di P mentre la y si trova sulla direttrice quindi vale -p \(P = (x,y) H = (x, -p)\) Osservo che il segmento PH e’ verticale quindi si puo’ ottenere come differenza fra le coordinate y potevo fare anche la distanza punto retta, oppure la distanza fra due punti PH_ PH_ = | y + p | Il modulo indica che il valore della distanza e' sempre positivo imposto l’uguaglianza PF_ = PH_ \(x^2 + (y - p)^2 = | y + p |\) Per togliere la radice elevo al quadrato prima e dopo l’uguale, cosi’ la radice si elimina con il quadrato \(x^2 + (y - p)^2 = (y + p)^2\) eseguo i quadrati Essendo un quadrato sempre non negativo posso trascurare il modulo \(x^2 + y^2 - 2py + p^2 = y^2 + 2py + p^2\) elimino i termini uguali da parti opposte dell’uguale \(x^2 - 2py = 2py x^2 = 2py + 2py x^2 = 4py\) ricavo y \(4py = x^2\) e, dividendo per 4p, ottengo la formula finale \(1\)

\(y =\) \(-----\) \(x^2\)

\(4p\)

Per avere la formula canonica ora basta porre \(1\)

\(-----\) \(= a\)

\(4p\)

proprieta' della parabola con vertice l'origine

Proprieta' della parabola con vertice nell'origine ed asse verticale

[figura: parabola03.jpg]

Matematicamente sull’equazione della parabola

\[y = ax^2\]

non c’e’ molto da dire Se a e’ maggiore di zero la parabola per valori di x che si discostano da 0 (aumentano o diminuiscono) aumenta verso piu’ infinito, cioe’ assume valori positivi sempre piu’ grandi quindi la curva si trova tutta sopra l’asse orizzontale

la curva va ad infinito senza che sia possibile pensare una retta che accompagni la curva come abbiamo visto per l’iperbole

[figura: parabola04.jpg]

Se a e’ minore di zero la parabola per valori di x che si discostano da 0 (aumentano o diminuiscono) diminuisce verso meno infinito, cioe’ assume valori sempre piu’ piccoli (piu’ grandi in valore assoluto ma negativi) quindi la curva si trova tutta sotto l’asse orizzontale

Invece in fisica la parabola \(y = ax^2\) e’ fondamentale in quanto rappresenta la proporzionalita’ quadratica e trova svariate applicazioni; quella che interessa noi piu’ da vicino e’ il legame esistente fra spazio e tempo nel moto uniformemente accelerato (con partenza da fermo) 1

s = — \(a t^2\)

esercizi sulla parabola con vertice l'origine

Esercizi sulla parabola con vertice nell'origine ed asse verticale Se osserviamo l’equazione della parabola

\[y = ax^2\]

vediamo che esiste solo un parametro a pertanto bastera’ una sola condizione per determinarne l’equazione: vediamone un semplice esempio

Determinare l’equazione della parabola con vertice nell’origine ed asse verticale che passa per il punto A=(2,8) consideriamo la parabola \(y = ax^2\) imponiamo il passaggio della curva per A (basta sostituire ad x e y le cordinate di A)

[figura: parabola05.jpg]

\(8 = a(2)^2 8 = 4a 4a = 8 a = 2\) quindi l’equazione cercata e’ \(y = 2 x^2\) a destra la rappresentazione grafica

parabola con asse verticale

Parabola con asse parallelo all'asse y Iniziamo ora a studiare la parabola eseguendo una traslazione di coordinate in modo che la parabola non abbia piu’ il vertice nell’origine ma in un punto qualunque nel piano

• introduzione
• equazione della parabola con asse verticale
• proprieta’ della parabola con asse verticale
• esercizi sulla parabola con asse verticale

introduzione alla parabola con asse verticale

Introduzione alla parabola con asse parallelo all'asse y

[figura: parabola06.jpg]

Consideriamo l’equazione della parabola con vertice nell’origine O, \(y = ax^2\) faremo una traslazione di coordinate in modo da avere la nuova origine nel punto O’ Vedremo che con un’opportuna scelta delle coordinate della nuova origine otterremo l’equazione \(y = ax^2 + bx + c\)

Al solito potremmo considerare semplici le coordinate della nuova origine, ma saremmo alla fine costretti a porre le espressioni costanti ottenute uguali ad a, b e c ho visto eseguire questo procedimento alternativo solo in una scuola, comunque se ti interessa vederlo

equazione della parabola con asse verticale

Equazione della parabola con asse parallelo all'asse y

[figura: parabola06.jpg]

Consideriamo l’equazione della parabola con vertice nell’origine O, \(Y = aX^2\) Spostiamo la nuova origine degli assi nel punto b \(b^2 - 4 ac\)

O’ = \(-\) \(-----\) \(; -\) \(---------------\)

\(2a\) \(4a\)

O’, faremo quindi la traslazione di coordinate

X = x + —-

\(b^2 - 4ac\)

Y = y + ———-

sostituiamo nell’equazione di partenza \(b^2 - 4ac\)

\((\)

\()\)

y + ————– = a x + —-

4a 2a

sviluppo il quadrato e semplifico il 2 nel doppio prodotto \(b^2 - 4ac\)

\((\)

2bX \(/\) \(b^2\)

\()\)

y + ————– = a \(x^2\) + ——- + ——-

4a 2a\(/\) \(4a^2\)

moltiplico al secondo termine per a e semplifico ove possibile \(b^2 - 4ac\) abX \(/\) \(ab^2/\)

y + ————– = a \(x^2\) + ——- + ——-

4a a\(/\) \(4a^2/\)

ottengo \(b^2 - 4ac\) \(b^2\)

y + ————– \(= ax^2 + bx +\) ——-

4a 4a

Faccio il m.c.m. = 4a \(4ay + b^2 - 4ac\) \(4a^2x^2 + 4abx + b^2\)

———————- = ———————

4a 4a

Tolgo il denominatore ed elimino quello che posso \(4ay + b^2/ - 4ac = 4a^2x^2 + 4abx + b^2/\) \(4ay = 4a^2x^2 + 4abx + 4ac\) Ora divido tutti i termini per 4a ed ottengo la formula finale

\[y = ax^2 + bx + c\]

proprieta' della parabola con asse verticale

Proprieta' della parabola con asse parallelo all'asse y Consideriamo l’equazione

\[y = ax^2 + bx + c\]

Vediamo ora di fissare le principali conoscenze per poterla studiare al meglio

• Vertice, fuoco, asse e direttrice
• Condizioni necessarie per individuare l’equazione

Vertice, fuoco, asse e direttrice Se consideriamo l’equazione

\[y = ax^2 + bx + c\]

per ottenere le equazioni del vertice, del fuoco e della direttrice bastera’ considerare che la traslazione interessa tutti i dati quindi bastera’ applicare la traslazione di coordinate ai dati che avevamo per la parabola con il vertice nell’origine

Coordinate del vertice calcoli b \(b^2 - 4 ac\)

\(V =\) \(-\) \(-----\) \(; -\) \(---------------\)

\(2a\) \(4a\)

\(Determinare le coordinate del vertice della parabola di equazione y = x^2 - 5x + 6 soluzione\)

Coordinate del fuoco calcoli b \(1\) \(b^2 - 4 ac\)

\(F =\) \(-\) \(-----\) \(= ----- -\) \(---------------\)

\(2a\) \(4a\) \(4a\)

\(Determinare le coordinate del fuoco della parabola di equazione y = x^2 - 5x + 6 soluzione\)

Equazione dell'asse calcoli b

\(x = -\) \(-----\)

\(2a\)

\(Determinare l'equazione dell'asse della parabola di equazione y = x^2 - 5x + 6 soluzione\)

Equazione della direttrice calcoli \(1\) \(b^2 - 4 ac\)

\(y =\) \(- ----- -\) \(---------------\)

\(4a\) \(4a\)

\(Determinare l'equazione della direttrice della parabola di equazione y = x^2 - 5x + 6 soluzione\)

Coordinate del vertice

Coordinate del vertice siccome nella parabola \(y = ax^2\) il vertice e’ nel punto O= (X,Y) = (0,0) applicando la traslazione di coordinate

x = X – —-

\(b^2 - 4ac\)

y = Y – ———-

otterremo le coordinate del vertice sostituendo 0 ad X e ad Y, quindi avremo b \(b^2 - 4 ac\)

\(V = (V_x, V_y) =\) \(-\) \(-----\) \(; -\) \(---------------\)

\(2a\) \(4a\)

Un buon metodo mnemonico per ricordarsi le coordinate del vertice e’ confontare le coordinate con la soluzione dell’equazione di secondo grado \(-b (b^2 - 4ac) x_{1,2} = ---------------------- 2a\) Il termine V\(_{_x}\) corrisponde alla parte fuori di radice mentre nel temine V\(_{_y}\) al numeratore c’e’ il temine che e’ sotto radice con davanti il segno – e sotto devi mettere 4a

Coordinate del fuoco

Coordinate del fuoco siccome nella parabola \(y = ax^2\) il fuoco e’ nel punto 1

F = (X,Y) = (0 , — )

applicando la traslazione di coordinate

x = X – —-

\(b^2 - 4ac\)

y = Y – ———-

otterremo le coordinate del fuoco sostituendo 0 ad X e -1/4a ad Y, quindi avremo b \(1\) \(b^2 - 4 ac\)

\(F =\) \(-\) \(-----\) \(= ----- -\) \(---------------\)

\(2a\) \(4a\) \(4a\)

Equazione dell'asse

Equazione dell'asse siccome nella parabola \(y = ax^2\) l’asse ha equazione X = 0 applicando la traslazione di coordinate

x = X – —-

\(b^2 - 4ac\)

y = Y – ———-

otterremo la nuova equazione sostituendo 0 ad X nella prima delle due equazioni, quindi avremo b

\(x = -\) \(-----\)

\(2a\)

Equazione della direttrice

Equazione della direttrice siccome nella parabola \(y = ax^2\) la direttrice ha equazione 1

Y = – —

applicando la traslazione di coordinate

x = X – —-

\(b^2 - 4ac\)

y = Y – ———-

otterremo la nuova equazione della direttrice sostituendo -1/4a ad Y nella seconda delle due equazioni, quindi avremo \(1\) \(b^2 - 4 ac\)

\(y =\) \(- ----- -\) \(---------------\)

\(4a\) \(4a\)

esercizio per determinare le coordinate del vertice

esercizio per determinare le coordinate del vertice Determinare le coordinate del vertice della parabola di equazione \(y = x^2 - 5x + 6\) le coordinate del vertice sono:

\((\)

b \(b^2 - 4 ac\)

\()\)

V = – —– ; – —————

2a 4a

abbiamo a = 1 b = -5 c = 6 Calcoliamo la coordinata x del vertice: V\(_{_x}\) b -5 5

\(V_x =\) – —– = – —– = —

2a 2 2

Calcoliamo la coordinata y del vertice: V\(_{_y}\) \(b^2 - 4 ac\) \((-5)^2 - 4 (1)(6)\) 1

\(V_y =\) – ————— = – ———————– = – —

4a 4 4

Attenzione!! Un errore molto comune e’ quello di sbagliare il segno di V\(_{_y}\) : prima devi calcolare tutto il numeratore e solo dopo devi cambiare di segno; e’ facile sbagliare soprattutto se non metti il segno meno al livello giusto; te lo dice uno che purtroppo questo errore ai tempi del liceo l’ha fatto piu’ volte prima di accorgersene e correggerlo

Otteniamo quindi: \(5\) \(1\)

\(V =\) \(-----\) \(; -\) \(----\)

\(2\) \(4\)

esercizio per determinare le coordinate del fuoco

esercizio per determinare le coordinate del fuoco Determinare le coordinate del fuoco della parabola di equazione \(y = x^2 - 5x + 6\) le coordinate del fuoco sono:

\((\)

b 1 \(b^2 - 4 ac\)

\()\)

F = – —– = —– – —————

2a 4a 4a

abbiamo a = 1 b = -5 c = 6 Calcoliamo la coordinata x del fuoco: F\(_{_x}\) La coordinata e’ la stessa del vertice b -5 5

\(F_x =\) – —– = – —– = —

2a 2 2

Calcoliamo la coordinata y del fuoco: F\(_{_y}\) 1 \(b^2 - 4 ac\) 1 \((-5)^2 - 4 (1)(6)\)

\(F_y =\) ——- – ————— = —— – ———————– = 0

4a 4a 4 4

Otteniamo quindi: \(5\)

\(F =\) \(-----\) ;

\(2\)

esercizio per determinare l'equazione dell'asse

esercizio per determinare l'equazione dell'asse Determinare l’equazione dell’asse della parabola di equazione \(y = x^2 - 5x + 6\) l’equazione dell’asse e’: b

x = – —–

abbiamo a = 1 b = -5 quindi sostituendo abbiamo -5

y= – —–

quindi \(5\)

\(y =\) \(---\)

\(2\)

