Verificare le seguenti uguaglianze, applicando la definizione di limite finito di una funzione per x che tende all’infinito:

Esercizio 1 \[ \lim_{x\rightarrow\infty}\frac{x}{x+2}=1 \] La funzione è definita per \[ x\neq-2 \] Occorre mostrare che, comunque si scelga \[ \varepsilon>0 \] arbitrariamente piccolo, la disuguaglianza \[ \left|\frac{x}{x+2}-1\right|<\varepsilon \] sia verificata per tutti i valori di x di un opportuno intorno di infinito.Risolviamo ora la disequazione nell’incognita x: \[ \left|\frac{x}{x+2}-1\right|<\varepsilon\rightarrow\left|\frac{x-x-2}{x+2}\right|<\varepsilon \] \[ \left|\frac{-2}{x+2}\right|<\varepsilon\rightarrow\frac{2}{\left|x+2\right|}<\varepsilon\rightarrow\left|x+2\right|>\frac{2}{\varepsilon} \] \[ x+2<-\frac{2}{\varepsilon}\;\vee\; x+2>+\frac{2}{\varepsilon} \] \[ x<-2-\frac{2}{\varepsilon}\;\vee\; x>-2+\frac{2}{\varepsilon} \] Otteniamo quindi \[ \left(-\infty;-2-\frac{2}{\varepsilon}\right)\cup\left(-2+\frac{2}{\varepsilon};+\infty\right) \] Visto che quest’ultimo intervallo costituisce un intorno di infinito, possiamo affermare che il limite è verificato.

Esercizio 2 \[ \lim_{x\rightarrow\infty}\frac{\sqrt[3]{x}+1}{\sqrt[3]{x}}=1 \] La funzione è definita per \[ x\neq0 \] Occorre mostrare che, comunque si scelga \[ \varepsilon>0 \] arbitrariamente piccolo, la disuguaglianza \[ \left|\frac{\sqrt[3]{x}+1}{\sqrt[3]{x}}-1\right|<\varepsilon \] sia verificata per tutti i valori di x di un opportuno intorno di infinito.Risolviamo ora la disequazione nell’incognita x: \[ \left|\frac{\sqrt[3]{x}+1}{\sqrt[3]{x}}-1\right|<\varepsilon\rightarrow\left|\frac{\sqrt[3]{x}+1-\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{x}}\right|<\varepsilon \] \[ \left|\frac{1}{\sqrt[3]{x}}\right|<\varepsilon\rightarrow\frac{1}{\left|\sqrt[3]{x}\right|}<\varepsilon\rightarrow\left|\sqrt[3]{x}\right|>\frac{1}{\varepsilon}\rightarrow\left|x\right|>\frac{1}{\varepsilon^{3}} \] \[ x<-\frac{1}{\varepsilon^{3}}\;\vee\; x>+\frac{1}{\varepsilon^{3}} \] Otteniamo quindi \[ \left(-\infty;-\frac{1}{\varepsilon^{3}}\right)\cup\left(\frac{1}{\varepsilon^{3}};+\infty\right) \] Visto che quest’ultimo intervallo costituisce un intorno di infinito, possiamo affermare che il limite è verificato.

Esercizio 3 \[ \lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{e^{x}+1}{e^{x}}=1 \] La funzione è definita per ogni x reale. Occorre mostrare che, comunque si scelga \[ \varepsilon>0 \] arbitrariamente piccolo, la disuguaglianza \[ \left|\frac{e^{x}+1}{e^{x}}-1\right|<\varepsilon \] sia verificata per tutti i valori di x di un opportuno intorno di +infinito.Risolviamo ora la disequazione nell’incognita x: \[ \left|\frac{e^{x}+1}{e^{x}}-1\right|<\varepsilon\rightarrow\left|\frac{e^{x}+1-e^{x}}{e^{x}}\right|<\varepsilon \] \[ \left|\frac{1}{e^{x}}\right|<\varepsilon\rightarrow\frac{1}{\left|e^{x}\right|}<\varepsilon\rightarrow\left|e^{x}\right|>\frac{1}{\varepsilon} \] \[ e^{x}<-\frac{1}{\varepsilon}\;\vee\; e^{x}>+\frac{1}{\varepsilon} \] Analizzando gli intervalli: \[ e^{x}<-\frac{1}{\varepsilon} \] risulta impossibile, mentre \[ e^{x}>+\frac{1}{\varepsilon}\rightarrow x>\ln\frac{1}{\varepsilon}\rightarrow x>-\ln\varepsilon \] Otteniamo quindi \[ \left(-\ln\varepsilon;+\infty\right) \] Visto che quest’ultimo intervallo costituisce un intorno di +infinito, possiamo affermare che il limite è verificato.

Esercizio 4 \[ \lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{1}{\ln\left(1-x\right)}=0 \] La funzione è definita per \[ x<1 \] Occorre mostrare che, comunque si scelga \[ \varepsilon>0 \] arbitrariamente piccolo, la disuguaglianza \[ \left|\frac{1}{\ln\left(1-x\right)}-0\right|<\varepsilon \] sia verificata per tutti i valori di x di un opportuno intorno di meno infinito.Risolviamo ora la disequazione nell’incognita x: \[ \left|\frac{1}{\ln\left(1-x\right)}-0\right|<\varepsilon\rightarrow\left|\frac{1}{\ln\left(1-x\right)}\right|<\varepsilon \] \[ \left|\frac{1}{\ln\left(1-x\right)}\right|<\varepsilon\rightarrow\frac{1}{\left|\ln\left(1-x\right)\right|}<\varepsilon\rightarrow\left|\ln\left(1-x\right)\right|>\frac{1}{\varepsilon} \] \[ \ln\left(1-x\right)<-\frac{1}{\varepsilon}\;\vee\;\ln\left(1-x\right)>+\frac{1}{\varepsilon} \] \[ x<1-e^{\frac{1}{\varepsilon}}\;\vee\; x>1-e^{-\frac{1}{\varepsilon}} \] Analizzando gli intervalli: \[ x>1-e^{-\frac{1}{\varepsilon}} \] non è un intorno di +infinito, perchè la funzione non è definita per x>1, mentre \[ x<1-e^{\frac{1}{\varepsilon}}\rightarrow\left(-\infty;1-e^{\frac{1}{\varepsilon}}\right) \] Visto che quest’ultimo intervallo costituisce un intorno di meno infinito, possiamo affermare che il limite è verificato.