La parabola è una delle curve coniche fondamentali della geometria analitica. In questa pagina trovi parabola esercizi svolti passo per passo: equazione, vertice, fuoco, direttrice, asse di simmetria.
Equazione della parabola con asse verticale
La forma canonica è:
$$y = ax^2 + bx + c \quad (a \neq 0)$$
Vertice: $V = \left(-\dfrac{b}{2a},\; -\dfrac{\Delta}{4a}\right)$, dove $\Delta = b^2 - 4ac$
Asse di simmetria: $x = -\dfrac{b}{2a}$
Fuoco: $F = \left(-\dfrac{b}{2a},\; -\dfrac{\Delta}{4a} + \dfrac{1}{4a}\right)$
Direttrice: $y = -\dfrac{\Delta}{4a} - \dfrac{1}{4a}$
Parabola con asse orizzontale
Forma canonica: $x = ay^2 + by + c$. In questo caso asse di simmetria orizzontale, fuoco sull’asse $x$.
Esercizi svolti sulla parabola
Esercizio 1 — Trovare vertice, asse, intersezioni
Testo: Per la parabola $y = x^2 - 4x + 3$, trovare: vertice, asse di simmetria, intersezioni con gli assi.
Svolgimento:
$a = 1$, $b = -4$, $c = 3$, $\Delta = 16 - 12 = 4$.
Asse di simmetria: $x = -\dfrac{-4}{2 \cdot 1} = 2$
Vertice: $y_V = -\dfrac{\Delta}{4a} = -\dfrac{4}{4} = -1$ → $V = (2, -1)$
Intersezione con asse $x$ ($y=0$): $x^2 - 4x + 3 = 0 \Rightarrow x_1 = 1, x_2 = 3$ → $(1, 0)$ e $(3, 0)$
Intersezione con asse $y$ ($x=0$): $y = 3$ → $(0, 3)$
Fuoco: $F = \left(2,\; -1 + \dfrac{1}{4}\right) = \left(2, -\dfrac{3}{4}\right)$
Esercizio 2 — Retta tangente alla parabola
Testo: Trovare la retta tangente a $y = x^2 - 2x + 1$ nel punto $P(3, 4)$.
Svolgimento:
La derivata è $y' = 2x - 2$. In $x = 3$: pendenza $m = 2(3) - 2 = 4$.
Equazione della tangente in $P(3, 4)$ con pendenza $m = 4$:
$$y - 4 = 4(x - 3) \implies y = 4x - 8$$
Risposta: $y = 4x - 8$
Esercizio 3 — Parabola per tre punti
Testo: Trovare la parabola $y = ax^2 + bx + c$ passante per $A(0,1)$, $B(1,0)$, $C(2,3)$.
Svolgimento:
Sostituiamo le coordinate dei tre punti:
- $A(0,1)$: $c = 1$
- $B(1,0)$: $a + b + 1 = 0 \Rightarrow a + b = -1$
- $C(2,3)$: $4a + 2b + 1 = 3 \Rightarrow 4a + 2b = 2 \Rightarrow 2a + b = 1$
Dal sistema $\begin{cases} a + b = -1 \\ 2a + b = 1 \end{cases}$: sottraendo, $a = 2$, quindi $b = -3$.
Risposta: $y = 2x^2 - 3x + 1$
Esercizio 4 — Intersezione parabola-retta
Testo: Trovare i punti di intersezione tra $y = x^2 + x - 2$ e $y = 2x + 1$.
Svolgimento:
$$x^2 + x - 2 = 2x + 1 \implies x^2 - x - 3 = 0$$
$$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 12}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{13}}{2}$$
Punti di intersezione: $\left(\dfrac{1+\sqrt{13}}{2},\; 2+\sqrt{13}\right)$ e $\left(\dfrac{1-\sqrt{13}}{2},\; 2-\sqrt{13}\right)$
Esercizio 5 — Tangenti condotte da un punto esterno
Testo: Data la parabola $y = x^2 + 1$, trovare le equazioni delle rette tangenti condotte dall’origine $O(0,0)$ e, detti $A$ e $B$ i punti di tangenza, calcolare l’area del triangolo $OAB$.
Svolgimento:
Il fascio di rette per $O$ è $y = mx$. Sistema retta-parabola: $mx = x^2 + 1 \Rightarrow x^2 - mx + 1 = 0$.
Condizione di tangenza (due soluzioni coincidenti): $\Delta = m^2 - 4 = 0 \Rightarrow m = \pm 2$. Le due tangenti sono $y = 2x$ e $y = -2x$.
Punti di tangenza: per $m = 2$, $x^2 - 2x + 1 = 0 \Rightarrow (x-1)^2 = 0 \Rightarrow x = 1$, quindi $A = (1, 2)$; per $m = -2$, $x^2 + 2x + 1 = 0 \Rightarrow (x+1)^2 = 0 \Rightarrow x = -1$, quindi $B = (-1, 2)$.
Il segmento $AB$ è orizzontale (giace sulla retta $y = 2$) e misura $AB = 2$; l’altezza rispetto a $O$ è la distanza di $O$ dalla retta $y = 2$, cioè $2$.
Risposta: Area($OAB$) $= \dfrac{AB \cdot \text{altezza}}{2} = \dfrac{2 \cdot 2}{2} = 2$ unità quadrate. Le tangenti sono $y = 2x$ e $y = -2x$.
Esercizio 6 — Tangente a una parabola con parametro
Testo: Data la parabola $y = x^2$, determinare l’equazione della retta tangente parallela alla retta $y = 2x$.
Svolgimento:
Il fascio di rette parallele a $y = 2x$ è $y = 2x + k$, con $k$ parametro. Sistema retta-parabola: $2x + k = x^2 \Rightarrow x^2 - 2x - k = 0$.
Condizione di tangenza: $\Delta = 4 + 4k = 0 \Rightarrow k = -1$.
Risposta: La retta tangente è $y = 2x - 1$.
Approfondimenti
La parabola è una delle tre coniche principali. Per il quadro completo vedi coniche: parabola, ellisse e iperbole.
Domande frequenti
Come si trova il vertice di una parabola?
Il vertice della parabola $y = ax^2 + bx + c$ ha coordinate $x_V = -b/(2a)$ e $y_V = f(x_V) = -\Delta/(4a)$ dove $\Delta = b^2 - 4ac$. In alternativa si usa il completamento del quadrato per riscrivere la parabola in forma $y = a(x-h)^2 + k$ dove $(h, k)$ è il vertice.
Quando la parabola è concava verso l’alto o verso il basso?
Il segno del coefficiente $a$ determina la concavità: se $a > 0$ la parabola è concava verso l’alto (∩); se $a < 0$ è concava verso il basso (∪). Il vertice è un punto di minimo per $a > 0$ e di massimo per $a < 0$.