\(si calcola come la coordinata V_x del vertice\)

esercizio per determinare l'equazione della direttrice

esercizio per determinare l'equazione della direttrice Determinare l’equazione della direttrice della parabola di equazione \(y = x^2 - 5x + 6\) l’equazione della direttrice e’ 1 \(b^2 - 4 ac\)

y = – —– – —————

4a 4a

abbiamo a = 1 b = -5 c = 6 sostituiamo ed otteniamo: 1 \((-5)^2 - 4 (1)(6)\)

y = – —— – ———————–

y = – —— – —–

Otteniamo quindi: \(1\)

\(y = -\) \(------\)

\(2\)

condizioni

Condizioni per determinare l'equazione della parabola Se consideriamo l’equazione completa di una parabola con asse verticale

\[y = ax^2 + bx + c\]

vediamo che dipende da tre parametri indipendenti a b c pertanto per determinarne l’equazione dovremo considerare 3 condizioni scelte fra le seguenti

• passaggio per un punto
• tangenza ad una retta
• conoscenza del vertice (condizione doppia)
• conoscenza del fuoco (condizione doppia)
• equazione della direttrice

Naturalmente sono possibili anche altre condizioni, tipo: prima coordinata del vertice; equazione dell’asse eccetera….

passaggio per un punto

Condizione di passaggio per un punto Per scrivere la condizione di passaggio della parabola \(y = ax^2 + bx + c\) per il punto \(P = ( x, y)\) basta sostituire alle variabili x, y nell’equazione le coordinate \(x, y\), cioe’ \(y = ax^2 + bx + c\)

Esempio scrivere la condizione di passaggio della parabola \(y = ax^2 + bx + c\) per il punto P = ( 2, 3 ) sostituisco a x il valore 2 ed a y il valore 3 \(3 = a \cdot 2^2 + b \cdot 2 + c\) 3 = 4a + 2b + c quindi la condizione richiesta e’ 4a + 2b + c = 3

tangenza ad una retta

Condizione di tangenza ad una retta Per scrivere la condizione di tangenza della parabola \(y = ax^2 + bx + c\) alla retta y = mx + q bisogna fare il sistema fra la retta e la parabola ed imporre che il delta del sistema sia zero

Come abbiamo gia’ visto sulla circonferenza ma qui c’e’ da dire che siccome l’equazione della parabola e’ piu’ semplice di quello della circonferenza, il metodo e’ piu’ semplice

Esempio scrivere la condizione di tangenza della parabola \(y = ax^2 + bx + c\) alla retta y = 2x + 3 faccio il sistema fra la retta e la parabola

\(y = ax^2 + bx + c y = 2x + 3\) sostituisco

\(2x + 3 = ax^2 + bx + c y = 2x + 3\) Raggruppo nella prima equazione

\(ax^2 + (b-2)x + (c-3) = 0 y = 2x + 3\) ora calcolo il delta nella prima equazione e lo pongo uguale a zero \(= b^2 - 4ac\)

fai attenzione: le a, b e c hanno un significato diverso: quelle in rosso sono i parametri da trovare mentre quelli blu sono quelli della formula

nel nostro caso abbiamo a = a b = \((b-2)\) c = \((c-3)\) quindi \(= (b-2)^2 - 4a(c-3) = 0\) calcolo \(b^2 - 4b + 4 -4ac + 12a = 0\) e questa e’ la condizione cercata.

Nota che la condizione e’ di secondo grado, cioe’ di solito questa condizione ti puo’ portare a determinare due parabole diverse

Condizioni per le coordinate del vertice Le coordinate del vertice mi forniscono due condizioni; e’ possibile pero’ utilizzare due procedimenti diversi per arrivare alle equazioni delle condizioni:

• metodo classico
• metodo piu’ semplice

quando frequentavo il liceo io si usava il primo metodo; successivamente, dagli anni 80 in poi ho visto usare sempre piu’ il secondo metodo; oggi si usa solamente il secondo, anche perche’ con il primo metodo una delle due equazioni e’ di secondo grado, mentre con il secondo metodo le due equazioni sono entrambe di primo grado, quindi piu’ semplici da utilizzare per il sistema

Metodo classico per determinare le condizioni Se abbiamo le coordinate del vertice \(V = ( x , y)\) della generica parabola \(y = ax^2 + bx + c\) sapendo che tale parabola ha vertice

\((\)

b \(b^2 - 4 ac\)

\()\)

V = – —– ; – —————

2a 4a

allora possiamo scrivere le due condizioni eguagliando le coordinate omonime

prima condizione b

\(x =\) – —–

seconda condizione \(b^2 - 4 ac\)

\(y =\) – —————

Vediamo un esempio: Calcolare le condizioni per cui la parabola \(y = ax^2 + bx + c\) ha il vertice nel punto \(V ( 2, 3)\)

prima condizione b

2 = – —–

seconda condizione \(b^2 - 4 ac\)

3 = – —————

• moltiplico tutto per 2a (cioe’ faccio il m.c.m. e semplifico) 4a = – b \(4a + b = 0\)
• moltiplico tutto per 4a (cioe’ faccio il m.c.m. e semplifico) Attenzione: il meno e’ davanti alla linea di frazione quindi anche 4ac cambia di segno \(12a = - b^2 + 4ac\)\(b^2 + 12a - 4ac = 0\)

Metodo semplice per determinare le condizioni Se abbiamo le coordinate del vertice \(V = ( x , y)\) della generica parabola \(y = ax^2 + bx + c\) sapendo che tale parabola ha vertice

\((\)

b \(b^2 - 4 ac\)

\()\)

V = – —– ; – —————

2a 4a

allora, come prima, scriviamo la prima condizione eguagliando le coordinate x del vertice b

\(x =\) – —–

• per la seconda condizione, invece di eguagliare le coordinate facciamo la condizione di passaggio per un punto (vertice) \(y = ax^2 + bx + c\)

Vediamo un esempio: Calcolare le condizioni per cui la parabola \(y = ax^2 + bx + c\) ha il vertice nel punto \(V ( 2, 3)\)

prima condizione b

2 = – —–

• moltiplico tutto per 2a (cioe’ faccio il m.c.m. e semplifico) 4a = – b \(4a + b = 0\)
• seconda condizione \(3 = a \cdot (2)^2 + b \cdot (2) + c 3 = 4a + 2b + c\) \(4a + 2b + c - 3 = 0\)

Attenzione: una volta usata una condizione non si puo’ riusare, cioe’ se per il vertice segui questo metodo non puoi usare come ulteriore condizione quella della seconda coordinata, perche’ essa e’ contenuta nel passaggio per il vertice: se facessi il sistema con le tre condizioni

• uguaglianza prima coordinata
• uguaglianza seconda coordinata
• passaggio per il vertice

otterrei un sistema indeterminato viceversa se ottieni ad un certo punto 0=0 vuol dire che hai usato due volte la stessa condizione

coordinate del fuoo

Condizioni utilizzando le coordinate del fuoco Anche il fuoco, come il vertice, da’ luogo a due condizioni Se abbiamo le coordinate del fuoco \(F = ( x , y)\) della generica parabola \(y = ax^2 + bx + c\) sapendo che tale parabola ha fuoco

\((\)

b 1 \(b^2 - 4 ac\)

\()\)

V = – —– ; —- – —————

2a 4a 4a

allora possiamo scrivere le due condizioni eguagliando le coordinate omonime

prima condizione b

\(x =\) – —–

seconda condizione 1 \(b^2 - 4 ac\)

\(y =\) —– – —————

4a 4a

Vediamo un esempio: Calcolare le condizioni per cui la parabola \(y = ax^2 + bx + c\) ha il fuoco nel punto \(F ( 2, 3)\)

prima condizione b

2 = – —–

seconda condizione 1 \(b^2 - 4 ac\)

3 = ——- – —————

4a 4a

• moltiplico tutto per 2a (cioe’ faccio il m.c.m. e semplifico) 4a = – b \(4a + b = 0\)
• moltiplico tutto per 4a (cioe’ faccio il m.c.m. e semplifico) Attenzione: il meno e’ davanti alla linea di frazione quindi anche 4ac cambia di segno \(12a = 1 - b^2 + 4ac\)\(b^2 + 12a - 4ac = 1\)

condizione utilizzando l'equazione della direttrice

Condizione utilizzando l'equazione della direttrice Se abbiamo l’equazione della direttrice y = kcon k valore noto della generica parabola \(y = ax^2 + bx + c\) sapendo che tale parabola ha direttrice 1 \(b^2 - 4 ac\)

y = – —- – —————

4a 4a

allora possiamo scrivere la condizione eguagliando i due valori 1 \(b^2 - 4 ac\)

k = – —– – —————

4a 4a

Vediamo un esempio: Calcolare la condizioni per cui la parabola \(y = ax^2 + bx + c\) ha direttrice \(y = 3\) 1 \(b^2 - 4 ac\)

3 = – —– – —————

4a 4a

moltiplico tutto per 4a (cioe’ faccio il m.c.m. e semplifico) Attenzione: il meno e’ davanti alla linea di frazione quindi anche 4ac cambia di segno \(12a = - 1 - b^2 + 4ac\)\(b^2 + 12a - 4ac = - 1\)

problemi sulla parabola con asse verticale

Problemi sulla parabola con asse verticale Vediamo ora di studiare alcuni tipi di problemi sulla parabola

• Disegnare una parabola conoscendone l’equazione
• Trovare l’equazione della parabola date tre condizioni
• Intersezioni fra la parabola ed una curva
• Problemi vari

esercizio

esercizio In effetti una retta puo’ essere pensata come una circonferenza di raggio infinito

[figura: rettainfinita.jpg]

Prendi una retta r ed un punto P non sulla retta; se ora considero una retta t questa mi tagliera’ r in un punto, ad esempio A. se ora faccio ruotare la retta r, ad esempio in senso antiorario la retta t tagliera’ r in B … poi ad un certo punto l’intersezione sparira’ perche’ la retta t diventa parallela ad r, appena sposto di un po’ la retta t il punto di intersezione ricompare dalla parte opposta (in figura C) quindi e’ come se il punto che scorre sulla retta percorresse una circonferenza di raggio infinito (a cui manca un punto: l’infinito) ritornando al punto di partenza

come si disegna la parabola

Rappresentare graficamente una parabola di data equazione (come si disegna la parabola) Per disegnare una parabola conviene

1. Trovare le coordinate del vertice
2. trovare l’intersezione della parabola con l’asse delle y
3. trovare le intersezioni, se esistono, della parabola con l’asse delle x
4. riportare i punti trovati su un sistema di assi cartesiani e collegarli con una curva continua

Vediamone l’applicazione su alcuni esempi

Rappresentare graficamente le parabole di equazione

• \(y = x^2 - 6x + 8\)
• \(y = x^2 - 6x + 9\)
• \(y = x^2 - 6x + 10\)

esercizio Rappresentare graficamente la parabola di equazione \(y = x^2 - 6x + 8\) 1) Troviamo le coordinate del vertice abbiamo a = 1 b = -6 c = 8 Calcoliamo la coordinata x del vertice: V\(_{_x}\) b -6

\(V_x =\) – —– = – —– = 3

2a 2

Calcoliamo la coordinata y del vertice: V\(_{_y}\) \(b^2 - 4 ac\) \((-6)^2 - 4 (1)(8)\)

\(V_y =\) – ————— = – ———————– = – 1

4a 4

Otteniamo quindi: \(V = (3; -1)\) 2) troviamo l’intersezione C con l’asse y teoricamente dovremmo fare il sistema fra l’asse y (equazione x=0) e la parabola; pero’ e’ sufficiente prendere come prima coordinata 0 e come seconda coordinata il termine noto della parabola \(C = (0; 8)\) 3) troviamo le intersezioni con l’asse x, se esistono Devo fare il sistema fra la parabola e l’equazione dell’asse x (y=0)

\(y = x^2 - 6x + 8 y = 0\) sostituisco

\(x^2 - 6x + 8 = 0 y = 0\) ottengo le soluzioni calcoli

[figura: parabola07.jpg]

\(x = 2\)

\(x = 4\)

\(y = 0\) \(y = 0\)

quindi avremo A=(2,0) B=(4,0) Ora devo mettere i punti in un sistema di assi cartesiani e tracciarne la congiungente ricordando che il vertice e’ sempre il punto di massimo o di minimo della curva (vuol dire che sul vertice devo fare la conca)

\(x^2 - 6x + 8 = 0\) applico la formula risolutiva \(6 [ 36 - 4(1)(8)]\)

\(x_{1,2}\) \(= ----------------------------- =\)

\(2\)

\(6 4\)

\(= --------------- =\)

\(2\)

\(6 2\)

\(= -------------\)

\(2\)

quindi \(x_1 = 2 x_2 = 4\)

esercizio Rappresentare graficamente la parabola di equazione \(y = x^2 - 6x + 9\) 1) Troviamo le coordinate del vertice abbiamo a = 1 b = -6 c = 9 Calcoliamo la coordinata x del vertice: V\(_{_x}\) b -6

