Le coniche sono curve ottenute intersecando un cono con un piano. In geometria analitica, le tre coniche fondamentali sono la parabola, l’ellisse e l’iperbole. In questa pagina trovi la guida al riconoscimento e allo studio di ciascuna.
Le tre coniche fondamentali
Parabola
Equazione con asse verticale: $y = ax^2 + bx + c$ ($a \neq 0$).
Proprietà: luogo dei punti equidistanti dal fuoco $F$ e dalla direttrice $d$.
- Vertice: $V = \left(-\dfrac{b}{2a}, -\dfrac{\Delta}{4a}\right)$
- Concavità verso l’alto se $a > 0$, verso il basso se $a < 0$
Ellisse
Equazione canonica (centrata nell’origine, assi paralleli agli assi cartesiani):
$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \quad (a, b > 0)$$
Proprietà: luogo dei punti la cui somma delle distanze dai due fuochi è costante ($= 2a$ se $a > b$).
- Fuochi: $F_1(-c, 0)$ e $F_2(c, 0)$ con $c = \sqrt{a^2 - b^2}$ (se $a > b$)
- Eccentricità: $e = c/a$, con $0 < e < 1$
- Se $a = b$, l’ellisse diventa un cerchio di raggio $a$
Iperbole
Equazione canonica:
$$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$$
Proprietà: luogo dei punti la cui differenza delle distanze dai due fuochi è costante ($= 2a$).
- Fuochi: $F_1(-c, 0)$ e $F_2(c, 0)$ con $c = \sqrt{a^2 + b^2}$
- Asintoti: $y = \pm \dfrac{b}{a} x$
- Eccentricità: $e = c/a > 1$
Come riconoscere la conica dall’equazione
Data un’equazione di secondo grado $Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0$, il discriminante $\Delta = B^2 - 4AC$ permette di classificare:
- $\Delta < 0$: ellisse (o cerchio se $A = C$ e $B = 0$)
- $\Delta = 0$: parabola
- $\Delta > 0$: iperbole
Coniche alla maturità scientifica
Le coniche compaiono frequentemente nei quesiti della seconda prova. In particolare: riconoscimento della curva, calcolo di fuochi, vertici, eccentricità, intersezione con rette. Esercitati con le tracce su maturità scientifica: esercizi svolti.
Domande frequenti sulle coniche
Come si distingue un’ellisse da una parabola da un’iperbole?
Dal discriminante $\Delta = B^2 - 4AC$ dell’equazione di secondo grado: $\Delta < 0$ → ellisse; $\Delta = 0$ → parabola; $\Delta > 0$ → iperbole. Se l’equazione è nella forma canonica è ancora più diretto: $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ è un’ellisse, $y=ax^2+\ldots$ è una parabola, $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ è un’iperbole.
Qual è l’eccentricità di ellisse, parabola e iperbole?
L’eccentricità $e = c/a$ (distanza fuoco-centro / semiasse) classifica le coniche: ellisse: $0 < e < 1$; cerchio: $e = 0$; parabola: $e = 1$; iperbole: $e > 1$.