Testo

Un test d’esame è composto da dieci domande, per ciascuna delle quali si deve scegliere l’unica risposta corretta fra quattro alternative. Qual è la probabilità che, rispondendo a caso alle dieci domande, almeno due risposte risultino corrette?

Soluzione

Se indico con n il numero di risposte esatte si vuole trovare la probabilità che n sia maggiore o uguale a 2. \[ P\left(n\geq2\right)=1-P(n=0)-P(n=1) \] Se per ogni quesito ho 4 alternative, la probabilità di successo per ogni quesito è 1/4 e la probabilità di insuccesso è 3/4. Partendo da questi dati e estendendo il concetto, sfruttando la proprietà di probabilità composta avrò che: \[ P(n=0)=\frac{3}{4}\cdot\frac{3}{4}\cdot\frac{3}{4}\cdot\frac{3}{4}\cdot\frac{3}{4}\cdot\frac{3}{4}\cdot\frac{3}{4}\cdot\frac{3}{4}\cdot\frac{3}{4}\cdot\frac{3}{4}=\left(\frac{3}{4}\right)^{10} \] \[ P(n=1)=10\left[\frac{3}{4}\cdot\frac{3}{4}\cdot\frac{3}{4}\cdot\frac{3}{4}\cdot\frac{3}{4}\cdot\frac{3}{4}\cdot\frac{3}{4}\cdot\frac{3}{4}\cdot\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{4}\right]=10\left[\frac{1}{4}\left(\frac{3}{4}\right)^{9}\right] \] N.B. Nel calcolo della probabilità per n=1 fate attenzione al fattore 10 nel risultato: infatti la risposta esatta potrebbe essere una qualsiasi delle 10 (se la risposta esatta doveva essere una in particolare delle 10 questo fattore non ci sarebbe stato)!! Tornando al calcolo della probabilità che volevamo ottenere avrò che: \[ P\left(n\geq2\right)=1-\left(\frac{3}{4}\right)^{10}-10\left[\frac{1}{4}\left(\frac{3}{4}\right)^{9}\right]=0,75597 \]