\(V_x =\) – —– = – —– = 3

2a 2

Calcoliamo la coordinata y del vertice: V\(_{_y}\) \(b^2 - 4 ac\) \((-6)^2 - 4 (1)(9)\)

\(V_y =\) – ————— = – ———————– = 0

4a 4

Otteniamo quindi: \(V = (3; 0)\) 2) troviamo l’intersezione C con l’asse y teoricamente dovremmo fare il sistema fra l’asse y (equazione x=0) e la parabola; pero’ e’ sufficiente prendere come prima coordinata 0 e come seconda coordinata il termine noto della parabola \(C = (0; 9)\) 3) troviamo le intersezioni con l’asse x, se esistono Devo fare il sistema fra la parabola e l’equazione dell’asse x (y=0)

\(y = x^2 - 6x + 9 y = 0\) sostituisco

\(x^2 - 6x + 9 = 0 y = 0\) ottengo le soluzioni coincidenti calcoli

[figura: parabola08.jpg]

\(x = 3\)

\(x = 3\)

\(y = 0\) \(y = 0\)

quindi avremo la soluzione doppia A=V=(3,0)Soluzione doppia vuol dire che la parabola e’ tangente all’asse delle x nel vertice Ora devo mettere i punti in un sistema di assi cartesiani e tracciarne la congiungente ricordando che il vertice e’ sempre il punto di massimo o di minimo della curva (vuol dire che sul vertice devo fare la conca)

\(x^2 - 6x + 9 = 0\) applico la formula risolutiva \(6 [ 36 - 4(1)(9)]\)

\(x_{1,2}\) \(= ----------------------------- =\)

\(2\)

\(6 0\)

\(= --------------- = 3\)

\(2\)

quindi \(x_1 = 3 x_2 = 3\)

esercizio Rappresentare graficamente la parabola di equazione \(y = x^2 - 6x + 10\) 1) Troviamo le coordinate del vertice abbiamo a = 1 b = -6 c = 10 Calcoliamo la coordinata x del vertice: V\(_{_x}\) b -6

\(V_x =\) – —– = – —– = 3

2a 2

Calcoliamo la coordinata y del vertice: V\(_{_y}\) \(b^2 - 4 ac\) \((-6)^2 - 4 (1)(10)\)

\(V_y =\) – ————— = – ———————– = 1

4a 4

Otteniamo quindi: \(V = (3; 1)\) 2) troviamo l’intersezione C con l’asse y teoricamente dovremmo fare il sistema fra l’asse y (equazione x=0) e la parabola; pero’ e’ sufficiente prendere come prima coordinata 0 e come seconda coordinata il termine noto della parabola \(C = (0; 10)\) 3) troviamo le intersezioni con l’asse x, se esistono Devo fare il sistema fra la parabola e l’equazione dell’asse x (y=0)

\(y = x^2 - 6x + 10 y = 0\) sostituisco

\(x^2 - 6x + 10 = 0 y = 0\)

[figura: parabola09.jpg]

Risolvendo calcoli l’equazione di secondo grado otteniamo che il termine sotto radice e’ negativo quindi la parabola non taglia l’asse x ma e’ tutta sopra o tutta sotto l’asse Ora devo mettere i punti in un sistema di assi cartesiani e tracciarne la congiungente ricordando che il vertice e’ sempre il punto di massimo o di minimo della curva (vuol dire che sul vertice devo fare la conca)

Nota: di solito basta il vertice ed un altro punto per disegnare la parabola, comunque, se ne hai bisogno, puoi trovare altri punti per cui passa la parabola sostituendo un qualunque valore ad x e controllando che valore ottieni per y; Ad esempio nella nostra parabola se metto x=2 ottengo y = 2\(^{^2}\) – 6(2) + 10 = 4 – 12 + 10 = 2 la parabola passa per il punto (2,2) se metto x=5 ottengo y = 5\(^{^2}\) – 6(5) + 10 = 25 – 30 + 10 = 5 la parabola passa per il punto (5,5)

\(x^2 - 6x + 10 = 0\) applico la formula risolutiva \(6 [ 36 - 4(1)(10)]\)

\(x_{1,2}\) \(= ----------------------------- =\)

\(2\)

\(6 (-4)\)

\(= ---------------\)

\(2\)

quindi essendo il termine sotto radice minore di zero non ho soluzioni reali (la parabola non taglia l’asse delle x)

equazione della parabola date 3 condizioni

Trovare l'equazione della parabola date 3 condizioni Facciamo alcuni esercizi sulla determinazione della parabola date 3 condizioni:

Trovare l’equazione della parabola che soddisfa le seguenti condizioni

• Passa per i punti \(A=(1,0)\), \(B=(0,2)\) e \(C=(3,2)\)
• Passa per i punti \(A=(4,0)\), \(B=(1, -3)\) ed e’ tangente alla retta \(y = -4\)
• Passa per il punto \(A=(0,3)\) ed ha il vertice nel punto \(V=(2, -1)\)
• Passa per i punti \(A=(0, -4)\), \(B=(3, -1)\) ed ha come asse la retta \(x = 2\)

esercizio Trovare l’equazione della parabola con asse verticale che passa per i punti A=(1,0) , B=(0,2) e C=(3,2) L’equazione generica della parabola con asse verticale e’ \(y = ax^2 + bx + c\)

• Condizione di passaggio per il punto A = ( 1, 0 ) sostituisco a x il valore 1 ed a y il valore 0 \(0 = a \cdot 1^2 + b \cdot 1 + c\) quindi la condizione richiesta e’ \(a + b + c = 0\)
• Condizione di passaggio per il punto B = ( 0, 2 ) sostituisco a x il valore 0 ed a y il valore 2 \(2 = a \cdot 0^2 + b \cdot 0 + c\) quindi la condizione richiesta e’ \(c = 2\)
• Condizione di passaggio per il punto C = ( 3, 2 ) sostituisco a x il valore 3 ed a y il valore 2 \(2 = a \cdot 3^2 + b \cdot 3 + c\) quindi la condizione richiesta e’ \(9a + 3b + c = 2\)

Poiche’ le tre condizioni devono valere contemporaneamente facciamo il sistema mettere link per trovare le incognite a,b e c

In questo primo sistema faro’ tutti i passaggi, naturalmente tu puoi abbreviare

\(a +b + c = 0 c = 2 9a + 3b + c = 2\) sostituisco il valore di c ricavato dalla seconda equazione nella prima e terza equazione; al posto della seconda equazione mettiamo una linea(conviene farlo perche’ una volta usata un’equazione non devi piu’ usarla sino alla soluzione altrimenti il sistema diventa indeterminato)

\(a +b + 2 = 0 ------------- 9a + 3b + 2 = 2\) ricavo a dalla prima equazione

\(a = - b - 2 ------------- 9a + 3b + 2 = 2\) sostituisco nella terza equazione; al posto della prima metto una linea

\(------------- ------------- 9( - b - 2) + 3b + 2 = 2\) calcolo

\(------------- ------------- - 9b - 18 + 3b + 2 = 2\)

\(------------- ------------- - 9b + 3b = - 2 + 18 + 2\)

\(------------- ------------- - 6b = + 18\)

\(------------- ------------- b = - 3\) ora riscrivo al posto dell’ultima linea che ho messo l’equazione relativa

\(a = - b - 2 ------------- b = - 3\) sostituisco il valore di b

\(a = - (-3) - 2 = 3 -2 = 1 ------------- b = - 3\) quindi ottengo

\(a = 1 c = 2 b = - 3\) o meglio (ordino)

\(a = 1 b = -3 c = 2\) Quindi l’equazione cercata e’ \(y = x^2 - 3x + 2\)Disegniamola

esercizio Rappresentare graficamente la parabola di equazione \(y = x^2 - 3x + 2\) 1) Troviamo le coordinate del vertice abbiamo a = 1 b = -3 c = 2 Calcoliamo la coordinata x del vertice: V\(_{_x}\) b -3

\(V_x =\) – —– = – —– = 3/2

2a 2

Calcoliamo la coordinata y del vertice: V\(_{_y}\) \(b^2 - 4 ac\) \((-3)^2 - 4 (1)(2)\)

\(V_y =\) – ————— = – ———————– = – 1/4

4a 4

Otteniamo quindi: \(V = (3/2; -1/4)\) 2) troviamo l’intersezione D con l’asse y e’ sufficiente prendere come prima coordinata 0 e come seconda coordinata il termine noto della parabola \(D = B = (0; 2)\) 3) troviamo le intersezioni E ed F con l’asse x, se esistono Devo fare il sistema fra la parabola e l’equazione dell’asse x (y=0)

\(y = x^2 - 3x + 2 y = 0\) sostituisco

\(x^2 - 3x + 2 = 0 y = 0\) ottengo le soluzioni calcoli

[figura: parabola10.jpg]

\(x = 1\)

\(x = 2\)

\(y = 0\) \(y = 0\)

quindi avremo E = A =(1,0) F=(2,0) Ora devo mettere i punti in un sistema di assi cartesiani e tracciarne la congiungente ricordando che il vertice e’ sempre il punto di massimo o di minimo della curva (vuol dire che sul vertice devo fare la conca)

Il disegnare la parabola puo’ servirti per vedere se hai fatto giusto: prova a disegnare i punti che avevi all’inizio dell’esercizio e controlla che siano sulla parabola

\(x^2 - 3x + 2 = 0\) applico la formula risolutiva \(3 [ 9 - 4(1)(2)]\)

\(x_{1,2}\) \(= ----------------------------- =\)

\(2\)

\(3 1\)

\(= --------------- =\)

\(2\)

\(3 1\)

\(= -------------\)

\(2\)

quindi \(x_1 = 1 x_2 = 2\)

esercizio Trovare l’equazione della parabola con asse verticale che passa per i punti A=(4, 0) , B=(1, – 3) ed e’ tangente alla retta y = -4 L’equazione generica della parabola con asse verticale e’ \(y = ax^2 + bx + c\)

Condizione di tangenza alla retta y = -4 Devo fare il sistema fra la retta e la parabola e quindi porre il delta dell’equazione risolvente uguale a zero

\(y = ax^2 + bx + c y = -4\) sostituisco y = -4 nella prima equazione

\(-4 = ax^2 + bx + c --------------\)

• Condizione di passaggio per il punto A = ( 4, 0 ) sostituisco a x il valore 4 ed a y il valore 0 \(0 = a \cdot 4^2 + b \cdot 4 + c\) quindi la condizione richiesta e’ \(16a + 4b + c = 0\)
• Condizione di passaggio per il punto B = ( 1, -3 ) sostituisco a x il valore 1 ed a y il valore -3 \(-3 = a \cdot 1^2 + b \cdot 1 + c\) quindi la condizione richiesta e’ \(a + b + c = -3\)
• \(ax^2 + bx + (c+4) = 0 --------------\) Calcolo il delta dell’equazione risolvente e lo pongo uguale a zero \(= b^2 - 4a(c+4) = 0 b^2 -4ac - 16a = 0\) quindi la condizione richiesta e’ \(b^2 - 4ac - 16a = 0\)

Poiche’ le tre condizioni devono valere contemporaneamente facciamo il sistema mettere link per trovare le incognite a,b e c

\(16a + 4b + c = 0 a + b + c = -3 b^2 - 4ac - 16a = 0\) sostituisco il valore di c ricavato dalla seconda equazione nella prima e terza equazione

\(16a + 4b + (-a -b -3) = 0 c = -a -b -3 b^2 - 4a(-a -b -3) - 16a = 0\) calcolo

\(16a + 4b + -a -b -3 = 0 ------------------ b^2 + 4a^2 + 4ab + 12a - 16a = 0\)

\(15a + 3b - 3 = 0 ------------------ b^2 + 4a^2 + 4ab - 4a = 0\) posso semplificare per 3 la prima equazione

\(5a + b - 1 = 0 ------------------ b^2 + 4a^2 + 4ab - 4a = 0\) ricavo b dalla prima equazione e sostituisco nella terza

\(b = 1 - 5a ------------- (1-5a)^2 + 4a^2 + 4a(1-5a) - 4a = 0\)

\(------------- ------------- 1 - 10a + 25a^2 + 4a^2 + 4a - 20a^2 - 4a = 0\)

\(------------- ------------- 9a^2 - 10a + 1= 0\) Risolvendo l’equazione ottengo due soluzioni calcoli a = 1 a = 1/9 Significa che sono due le parabole che soddisfano le condizioni date; troviamole

Prima parabola: sostituisco ad a il valore 1

\(b = 1 - 5a = 1 - 5 = -4 ------------- a = 1\)

\(b = -4 c = -a -b -3 = -1 + 4 -3 = 0 a = 1\)

\(b = -4 c = 0 a = 1\) ordino

Seconda parabola: sostituisco ad a il valore 1/9

b = 1 – 5a = 1 – 5(1/9) = 1 – 5/9 = 4/9 ————- a = 1/9

\(b = 4/9 c = -a -b -3 = -1/9 - 4/9 -3 = - 32/9 a = 1/9\)

\(b = 4/9 c = -32/9 a = 1/9\) ordino

• \(a = 1 b = -4 c = 0\) quindi la prima parabola e’ \(y = x^2 - 4x\)disegniamola
• \(a = 1/9 b = 4/9 c = -32/9\) quindi la seconda parabola e’ \(y = 1/9 x^2 + 4/9 x - 32/9 9y = x^2 + 4x - 32\)disegniamola

\(9a^2 - 10a + 1= 0\) applico la formula risolutiva (anzi applico la formula ridotta) \(5 [ 25 - (9)(1)]\)

\(a_{1,2}\) \(= -------------------------------------- =\)

\(9\)

\(5 16\)

\(= ------------------ =\)

\(9\)

\(5 4\)

\(= -------------\)

\(9\)

quindi \(a_1 = 1 a_2 = 1/9\)

esercizio Rappresentare graficamente la parabola di equazione \(y = x^2 - 4x\) 1) Troviamo le coordinate del vertice abbiamo a = 1 b = -4 c = 0 Calcoliamo la coordinata x del vertice: V\(_{_x}\) b -4

\(V_x =\) – —– = – —– = 2

2a 2

Calcoliamo la coordinata y del vertice: V\(_{_y}\) \(b^2 - 4 ac\) \((-4)^2 - 4 (1)(0)\)

\(V_y =\) – ————— = – ———————– = – 4

4a 4

Otteniamo quindi: \(V = ( 2; - 4)\) 2) troviamo l’intersezione con l’asse y Siccome manca il termine noto la parabola interseca l’asse y nell’origine \(O = (0; 0)\) 3) troviamo le intersezioni con l’asse x, se esistono Devo fare il sistema fra la parabola e l’equazione dell’asse x (y=0)

\(y = x^2 - 4x y = 0\) sostituisco

\(x^2 - 4x = 0 y = 0\) ottengo le soluzioni calcoli

[figura: parabola11.jpg]

\(x = 0\)

\(x = 4\)

\(y = 0\) \(y = 0\)

quindi avremo O =(0,0) E=(4,0) Ora devo mettere i punti in un sistema di assi cartesiani e tracciarne la congiungente ricordando che il vertice e’ sempre il punto di massimo o di minimo della curva (vuol dire che sul vertice devo fare la conca)

esercizio Rappresentare graficamente la parabola di equazione \(y = 1/9 x^2 - 4/9 x - 32/9\) 1) Troviamo le coordinate del vertice abbiamo a = 1/9 b = 4/9 c = -32/9 Calcoliamo la coordinata x del vertice: V\(_{_x}\) -b – 4/9

\(V_x =\) ——– = ——- = – 2

2a 2/9

Calcoliamo la coordinata y del vertice: V\(_{_y}\) \(b^2 - 4 ac\) \((4/9)^2 - 4 (1/9)(-32/9)\)

\(V_y =\) – ————— = – ———————————— = – 4

4a 4/9

Otteniamo quindi: \(V = ( - 2; - 4)\) 2) troviamo l’intersezione D con l’asse y Basta prendere come y il termine noto \(D = (0; -32/9) circa ( 0 ; -3,5)\) 3) troviamo le intersezioni con l’asse x, se esistono Devo fare il sistema fra la parabola e l’equazione dell’asse x (y=0)

\(y = 1/9 x^2 + 4/9 x - 32/9 y = 0\) sostituisco

\(1/9x^2 + 4/9 x - 32/9 = 0 y = 0\) divido per 9

\(x^2 + 4x - 32 = 0 y = 0\) ottengo ottengo le soluzioni calcoli

[figura: parabola51.jpg]

\(x = -8\)

\(x = 4\)

\(y = 0\) \(y = 0\)

quindi avremo A =(-8,0) B=(4,0) Ora devo mettere i punti in un sistema di assi cartesiani e tracciarne la congiungente ricordando che il vertice e’ sempre il punto di massimo o di minimo della curva (vuol dire che sul vertice devo fare la conca)

esercizio Trovare l’equazione della parabola con asse verticale che passa per il punto A=(0,3) , ed ha il vertice nel punto V=(2, -1)

usiamo il metodo piu’ semplice

L’equazione generica della parabola con asse verticale e’ \(y = ax^2 + bx + c\)

La prima coordinata del vertice vale 2 b

– —– = 2

• Condizione di passaggio per il punto A = ( 0, 3 ) sostituisco a x il valore 0 ed a y il valore 3 \(3 = a \cdot 0^2 + b \cdot 0 + c\) quindi la condizione richiesta e’ \(c = 3\)
• – b = 4a quindi la condizione richiesta e’ \(4a + b = 0\)
• Condizione di passaggio per il vertice V = ( 2, -1 ) sostituisco a x il valore 2 ed a y il valore -1 \(-1 = a \cdot 2^2 + b \cdot 2 + c\) quindi la condizione richiesta e’ \(4a + 2b + c = -1\)

Poiche’ le tre condizioni devono valere contemporaneamente facciamo il sistema mettere link per trovare le incognite a,b e c

\(c = 3 4a + b = 0 4a + 2b + c = -1\) sostituisco il valore di c ricavato dalla prima equazione nella terza equazione; al posto della prima equazione mettiamo una linea(conviene farlo perche’ una volta usata un’equazione non devi piu’ usarla sino alla soluzione altrimenti il sistema diventa indeterminato)

\(-------------- 4a + b = 0 4a + 2b + 3 = -1\)

\(-------------- 4a + b = 0 4a + 2b = -4\) ricavo b dalla seconda equazione e sostituisco nella terza

\(-------------- b = -4a 4a + 2(-4a) = -4\)

\(-------------- -------------- 4a - 8a = -4\)

\(-------------- -------------- - 4a = -4\) divido da entrambe le parti per -4 ed ottengo

\(-------------- -------------- a = 1\) Riscrivo la seconda e vi sostituisco il valore di a

\(c = 3 b = -4a = -4(1) = -4 a = 1\) quindi ottengo

\(c = 3 b = -4 a = 1\) o meglio (ordino)

\(a = 1 b = -4 c = 3\) Quindi l’equazione cercata e’ \(y = x^2 - 4x + 3\)Disegniamola

esercizio Rappresentare graficamente la parabola di equazione \(y = x^2 - 4x + 3\) 1) Vertice Il vertice ci e’ stato dato con il problema \(V = (2; -1)\) 2) troviamo l’intersezione con l’asse y e’ sufficiente prendere come prima coordinata 0 e come seconda coordinata il termine noto della parabola \(A = (0; 3)\) Anche questo era fra i dati del problema 3) troviamo le intersezioni B ed C con l’asse x, se esistono Devo fare il sistema fra la parabola e l’equazione dell’asse x (y=0)

\(y = x^2 - 4x + 3 y = 0\) sostituisco

\(x^2 - 4x + 3 = 0 y = 0\) ottengo le soluzioni calcoli

[figura: parabola12.jpg]

\(x = 1\)

\(x = 3\)

\(y = 0\) \(y = 0\)

quindi avremo B =(1,0) C=(3,0) Ora devo mettere i punti in un sistema di assi cartesiani e tracciarne la congiungente ricordando che il vertice e’ sempre il punto di massimo o di minimo della curva (vuol dire che sul vertice devo fare la conca)

\(x^2 - 4x + 3 = 0 posso applicare la formula ridotta x_{1,2} = 2 [ 4 - (1)(3)] = = 2 1 quindi x_1 = 1 x_2 = 3\)

esercizio Trovare l’equazione della parabola con asse verticale che passa per i punti \(A=(0, -4)\), \(B=(3, -1)\) ed ha come asse la retta \(x = 2\) L’equazione generica della parabola con asse verticale e’ \(y = ax^2 + bx + c\)

L’ asse vale \(x = 2\) l’asse della generica parabola vale b

x = – —–

quindi avro’ b

– —– = 2

• Condizione di passaggio per il punto A = ( 0, -4 ) sostituisco a x il valore 0 ed a y il valore -4 \(-4 = a \cdot 0^2 + b \cdot 0 + c\) quindi la condizione richiesta e’ \(c = -4\)
• Condizione di passaggio per il punto B = ( 3, -1 ) sostituisco a x il valore 0 ed a y il valore -4 \(-1 = a \cdot 3^2 + b \cdot 3 + c\) quindi la condizione richiesta e’ \(9a + 3b + c = -1\)
• – b = 4a quindi la condizione richiesta e’ \(4a + b = 0\)

Poiche’ le tre condizioni devono valere contemporaneamente facciamo il sistema mettere link per trovare le incognite a,b e c

\(c = -4 9a + 3b + c = -1 4a + b = 0\) sostituisco il valore di c ricavato dalla prima equazione nella seconda e terza equazione; al posto della prima equazione mettiamo una linea(conviene farlo perche’ una volta usata un’equazione non devi piu’ usarla sino alla soluzione altrimenti il sistema diventa indeterminato)

\(-------------- 9a + 3b - 4 = -1 4a + b = 0\)

\(-------------- 9a + 3b = 3 b = -4a\) sostituisco b, ricavato dalla terza equazione, nella seconda

\(-------------- 9a + 3(-4a) = 3 b = -4a\)

\(-------------- 9a - 12a = 3 --------------\)

\(-------------- -3a = 3 --------------\) divido da entrambe le parti per -6 ed ottengo

\(-------------- a = -1 --------------\) Riscrivo la terza e vi sostituisco il valore di a

\(c = -4 a = -1 b = -4a = -4(-1) = 4\) quindi ottengo

\(c = -4 a = -1 b = 4\) o meglio (ordino)

\(a = -1 b = 4 c = -4\) Quindi l’equazione cercata e’ \(y = - x^2 + 4x - 4\)Disegniamola

esercizio Rappresentare graficamente la parabola di equazione \(y = -x^2 + 4x - 4\) 1) Troviamo le coordinate del vertice abbiamo a = -1 b = 4 c = -4 Calcoliamo la coordinata x del vertice: V\(_{_x}\) b 4

\(V_x =\) – —– = – —– = – 2

2a 2

Calcoliamo la coordinata y del vertice: V\(_{_y}\) \(b^2 - 4 ac\) \((4)^2 - 4 (-1)(-4)\)

\(V_y =\) – ————— = – ———————– = 0

4a 4

Otteniamo quindi: \(V = (-2; 0)\) 2) troviamo l’intersezione con l’asse y e’ sufficiente prendere come prima coordinata 0 e come seconda coordinata il termine noto della parabola \(A = (0; -4)\) A era fra i dati del problema 3) troviamo le intersezioni con l’asse x (nel nostro caso essendo il vertice nel punto \(V(-2,0)\) abbiamo che la parabola taglia l’asse nei due punti coincidenti \(B=C=V=(-2,0)\) Se non te ne accorgi subito te ne accorgi facendo il sistema Devo fare il sistema fra la parabola e l’equazione dell’asse x (y=0)

\(y = -x^2 + 4x - 4 y = 0\) sostituisco

\(0 = -x^2 + 4x - 4 = 0 y = 0\)

\(x^2 - 4x + 4 = 0 y = 0\) ottengo le soluzioni coincidenti calcoli

[figura: parabola13.jpg]

\(x = 2\)

\(x = 2\)

\(y = 0\) \(y = 0\)

quindi avremo B = C = V = (2,0) Ora devo mettere i punti in un sistema di assi cartesiani e tracciarne la congiungente ricordando che il vertice e’ sempre il punto di massimo o di minimo della curva (vuol dire che sul vertice devo fare la conca, stavolta verso il basso essendo a negativo a=-1)

\(-x^2 + 4x - 4 = 0\) cambio di segno (e’ un’equazione posso moltiplicare per -1 da entrambe le parti per il secondo principio di equivalenza) \(x^2 - 4x + 4 = 0\) posso applicare la formula ridotta \(x_{1,2} = -2 [ 4 - (1)(4)] = = 2 0\) quindi \(x_1 = 2 x_2 = 2\)

intersezioni fra la parabola ed una curva

Per curva intendiamo non solo una conica ma anche una retta

Per trovare le intersezioni fra una parabola ed una curva sara’ sufficiente trovare i punti che soddisfano contemporaneamente le due funzioni, pertanto per trovare le coordinate sara’ sufficiente risolvere il sistema fra la parabola e la curva data

Le possibili intersezioni fra una parabola ed una curva possono essere:

• parabola – retta
• parabola – circonferenza
• parabola – ellisse
• parabola – iperbole
• parabola – parabola con asse verticale
• parabola – parabola con asse orizzontale

Intersezioni fra una retta ed una parabola

Intersezioni fra una retta ed una parabola Una retta rispetto ad una parabola puo’ essere esterna, tangente oppure secante, quindi avremo retta esterna nessun punto comune il sistema non ha soluzioni reali

retta tangente 1 solo punto comune (doppio) il sistema ha 2 soluzioni reali coincidenti

retta secante 2 punti distinti il sistema ha 2 soluzioni reali distinte

Facciamo un esempio per tipo

trovare le intersezioni fra la parabola

\(y = x^2 - 4x + 3\)

e la retta

• y = -x – 1
• y = -2x + 2
• y = x + 3

trovare le intersezioni fra la parabola \(y = x^2 - 4x + 3\) e la retta y = -x – 1 devo fare il sistema fra le due curve

\(y = x^2 - 4x + 3 y = -x - 1\) sostituisco il valore della y ricavato dalla prima nella seconda equazione; al posto della prima metto una linea

\(----------------------- x^2 - 4x + 3 = -x - 1\) \(Conviene sostituire in modo che x^2sia positivo: cosi' non devi cambiare di segno\)

\(----------------------- x^2 - 3x + 4 = 0\) risolvo l’equazione di secondo grado \(3 [ 9 - 4(1)(4)]\)

\(x_{1,2}\) \(= ----------------------------- =\)

\(2\)

[figura: parabola14.jpg]

\(3 (-7)\)

\(= ---------------\)

\(2\)

essendo il termine sotto radice minore di zero il sistema non ammette soluzioni reali. A destra la rappresentazione grafica

trovare le intersezioni fra la parabola \(y = x^2 - 4x + 3\) e la retta y = -2x + 2 devo fare il sistema fra le due curve

\(y = x^2 - 4x + 3 y = -2x + 2\) sostituisco il valore della y ricavato dalla prima nella seconda equazione; al posto della prima metto una linea

\(----------------------- x^2 - 4x + 3 = -2x + 2\) \(Conviene sostituire in modo che x^2sia positivo: cosi' non devi cambiare di segno\)

\(----------------------- x^2 - 2x + 1 = 0\) risolvo l’equazione di secondo grado \(2 [ 4 - 4(1)(1)]\)

\(x_{1,2}\) \(= ----------------------------- =\)

\(2\)

\(2 0\)

\(= ---------------\)

\(2\)

ottengo le due soluzioni coincidenti \(x = 1 x = 1\) sostituisco il valore trovato in una delle due equazioni del sistema (conviene prendere la piu’ semplice)

[figura: parabola15.jpg]

\(x = 1 y = -2x + 2\)

\(x = 1 y = -2(1) + 2 = -2 + 2 = 0\) Ottengo due punti di intersezione coincidenti \(A = ( 1, 0)\) a destra la rappresentazione grafica

trovare le intersezioni fra la parabola \(y = x^2 - 4x + 3\) e la retta y = x + 3 devo fare il sistema fra le due curve

\(y = x^2 - 4x + 3 y = x + 3\) sostituisco il valore della y ricavato dalla prima nella seconda equazione; al posto della prima metto una linea

\(----------------------- x^2 - 4x + 3 = x + 3\) \(Conviene sostituire in modo che x^2sia positivo: cosi' non devi cambiare di segno\)

\(----------------------- x^2 - 5x = 0\) risolvo l’equazione di secondo grado: e’ un’equazione spuria \(x^2 - 5x = 0 x ( x - 5) = 0\) ottengo le due soluzioni \(x = 0 x = 5\) sostituisco il valore 0 in una delle due equazioni del sistema (conviene prendere la piu’ semplice)

\(x = 0 y = x + 3 = 3\) Primo punto \(A=(0, 3)\) sostituisco il valore 5 in una delle due equazioni del sistema

[figura: parabola16.jpg]

\(x = 5 y = x + 3 = 5 + 3 = 8\) Secondo punto \(B=(5, 8)\) a destra la rappresentazione grafica

intersezioni fra una parabola ed una circonferenza

Intersezioni fra una parabola ed una circonferenza Essendo le equazioni della parabola e della circonferenza entrambe di secondo grado, se facciamo il sistema per trovare i punti comuni otterremo come equazione risolvente un’equazione di quarto grado;

Poiche’ e’ piuttosto complicato risolvere un’equazione di quarto grado, sono pochi i problemi in cui si parla di intersezioni fra parabola e circonferenza e, in questi, di solito, si tratta di equazioni particolari e semplici.Qualche esercizio sara’ trattato fra gli esercizi di riepilogosulle coniche

Comunque vediamo per esercizio quali sono i casi possibili Essendo l’equazione risolvente di quarto grado per il teorema fondamentale dell’algebra avremo 4 soluzioni che possono essere 4 soluzioni reali e distinte \(4 punti distinti\)

4 soluzioni reali 2 distinte e 2 coincidenti 2 punti distintied un punto doppio

4 soluzioni reali 2 a 2 coincidenti \(2 punti doppi\)

2 soluzioni reali distinte e 2 complesse coniugate \(2 punti reali\)

2 soluzioni reali coincidenti e 2 complesse coniugate \(1 punto doppio\)

4 soluzioni complesse 2 a 2 coniugate nessun punto comune

nota: che cos’e’ un punto doppio?

Punto doppio

[figura: parabola23.jpg]

Consideriamo 2 curve, una rossa ed una blu che si intersechino in 2 punti A e B spostiamo ora la curva blu in modo che i due punti di intersezione A e B si avvicinino fra loro. Quando le due curve diventano tangenti i due punti A e B si fondono in un unico punto che si dice punto doppio (oppure si dice anche che le due curve hanno un contatto del secondo ordine)

intersezioni fra una parabola ed un'ellisse

Intersezioni fra una parabola ed un'ellisse Essendo le equazioni della parabola e dell’ellisse entrambe di secondo grado, se facciamo il sistema per trovare i punti comuni otterremo come equazione risolvente un’equazione di quarto grado;

Poiche’ e’ piuttosto complicato risolvere un’equazione di quarto grado, sono pochi i problemi in cui si parla di intersezioni fra parabola e ellisse e, in questi, di solito, si tratta di equazioni particolari e semplici. Un esercizio sara’ trattato fra gli esercizi di riepilogo sulle coniche

I casi possibili sono gli stessi gia’ visti nella pagina precedente per la circonferenza (l’ellisse e’ una circonferenza schiacciata)

intersezioni fra una parabola ed un'iperbole

Intersezioni fra una parabola ed un'iperbole Dobbiamo vedere in che forma si presenta l’iperbole:

Se l’iperbole e’ in forma canonica oppure anche come iperbole equilatera (quindi espressa come equazione di secondo grado in x e y) otterremo sempre come equazione risolvente un’equazione di quarto grado

esercizio: disegna i possibili casi di intersezione fra una parabola con asse verticale ed un’iperbole in forma canonica

Se l’iperbole e’ in forma di iperbole equilatera riferita ai propri assi otterremo come equazione risolvente un’equazione di terzo grado, quindi avremo sempre come intersezione almeno un punto reale

esercizio: disegna i possibili casi di intersezione fra una parabola con asse verticale ed un’iperbole equilatera riferita ai propri assi

esercizio Disegnare le possibili intersezioni fra un’iperbole in forma canonica ed una parabola con asse verticale Distinguiamo nelle figure se le intersezioni reali sono fra la parabola e un solo ramo dell’iperbole oppure fra la parabola ed entrambe i rami dell’iperbole. Fissato questo passiamo a vedere quali sono le possibili soluzioni

[figura: parabola24.jpg]

[figura: parabola25.jpg]

4 soluzioni reali e distinte

[figura: parabola26.jpg]

[figura: parabola27.jpg]

4 soluzioni reali, 2 distinte e due coincidenti

[figura: parabola28.jpg]

4 soluzioni reali, due a due coincidenti

[figura: parabola31.jpg]

[figura: parabola32.jpg]

2 soluzioni reali distinte Bastava una sola figura

[figura: parabola29.jpg]

[figura: parabola30.jpg]

2 soluzioni reali coincidenti Anche qui bastava una sola figura

[figura: parabola33.jpg]

Nessuna soluzione reale

esercizio Disegnare le possibili intersezioni fra un’iperbole equilatera ed una parabola con asse verticale Distinguiamo nelle figure se le intersezioni reali sono fra la parabola e un solo ramo dell’iperbole oppure fra la parabola ed entrambe i rami dell’iperbole. Fissato questo passiamo a vedere quali sono le possibili soluzioni

Attenzione: mentre l’iperbole si avvicina in verticale ad una retta, la parabola cresce sempre, quindi, anche se non riesci a vederla, quando la figura e’ abbastanza grande, la parabola taglia il braccio verticale dell’iperbole; per questo esiste sempre una soluzione in concordanza col fatto che un’equazione di terzo grado ha sempre una soluzione reale; qui hai un esempio nella terza figura dove ho indicato il punto comune con una freccia

[figura: parabola34.jpg]

[figura: parabola35.jpg]

3 soluzioni reali e distinte

[figura: parabola36.jpg]

[figura: parabola37.jpg]

3 soluzioni reali, di cui 2 coincidenti

[figura: parabola38.jpg]

Solo una soluzione reale

intersezioni fra una parabola ed un'altra parabola

Intersezioni fra una parabola ed un'altra parabola con asse verticale E’ il caso piu’ utilizzato anche perche’ il sistema fra le due curve ha l’equazione risolvente di secondo grado, non solo ma se le soluzioni sono reali abbiamo una zona comune alle due parabole che verra’ spesso usata in analisi per problemi sugli integrali definiti

Esercizio1 Disegnare i casi possibili per le intersezioni fra due parabole con asse verticale

Esercizio2 \(Trovare l'intersezione fra le due parabole y = x^2 - 6x y = -x^2 + 2x\)

esercizio Disegnare i casi possibili per le intersezioni fra due parabole con asse verticale Dobbiamo distinguere se le due parabole hanno entrambe la stessa concavita’ o concavita’ opposta

concavita’ opposta Facendo il sistema fra le equazioni delle due parabole otteniamo come equazione risolvente un’equazione di secondo grado le cui soluzioni possono essere reali distinte (due punti comuni), reali coincidenti (un punto doppio comune)oppure complesse e coniugate (nessun punto comune)

[figura: parabola39.jpg]

[figura: parabola40.jpg]

[figura: parabola41.jpg]

stessa concavita’

se il termine a e’ identico: Facendo il sistema fra le due equazioni il termine di secondo grado viene eliminato e quindi otteniamo solamente un punto comune

[figura: parabola42.jpg]

se i termini a sono diversi allora risolvendo il sistema otteniamo un’equazione di secondo grado ed otteniamo gli stessi casi di cui al punto 1

[figura: parabola43.jpg]

[figura: parabola44.jpg]

[figura: parabola45.jpg]

Esercizio Trovare l’intersezione fra le due parabole \(y = x^2 - 6x y = -x^2 + 2x\) Possiamo subito osservare che siccome manca il termine noto uno dei due punti comuni deve essere l’origine delgli assi \(O=(0,0)\) Facciamo il sistema

\(y = x^2 - 6x y = -x^2 + 2x\) Sostituisco il valore di y della prima nella seconda equazione \(Se sostituisci in modo che prima dell'uguale x^2 sia positiva ti risparmi un passaggio\)

\(y = x^2 - 6x x^2 - 6x = -x^2 + 2x\)

\(--------------------- x^2 +x^2 -2x - 6x = 0\)

\(--------------------- 2x^2 -8x = 0\) semplifico per 2

\(--------------------- x^2 -4x = 0\) E’ un’equazione spuria \(x(x-4)=0\) che ammette le soluzioni \(x = 0 x=4\) sostituisco il valore 0 in una delle due equazioni del sistema (conviene prendere la piu’ semplice)

\(y = 0^2 - 6 \cdot 0 = 0 x = 0\) Primo punto \(O=(0, 0)\)

[figura: parabola46.jpg]

sostituisco il valore 4 in una delle due equazioni del sistema

\(y = 4^2 - 6 \cdot 4 = 16 - 24 = -8 x = 4\) Secondo punto \(A=(4, -8)\) A destra la rappresentazione grafica

intersezioni fra una parabola ed un'altra parabola con asse orizzontale

Intersezioni fra una parabola ed un'altra parabola con asse orizzontale

[figura: parabola47.jpg]

\(veramente la parabola con asse orizzontale sara' il prossimo argomento, ma per i nostri ragionamenti basta pensarne l'equazione e la rappresentazione grafica equazione x = ay^2 + by + c\)

Di solito e’ raro che in un problema si chiedano le intersezioni fra due parabole una con asse verticale ed una con asse orizzontale perche’l’equazione risolvente del sistema che si ottiene e’ di quarto grado. Quindi avremo che le possibili soluzioni sono le stesse che abbiamo gia’ visto per l’ intersezione fra una parabola ed una circonferenza (non saranno possibili pero’ le 4 soluzioni due a due coincidenti)

famiglia di parabole

famiglia (o fascio) di parabole Come abbiamo visto per la retta e la circonferenza anche per le parabole e’ possibile parlare di fascio, o meglio di famiglia di parabole

Nel capitolo utilizziamo la parabola del tipo y=ax\(^{^2}\)+bx+c, pero’ il discorso e’ generale e vale per qualunque forma di parabola utilizziamo

Intuitivamente, siccome la parabola con asse verticale e’ individuata da tre valori dati a, b e c, se nell’equazione introduciamo un parametro k variabile otterremo un insieme infinito di parabole dipendenti ciascuna dal valore che assegniamo al parametro variabile: cioe’ per ogni valore assegnato a k otterremo una parabola diversa Un tale insieme e’ detto famiglia di parabole Vedremo nelle prossime pagine come introdurre tale parametro in modo da avere la migliore generalizzazione dell’argomento

• Costruzione generale di una famiglia di parabole
• Alcune curve particolari della famiglia
• Determinazione dei punti base della famiglia
• Alcuni problemi

costruzione di una famiglia di parabole

Costruzione di una famiglia di parabole Come abbiamo visto per la retta e la circonferenza anche per le parabole e’ possibile parlare di fascio, o meglio di famiglia di parabole Consideriamo due parabole nella forma y – a\(_{_1}\)x\(^{^2}\) – b\(_{_1}\)x – c\(_{_1}\) = 0 y – a\(_{_2}\)x\(^{^2}\) – b\(_{_2}\)x – c\(_{_2}\) = 0 \(con a_1, a_2, b_1, b_2, c_1, c_2 numeri dati\) Allora possiamo costruire un fascio di parabole, introducendo il parametro k, nel seguente modo y – a\(_{_1}\)x\(^{^2}\) – b\(_{_1}\)x – c\(_{_1}\) +k( y – a\(_{_2}\)x\(^{^2}\) – b\(_{_2}\)x – c\(_{_2}\)) = 0 posso calcolare y – a\(_{_1}\)x\(^{^2}\) – b\(_{_1}\)x – c\(_{_1}\) +ky – ka\(_{_2}\)x\(^{^2}\) – kb\(_{_2}\)x – kc\(_{_2}\)) = 0 y +ky = a\(_{_1}\)x\(^{^2}\) + ka\(_{_2}\)x\(^{^2}\) + b\(_{_1}\)x + kb\(_{_2}\)x c\(_{_1}\) + kc\(_{_2}\)) (1+k)y = (a\(_{_1}\) + ka\(_{_2}\))x\(^{^2}\) + (b\(_{_1}\) + kb\(_{_2}\))x + c\(_{_1}\) + kc\(_{_2}\) e (supponendo k≠-1) otteniamo la formula finale

y= a1 + ka2 1+k x2 + b1 + kb2 1+k x + c1 + kc2 1+k

Il termine (1+k) al denominatore dell’epressione evidenziata in grigio non si puo’ annullare (quindi deve essere k≠-1) perche’ la divisione per zero non e’ possibile Considereremo questa come l’equazione esplicita di un fascio di parabole di parametro k con k≠-1 valore per cui il denominatore si annulla; comunque non ti preoccupare se e’ complicata: di solito l’equazione di un fascio di parabole e’ molto piu’ semplice: vedi qui sotto

In alcuni testi, piu’ semplicemente, senza esplicitare la y, viene presa come espressione di una famiglia di parabole la loro combinazione lineare, cioe’, date le parabole y = a\(_{_1}\)x\(^{^2}\) + b\(_{_1}\)x + c\(_{_1}\) y = a\(_{_2}\)x\(^{^2}\) + b\(_{_2}\)x + c\(_{_2}\) la famiglia di parabole generata da esse sara’

\[y - a_1x^2 - b_1x + c_1 + k(y - a_2x^2 - b_2x - c_2) = 0 con k\neq -1\]

devi considerare k≠-1 perche’ per k=-1 sparirebbe la y

Non tutte le curve della famiglia sono effettivamente parabole: se per un valore di k il termine di secondo grado si annulla allora l’equazione diventa di primo grado e rappresenta una retta che sara’ considerata parabola degenere.

alcune curve particolari di una famiglia di parabole

Data la famiglia y – a\(_{_1}\)x\(^{^2}\) – b\(_{_1}\)x c\(_{_1}\) + k(y – a\(_{_2}\)x\(^{^2}\) – b\(_{_2}\)x – c\(_{_2}\)) = 0 Una parabola particolare che considereremo sara’ y – a\(_{_1}\)x\(^{^2}\) – b\(_{_1}\)x c\(_{_1}\) = 0 che otterremo per k=0

Altra funzione particolare sara’ quella che otteniamo, quando abbiamo la famiglia espressa in forma implicita, annullando, se possibile, il termine x\(^{^2}\) infatti avremo in questo caso una funzione di primo grado che ci rappresenta una retta che chiameremo anche parabola degenere

Facciamo un esempio: consideriamo la famiglia y = (1-k)x\(^{^2}\) – 5x + 6 + 4k Troviamo la parabola particolare per il valore k=0 sostituisco y = (1-0)x\(^{^2}\) – 5x + 6 + 4·0 y = x\(^{^2}\) – 5x + 6 Troviamo, se esiste, la parabola degenere il termine x\(^{^2}\) si annulla se k=1 per k=1 otteniamo y = – 5x + 6 + 4·1 y = – 5x + 10 che e’ l’equazione di una retta

punti base della famiglia di parabole

Determinazione dei punti base di una famiglia di parabole Se consideriamo due parabole qualunque della famiglia e ne facciamo l’intersezione, e troviamo le coordinate di due punti, questi saranno chiamati punti base della famiglia. Teoricamente, per trovare i punti base di una famiglia di parabole partiamo dall’equazione:dividiamo i termini contenenti la k da quelli senza k e scriviamo y= a’x\(^{^2}\) + b’x +c’ +k(a”x\(^{^2}\) + b”x +c”) consideriamo il polinomio che e’ moltiplicato per k e poniamolo uguale a zero a”x\(^{^2}\) + b”x +c”=0 Otteniamo un’equazione di secondo grado le cui soluzioni sono le ascisse dei punti base del fascio e sostituendo tali valori nell’equazione della famiglia troviamo le ordinate corrispondenti

Infatti sostituendo il valore delle x trovate nell’equazione della famiglia le ordinate corrispondenti non dipendono piu’ dal valore di k perche’ i valori trovati annullano il secondo polinomio e quindi i punti trovati appartengono ad ogni parabola della famiglia indipendentemente dal valore di k

Data la famiglia di parabole di equazione y = (1-k)x\(^{^2}\) – kx + 2k – 4 trovarne le coordinate dei punti base Voglio suddividere i termini con la k da quelli senza la k: eseguo la moltiplicazione y = x\(^{^2}\) – kx\(^{^2}\) – kx + 2k – 4 separo i termini con la k da quelli senza la k y = x\(^{^2}\) – 4 – kx\(^{^2}\) – kx + 2k raccolgo la k y = x\(^{^2}\) – 4 + k(-x\(^{^2}\) – x + 2) pongo -x\(^{^2}\) – x + 2 = 0 essendo uguale a zero posso cambiare di segno tutti i termini x\(^{^2}\) + x – 2 = 0 risolvo ed ottengo x\(_{_1}\)= -2 x\(_{_2}\)= 1 ora sostituisco tali valori nell’equazione della famiglia: il secondo polinomio si annulla y\(_{_1}\) = (-2)\(^{^2}\) – 4 + k(0) = +4-4 = 0 y\(_{_2}\) = (1)\(^{^2}\) -4 + k(0) = 1-4 = -3 quindi i punti base del fascio sono

[figura: parabola85.jpg]

prima soluzione

x = -2 y = 0 seconda soluzione

x = 1 y = -3

La caratteristica di tali punti se esistono, e’ che ogni parabola della famiglia passa per essi. Due parabole possono avere in comune 2 punti, od uno solo oppure nessuno quindi non sempre potremo trovare i punti base Qui di fianco un grafico (molto approssimato) con i punti base A≡(-2;0) B≡(1;-3) e con alcune parabole: la parabola degenere, cioe’ la retta y=-x-1 la parabola per k=0 y = x\(^{^2}\) – 4 la parabola per k=2 (valore preso a caso come esempio) y = (1-2)x\(^{^2}\) – (2)x + 2(2) – 4 cioe’ y = -x\(^{^2}\) – 2x

Si annulla perche’ x\(_{_1}\) ed x\(_{_2}\) annullano il polinomio a”x\(^{^2}\) + b”x +c” infatti nel nostro caso il polinomio e’ x\(^{^2}\) + x – 2 sostituisco x\(_{_1}\)=-2 (-2)\(^{^2}\) + (-2) – 2 = 4-2-2 =0 sostituisco x\(_{_2}\)=1 (1)\(^{^2}\) + (1) – 2 = 1+1-2 =0

risolviamo: \(x^2 + x - 2 = 0\) applichiamo la formula

\(\sqrt{\phantom{x}}\)

– b ± \((b)^2 - 4ac\)

\(z_{1,2} =\)

Abbiamo: a = 1 b = 1 c = -2

\(\sqrt{\phantom{x}}\)

– 1 ± \(1^2 - 4(1)(-2)\)

\(x_{1,2} =\)

2(1)

\(\sqrt{\phantom{x}}\)

– 1 ± 1 + 8

\(x_{1,2} =\)

\(\sqrt{\phantom{x}}\)

-1 ± 9

\(x_{1,2} =\)

– 1 ± 3

\(x_{1,2} =\)

Ora prendo una volta il piu’ ed una volta il meno \(x_1 =\) – 1 + 3 ———- 2 +2 = ——- = 2 1

\(x_2 =\) – 1 – 3 ———- 2 – 4 = —- = 2 – 2

Ho quindi le soluzioni \(x_1 = - 2 x_2 = 1\)

alcuni problemi

Esercizi sulla famiglia di parabole Premettendo che la famiglia di parabole sara’ usata nella soluzione geometrica di problemi (fare link), vediamo qui alcuni problemi generali Esercizio 1 Date le parabole y = x\(^{^2}\) – 2x y = -x\(^{^2}\) + 2x 1) Trovare l’equazione esplicita della famiglia di parabole da loro generata 2) Dite se esistono parabole degeneri nella famiglia 3) Verificare che tutte le parabole della famiglia passano per due punti base A e B 4) Determinare la parabola della famiglia che passa per il punto C(3;4) 5) Determinare le parabole della famiglia tangenti alla bisettrice del primo e terzo quadrante Esercizio 2 Data la famiglia di parabole y = (2-k)x\(^{^2}\) -kx + 2k – 2 1) Se esistono i punti base della famiglia determinarne le coordinate 2) Scrivere l’equazione della retta r appartenente alla famiglia 3) Determinare le parabole della famiglia per k=0 e per k=3 4) Mostrare che nessuna parabola della famiglia e’ tangente alla retta r 5) Riportare i risultati su un piano cartesiano Esercizio 3 Date le coordinate dei punti base A≡(2;5) B≡(-2;1) 1) Determinare l’equazione esplicita della famiglia di parabole con asse verticale da essi generata 2) Determinare il luogo dei vertici delle parabole della famiglia 3) determinare l’equazione delle parabole del fascio avente i verticeìi sulla retta y = 3x +4

esercizio Esercizio 1 Date le parabole y = x\(^{^2}\) – 2x y = -x\(^{^2}\) + 2x 1) Trovare l’equazione esplicita della famiglia di parabole da loro generata 2) Dite se esistono parabole degeneri nella famiglia 3) Verificare che tutte le parabole della famiglia passano per due punti base A e B 4) Determinare la parabola della famiglia che passa per il punto C(3;4) 5) Determinare la parabola della famiglia tangente alla bisettrice del primo e terzo quadrante

Trovare l’equazione esplicita della famiglia di parabole da loro generata Traccia: scriviamole in forma implicita, facciamo la combinazione lineare delle due equazioni, poi esplicitiamo la y scrivo le equazioni in forma implicita y – x\(^{^2}\) + 2x = 0 y + x\(^{^2}\) – 2x = 0 faccio la combinazione lineare delle due equazioni y – x\(^{^2}\) + 2x +k( y + x\(^{^2}\) – 2x) = 0 per esplicitare la y prima eseguo le moltiplicazioni y – x\(^{^2}\) + 2x + ky + kx\(^{^2}\) – 2kx = 0 raccolgo le variabili per tipo ed ordine (1+k)y +(-1+k)x\(^{^2}\) + 2(1-k)x = 0 cambio segno al secondo termine dentro e fuori parentesi (1+ k)y -(1-k)x\(^{^2}\) + 2(1-k)x = 0 con k≠-1 Questa e’ la forma implicita del fascio; esplicito la y y = \(\frac{(1-k)x^2 - 2(1-k)x}{1+k}\) con k ≠-1

Verificare che tutte le parabole della famiglia passano per due punti base A e B traccia: prendo le parabole di base e faccio il sistema: le soluzioni, se esistono, saranno le coordinate dei punti base del fascio per trovare i punti base del fascio possiamo fare il sistema fra le due parabole di base , oppure fra due parabole qualunque del fascio (per trovarle basta dare due valori qualunque a k diversi pero’ da -1) faccio il sistema fra le parabole di base

y = x\(^{^2}\) – 2x y = -x\(^{^2}\) + 2x sostituisco

y = x\(^{^2}\) – 2x x\(^{^2}\) – 2x = -x\(^{^2}\) + 2x

y = x\(^{^2}\) – 2x x\(^{^2}\) – 2x + x\(^{^2}\) – 2x = 0

y = x\(^{^2}\) – 2x 2x\(^{^2}\) – 4x = 0

y = x\(^{^2}\) – 2x x\(^{^2}\) – 2x = 0

y = x\(^{^2}\) – 2x x(x – 2) = 0 ottengo le soluzioni x\(_{_1}\) = 0 x\(_{_2}\) = 2 Sostituisco i valori nell’altra equazione del sistema ed ottengo

y\(_{_1}\) = 0\(^{^2}\) – 2(0) = 0 x\(_{_1}\) = 0

y\(_{_2}\) = 2\(^{^2}\) – 2(2) = 4-4 = 0 x\(_{_2}\) = 2 prima soluzione

x = 0 y = 0 seconda soluzione

x = 2 y = 0

Determinare la parabola della famiglia che passa per il punto C(3;4) basta semplicemente imporre il passaggio per il punto C sostituendo nella famiglia ad x ed y le coordinate di C per determinare il valore di k Considero la forma implicita del fascio (1+ k)y +(1-k)x\(^{^2}\) + 2(1-k)x = 0 sostituisco (1+ k)·4 +(1-k)·16 + 2(1-k)·4 = 0 4 + 4k +16 – 16k +8 – 8k = 0 -20k +28 = 0 -20k = -28 20k = 28k = 28/20 = 7/5 sostituisco questo valore nell’equazione della famiglia ed ottengo y = \(\frac{(1-7/5)x^2 + 2(1-7/5)x}{1+7/5}\)

y = \(\frac{(-2/5)x^2 + 2(-2/5)x}{12/5}\)

posso eliminare i 5 ai denominatori essendo essi in tutti i termini y = \(\frac{-2x^2 + -4x}{12}\)

semplifico sopra e sotto per 2 y = \(\frac{-x^2 - 2x}{6}\)

Determinare la parabola della famiglia tangente alla bisettrice del primo e terzo quadrante Traccia: per determinare la parabola facciamo il sistema fra l’equazione della famiglia e l’equazione della bisettrice, imponiamo che il delta del sistema sia uguale a zero (condizione di tangenza) Otteniamo un’equazione in k che, risolta ci dara’ il valore (od i valori, se esistono) di k che determinano le parabole della famiglia che soddisfano la condizione Faccio il sistema fra l’equazione della famiglia e l’equazione della retta

(1+ k)y +(1-k)x\(^{^2}\) + 2(1-k)x = 0 con k≠-1 y = x sostituisco

(1+ k)x +(1-k)x\(^{^2}\) + 2(1-k)x = 0 y = x

(1+ k)x +(1-k)x\(^{^2}\) + (2-2k)x = 0 y = x

(1-k)x\(^{^2}\) + (2-2k+1+k)x = 0 y = x ottengo l’equazione risolvente:

1. Dite se esistono parabole degeneri nella famiglia Per vedere se esistono parabole degeneri dobbiamo vedere se e’ possibile eliminare il termine x\(^{^2}\) del fascio; (1+ k)y +(1-k)x\(^{^2}\) + 2(1-k)x = 0 per eliminare x\(^{^2}\) dovra’ essere (k-1)=0 cioe’ k = 1 e, sostituendo, otteniamo y = 0 quindi per k=1 la parabola del fascio degenera nella retta y=0 (asse orizzontale)
2. quindi esistono due punti base le cui coordinate sono A≡(0;0) B≡(2;0)
3. dopo l’uguale suddivido in due termini y = -1/6 x\(^{^2}\) – 2/6 x quindi ottengo l’equazione della parabola cercata y = -1/6 x\(^{^2}\) – 1/3 x
4. (1-k)x\(^{^2}\) + (3-k)x = 0 y = x Poniamo il delta uguale a zero b\(^{^2}\)-4ac = 0 vale a=1-k b=3-k c=0 (3-k)\(^{^2}\) -4·(1-k)(0)=0 (3-k)\(^{^2}\)=0 k = 3 Sostituisco il valore 3 a k nell’equazione della famiglia per trovare la parabola cercata (1+ 3)y +(1-3)x\(^{^2}\) + 2(1-3)x = 0 4y -2x\(^{^2}\) -4x = 0 4y = 2x\(^{^2}\) +4x divido tutto per 2 2y = x\(^{^2}\) +2x esplicito ed ottengo l’equazione della parabola desiderata y = 1/2 x\(^{^2}\) +x

esercizio Esercizio 2 Data la famiglia di parabole y = (2-k)x\(^{^2}\) -kx + 2k – 2 1) Se esistono i punti base della famiglia determinarne le coordinate 2) Scrivere l’equazione della retta r appartenente alla famiglia 3) Determinare le parabole della famiglia per k=0 e per k=3 4) Mostrare che nessuna parabola della famiglia e’ tangente alla retta r 5) Riportare i risultati su un piano cartesiano

Determinare le parabole della famiglia per k=0 e per k=3 sostituiamo a k nell’equazione della famiglia i valori assegnati, troviamo le equazioni delle parabole corrispondenti Sostituisco k=0 y = (2-0)x\(^{^2}\) -0·x + 2·0 – 2 ottengo y = 2x\(^{^2}\) – 2

E’ una parabola con asse verticale, concavita’ verso l’alto, simmetrica rispetto all’asse delle ordinate, con vertice nel punto (0;-2) e che taglia l’asse delle ascisse nei punti (-1;0) e (1;0) e l’asse delle ordinate nel punto (0;-2)se vuoi vedere i calcoli per esteso

Sostituisco k=3 y = (2-3)x\(^{^2}\) -3·x + 2·3 – 2 ottengo y = -x\(^{^2}\) – 3x + 4

E’ una parabola con asse verticale, concavita’ verso il basso, con asse di simmetria la retta y= -3/2, con vertice nel punto (-3/2;25/4) e che taglia l’asse delle ascisse nei punti (-4;0) e (1;0) e l’asse delle ordinate nel punto (0;+4)se vuoi vedere i calcoli per esteso

Mostrare che nessuna parabola della famiglia e’ tangente alla retta r Intuitivamente essendo la retta r la parabola degenere della famiglia anch’essa, come tutte le parabole passa per i punti base quindi ha sempre due intersezioni distinte con qualunque altra parabola della famiglia e, di conseguenza, non puo’ essere tangente a nessuna. Per mostrarlo algebricamente invece facciamo il sistema fra la retta r e l’equazione della famiglia, troviamo l’equazione risultante e vedremo che essa non dipende dal valore di k Faccio il sistema fra le equazioni della famiglia e della retta

y = (2-k)x\(^{^2}\) – kx + 2k – 2 y = -2x + 2 sostituisco

-2x + 2 = (2-k)x\(^{^2}\) – kx + 2k – 2 y = -2x + 2 calcolo

(2-k)x\(^{^2}\) + 2x – kx + 2k – 2 -2 = 0 y = -2x + 2

Riportare i risultati su un piano cartesiano

[figura: parabola86.jpg]

1. Se esistono i punti base della famiglia determinarne le coordinate separo i termini con il parametro da quelli senza parametro y = (2-k)x\(^{^2}\) -kx + 2k – 2 y = 2x\(^{^2}\) – 2 – kx\(^{^2}\) -kx + 2k y = 2x\(^{^2}\) + 3 +k(- x\(^{^2}\) -x + 2) Per trovare le ascisse dei punti base pongo uguale a zero l’espressione moltiplicata per il parametro – x\(^{^2}\) -x + 2 = 0 x\(^{^2}\) + x – 2 = 0 Calcolo ed ottengo le soluzioni x\(_{_1}\) = -2 x\(_{_2}\) = 1 Sostituisco i valori nell’ equazione della famiglia per x\(_{_1}\) = -2 y= 2·(-2)\(^{^2}\) -2 +k(0) = 2·4 -2 = 6 per x\(_{_2}\) = 1 y= 2·(1)\(^{^2}\) -2 +k(0) = 2·1 -2 = 0 quindi esistono due punti base le cui coordinate sono A≡(-2;6) B≡(1;0)
2. Scrivere l’equazione della retta r appartenente alla famiglia Per trovare la retta dobbiamo trovare il valore di k che elimina il termine x\(^{^2}\) quindi presa l’equazione della famiglia y = (2-k)x\(^{^2}\) -kx + 2k – 2 pongo (2-k)x\(^{^2}\) = 0, cioe’ 2-k = 0 ed otteniamo k = 2 sostituendo 2 al posto di k nell’equazione della famiglia otteniamo y = (2-2)x\(^{^2}\) -2·x + 2·2 – 2 y = -2x + 2 E’ una retta passante per i due punti base della famiglia e viene anche chiamata parabola degenere del fascio
3. (2-k)x\(^{^2}\) + (2-k)x + 2k – 4 = 0 y = -2x + 2 quindi abbiamo l’equazione risolvente (2-k)x\(^{^2}\) + (2-k)x – 4 + 2k = 0 o meglio (2-k)x\(^{^2}\) + (2-k)x -2(2-k) = 0 supponendo 2-k≠0 cioe’k≠2 posso semplificare ed ottengo x\(^{^2}\) + x -2 = 0 quindi l’equazione risolvente non dipende piu’ da k e quindi non e’ possibile porre il delta del sistema uguale a zero, cioe’ non e’ possibile avere la tangenza fra la retta e una parabola non degenere della famiglia Da notare che per k=2 ottengo la parabola degenere, cioe’ la retta r

Studio della parabola \(y = 2x^2 - 2\) Si tratta di una parabola del tipo y=ax\(^{^2}\) +bx +c con asse verticale

1. troviamo l’ intersezione con l’asse y
2. troviamo le intersezioni con l’asse x
3. troviamo l’equazione dell’asse verticale
4. troviamo le coordinate del vertice
5. riportiamo i risultati su un piano cartesiano

troviamo le coordinate del vertice Le coordinate del vertice sono V≡( -b 2a ; \(\frac{b^2 - 4ac -}{4a}\) )

Abbiamo a=2, b=0 e c=-2 sostituendo abbiamo V≡( -0 2·2 ; \(\frac{0^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) -}{4 \cdot 2}\) )

riportiamo i risultati su un piano cartesiano

[figura: parabola87.jpg]

1. troviamo l’ intersezione con l’asse y Dobbiamo fare il sistema fra la parabola e l’asse delle y (x=0); per fare prima basta porre nell’equazione x=0, troviamo y = 2x\(^{^2}\) – 2 = 2·0\(^{^2}\) – 2 = -2 Quindi avremo il punto di intersezione di coordinate (0;-2)
2. troviamo le intersezioni con l’asse x Dobbiamo fare il sistema fra la parabola e l’asse delle x (y=0); per fare prima basta porre nell’equazione y=0, e troviamo y = 2x\(^{^2}\) – 2 0 = 2x\(^{^2}\) – 2 2x\(^{^2}\) -2 = 0 x\(^{^2}\) -1 = 0 x\(^{^2}\) = 1 otteniamo x\(_{_1}\) = -1 x\(_{_2}\) = 1 Quindi avremo i punti di intersezione di coordinate A≡(-1;0) e B≡(1;0)
3. troviamo l’equazione dell’asse verticale L’asse verticale ha la formula x=-b/2a con b=0 ed a=2, quindi l’asse verticale ha equazione x=0 (e’ l’asse y)
4. V≡(0; -2)

Studio della parabola \(y = -x^2 - 3x + 4\) Si tratta di una parabola del tipo y=ax\(^{^2}\) +bx +c con asse verticale

1. troviamo l’ intersezione con l’asse y
2. troviamo le intersezioni con l’asse x
3. troviamo l’equazione dell’asse verticale
4. troviamo le coordinate del vertice
5. riportiamo i risultati su un piano cartesiano

troviamo le coordinate del vertice Le coordinate del vertice sono V≡( -b 2a ; \(\frac{b^2 - 4ac -}{4a}\) )

Abbiamo a=-1, b=-3 e c=4 sostituendo abbiamo V≡( -(-3) 2·(-1) ; \(\frac{(-3)^2 - 4 \cdot (-1) \cdot 4 -}{4 \cdot (-1)}\) )

V≡( 3 -2 ; 9 + 16 – -4 )

riportiamo i risultati su un piano cartesiano

[figura: parabola88.jpg]

1. troviamo l’ intersezione con l’asse y Dobbiamo fare il sistema fra la parabola e l’asse delle y (x=0); per fare prima basta porre nell’equazione x=0, troviamo y = -0\(^{^2}\) – 3·0 + 4 = 4 Quindi avremo il punto di intersezione di coordinate C≡(0;4)
2. troviamo le intersezioni con l’asse x Dobbiamo fare il sistema fra la parabola e l’asse delle x (y=0); per fare prima basta porre nell’equazione y=0, e troviamo y = -x\(^{^2}\) – 3x + 4 0 = -x\(^{^2}\) – 3x + 4 x\(^{^2}\) +3x -4 = 0 otteniamo x\(_{_1}\) = -4 x\(_{_2}\) = 1calcoli Quindi avremo i punti di intersezione di coordinate A≡(-4;0) e B≡(1;0)
3. troviamo l’equazione dell’asse verticale L’asse verticale ha la formula x=-b/2a con b=-3 ed a=-1, quindi l’asse verticale ha equazione x=-3/2
4. V≡(-3/2; 25/4)

risolviamo: \(x^2 + 3x - 4 = 0\) applichiamo la formula

\(\sqrt{\phantom{x}}\)

– b ± \((b)^2 - 4ac\)

\(z_{1,2} =\)

Abbiamo: a = 1 b = 3 c = -4

\(\sqrt{\phantom{x}}\)

– 3 ± \((-3)^2 - 4(1)(-4)\)

\(x_{1,2} =\)

2(1)

\(\sqrt{\phantom{x}}\)

– 3 ± 9+16

\(x_{1,2} =\)

\(\sqrt{\phantom{x}}\)

-3 ± 25

\(x_{1,2} =\)

– 3 ± 5

\(x_{1,2} =\)

Ora prendo una volta il meno ed una volta il piu’ \(x_1 =\) – 3 – 5 ———- 2 – 8 = —- = 2 -4

\(x_2 =\) – 3 + 5 ———- 2 +2 = ——- = 2 1

Ho quindi le soluzioni \(x_1 = - 4 x_2 = 1\)

risolviamo: \(x^2 + x - 2 = 0\) applichiamo la formula

\(\sqrt{\phantom{x}}\)

– b ± \((b)^2 - 4ac\)

\(x_{1,2} =\)

Abbiamo: a = 1 b = 1 c = -2

\(\sqrt{\phantom{x}}\)

– 1 ± \(1^2 - 4(1)(-2)\)

\(x_{1,2} =\)

2(1)

\(\sqrt{\phantom{x}}\)

– 1 ± 1+8

\(x_{1,2} =\)

\(\sqrt{\phantom{x}}\)

-1 ± 9

\(x_{1,2} =\)

– 1 ± 3

\(x_{1,2} =\)

Ora prendo una volta il meno ed una volta il piu’ \(x_1 =\) – 1 – 3 2 – 4 = = 2 -2

\(x_2 =\) – 1 + 3 2 +2 = = 2 1

Ho quindi le soluzioni \(x_1 = - 2 x_2 = 1\)

esercizio Esercizio 3 Date le coordinate dei punti base A≡(2;5) B≡(-2;1) 1) Determinare l’equazione esplicita della famiglia di parabole con asse verticale da essi generata 2) Determinare il luogo dei vertici delle parabole della famiglia 3) determinare l’equazione delle parabole del fascio avente i vertici sulla retta y = 3x +4

Determinare l’equazione esplicita della famiglia di parabole con asse verticale generata dai punti base Per determinare l’equazione della famiglia basta sostituire nell’equazione della parabola generica con asse verticale y=ax2+bx+c al posto di x ed y le cordinate di A e B: otterremo un sistema di due equazioni in tre incognite: risolvendo otterremo i risultati dipendenti dalla terza incognita che chiameremo infine k e quindi avremo l’equazione della famiglia di parabole cercata Da notare inoltre, che, se lasciamo come variabile a, la parabola della famiglia che otterremo per k=0 sara’ sempre la parabola degenere, cioe’ la retta passante per A e B Impongo che la generica parabola con asse verticale y=ax2+bx+c passi perA≡(2;5) e B≡(-2;1) Passaggio per A: 5 = 4a+2b+c Passaggio per B: 1 = 4a-2b+c Faccio il, sistema

5 = 4a+2b+c 1 = 4a-2b+c leggo alla rovescia

4a+2b+c = 5 4a-2b+c = 1 ricavo 4a da sopra e sostituisco sotto

4a = 5 -2b-c 5-2b-c-2b+c=1

4a = 5 -2b-c -4b=-4

4a = 5 -2b-c b= 1 sostituisco sopra

4a = 5 -2-c b= 1 Ricavo c da sopra

Determinare il luogo dei vertici delle parabole della famiglia Per determinare il luogo dei vertici troviamo il vertice generico dipendente da k; eliminando k dalle coordinate del vertice generico troveremo un’espressione in x ed y che ci fornira’ l’equazione del luogo cercato Vertice generico V \(V_x =\) -b 2a

\(V_y = -\) \(\frac{b^2 - 4ac}{4a}\)

Essendo: a=k b = 1 c = -4k+3 avremo per V≡(x;y) x = -1 2k

y = – \(\frac{1^2 - 4k(-4k+3)}{4k}\) = – \(\frac{1+16k^2 - 12k}{4k}\) = – \(\frac{16k^2 - 12k + 1}{4k}\)

Mettiamo a sistema

x = -1 2k

y = – \(\frac{16k^2 - 12k + 1}{4k}\)

Ricavo k da sopra e sostituisco sotto (suppongo k ≠ 0)

k = -1 2x

y = – \(\frac{16(-1/2x)^2 - 12(-1/2x) + 1}{4(-1/2x)}\)

sviluppo solamente la seconda y = – \(\frac{4/(x)^2 + 6/x + 1}{-2/x}\)

y = \(\frac{4/(x)^2 + 6/x + 1}{2/x}\)

Moltiplico sopra e sotto per x\(^{^2}\) (posso farlo perche’ ho supposto x ≠ 0) y = \(\frac{4 + 6x + (x)^2}{2x}\)

determinare l’equazione delle parabole del fascio avente i vertici sulla retta y = 3x +4 Traccia: imponiamo che le coordinate del vertice generico soddisfino l’equazione della retta, risolvendo l’equazione troveremo i valori di k che ci daranno le parabole cercate. Equazione della retta y = 3x +4 Coordinate del vertice generico x = -1 2k

y = – \(\frac{16k^2 - 12k + 1}{4k}\)

sostituisco le coordinate del vertice nell’equazione della retta ed ottengo – \(\frac{16k^2 - 12k + 1}{4k}\) = -3 2k + 4

supponendo k≠0 faccio il mcm \(\frac{-16k^2 + 12k - 1}{4k}\) = -6 + 16k 4k

ottengo -16k\(^{^2}\) + 12k – 1 = -6 + 16k -16k\(^{^2}\) + 12k – 1 +6 – 16k = 0 -16k\(^{^2}\) – 4k +5 = 0 16k\(^{^2}\) + 4k -5 = 0 Risolvo ed ottengo se vuoi vedere i calcoli k\(_{_1}\)= (-1-√21)/8 k\(_{_2}\)= (-1+√21)/8 Sostituendo tali valori di k nell’equazione della famiglia troviamo le parabole cercate Equazione della famiglia y = kx\(^{^2}\) +x -4k+3

• sostituisco k\(_{_1}\)= (-1-√21)/8 y = (-1-√21)/8 x\(^{^2}\) + x – 4(-1-√21)/8 + 3 y = (-1-√21)/8 x\(^{^2}\) + x + 1/2 +(√21)/2 + 3 prima parabola y = (-1-√21)/8 x\(^{^2}\) + x + 7/2 +(√21)/2
• sostituisco k\(_{_2}\)= (-1+√21)/8 y = (-1+√21)/8 x\(^{^2}\) + x – 4(-1+√21)/8 + 3 y = (-1+√21)/8 x\(^{^2}\) + x + 1/2 -(√21)/2 + 3 seconda parabola y = (-1+√21)/8 x\(^{^2}\) + x + 7/2 -(√21)/2

1. c = -4a +3 b= 1 Ottengo quindi ponendo a=k e sostituendo nell’equazione della parabola generica y = kx\(^{^2}\) +x -4k+3
2. Quindi i vertici delle parabole della famiglia si dispongono sulla funzione y = 2/x + 3 + 1/2 x Intuitivamente si tratta della somma di una parabola y=2/x riferita ai propri assi e di una retta y=1/2 x + 3 e, se vuoi, si puo’ costruire per punti ; (fare link)Si puo’ anche dire che si tratta di una funzione omografica che tratteremo nel prossimo capitolo (ancora da scrivere)

grafico della funzione y = 2/x + 3 + 1/2 x

grafico della funzione y = 2/x + 3 + 1/2 x Presa la funzione y = 2/x + 3 + 1/2 x pensiamola come y = y\(_{_1}\) + y\(_{_2}\) = (2/x) + (3 + 1/2 x) quindi bastera’ fare il grafico delle 2 funzioni y\(_{_1}\) = 2/xIperbole riferita ai propri assi y\(_{_2}\) = 1/2 x + 2 retta e poi sommare algebricamente punto per punto i valori delle ordinate trovate Troviamo alcuni punti per meglio disegnare il grafico

funzione y\(_{_1}\)= 2/x facciamo una tabella di valori x \(y_1\)

\(1/2\) \(4\)

\(1\) \(2\)

\(2\) \(1\)

\(4\) \(1/2\)

\(-1/2\) \(-4\)

\(-1\) \(-2\)

\(-2\) \(-1\)

\(-4\) \(-1/2\)

[figura: parabola89.jpg]

funzione y\(_{_2}\)= 1/2 x + 3 Anche se per disegnare la retta sarebbero sufficienti due punti, per meglio mostrare come si deve fare facciamo una tabella con le stesse ascisse della tabella precedente x \(y_2\)

1/2 13/4

1 7/2

-1/2 11/4

-1 5/2

-2 2

-4 1

[figura: parabola90.jpg]

Ora basta sovrapporre i due grafici e fare la somma algebrica punto per punto x \(y_1\) + \(y_2\) y

1/2 13/4 + 13/4 29/4

1 7/2 + 7/2 11/2

2 4 + 4 5

4 5 + 5 11/2

-1/2 11/4 + 11/4 -5/4

-1 5/2 + 5/2 1/2

-2 2 + 2 1

-4 1 + 1 1/2

[figura: parabola91.jpg]

in nero la curva risultante di solito si preferisce tracciare le curve componenti e poi, senza fare troppi calcoli mettere intuitivamente per qualche punto la somma algebrica dei punti sulla stessa verticale fino a capire come si sviluppa il grafico e quindi lo si disegna

Risolviamo l’equazione \(16k^2 + 4k -5 = 0\) conviene applicare la formula ridotta

\(\sqrt{\phantom{x}}\)

– β ± \(\beta^2 - ac\)

\(x_{1,2} =\)

Abbiamo: a = 16 β = 2 c = 5

\(\sqrt{\phantom{x}}\)

– 2 ± \(2^2 - 4(16)(5)\)

\(x_{1,2} =\)

\(\sqrt{\phantom{x}}\)

– 2 ± 4 + 320

\(x_{1,2} =\)

\(\sqrt{\phantom{x}}\)

– 2 ± 324

\(x_{1,2} =\)

Estraggo 4 dal radicale ed ottengo 2 fuori

\(\sqrt{\phantom{x}}\)

– 2 ± 2 81

\(x_{1,2} =\)

Raccolgo il 2 sopra

\(\sqrt{\phantom{x}}\)

2(- 1 ± 81 )

\(x_{1,2} =\)

Semplifico

\(\sqrt{\phantom{x}}\)

– 1 ± 81

\(x_{1,2} =\)

Ho quindi le soluzioni

\(\sqrt{\phantom{x}}\)

\(- 1 -\) \(81\)

\(x_1 =\)

\(8\)

\(\sqrt{\phantom{x}}\)

\(- 1 +\) \(81\)

\(x_2 =\)

\(8\)

parabola con asse orizzontale

Parabola con asse orizzontale \(Possiamo considerare la parabola con asse orizzontale come la parabola con asse verticale in cui scambiamo le y con le x x = ay^2 + by + c\)

[figura: parabola47.jpg]

quindi per avere le varie formule del vertice, dei fuochi dell’asse, della direttrice bastera’ sostituire la x al posto della y e viceversa

Ad esempio le coordinate del vertice saranno \(b^2 - 4 ac\) b

\(V =\) \(-\) \(---------------\) \(; -\) \(------\)

\(4a\) \(2a\)

\(Esercizio: trovare il vertice della parabola x = y^2 - 4y + 3 soluzione\)

C’e’ da notare che la parabola con asse orizzontale (come anche la circonferenza) non e’ una funzione in senso stretto perche’ ogni retta verticale che la intersechi la intersechera’ in due punti, mentre nella funzione ad ogni valore di x deve corrispondere un solo valore di y e quindi un solo punto sulla verticale

esercizio per determinare le coordinate del vertice Determinare le coordinate del vertice della parabola di equazione \(x = y^2 - 4x + 3\) le coordinate del vertice sono:

\((\)

\(b^2 - 4 ac\) b

\()\)

V = – ————– ; – ——

4a 2a

abbiamo a = 1 b = -4 c = 3 Calcoliamo la coordinata x del vertice: V\(_{_x}\) \(b^2 - 4 ac\) \((-4)^2 - 4 (1)(3)\)

\(V_x =\) – ————— = – ———————– = – 1

4a 4

Calcoliamo la coordinata y del vertice: V\(_{_y}\) b -4

\(V_y =\) – —– = – —– = 2

2a 2

Otteniamo quindi: \(V = (-1,2)\)