Testo

Sia R la regione delimitata, per x appartenente a 2 [0,pi], dalla curva y=sen(x) e dall’asse x e sia W il solido ottenuto dalla rotazione di R attorno all’asse y. Si calcoli il volume di W.

Soluzione

Considero la regione R come unione di due contributi, R1 e R2.
La prima regione è compresa tra sen(x) e l’asse x ed è appartenente alla striscia di piano delimitata da \[ 0\leq x\leq\frac{\pi}{2} \]
La seconda invece individuata da \[ \frac{\pi}{2}\leq x\leq\pi \] Posto R = R1 U R2, le due regioni, ruotando attorno all’asse y genera il solido W di cui si chiede il volume.
Se chiamo R3 la regione compresa tra la retta y=1, l’asse y ed il grafico di y=sen(x), il volume W è comunque dato dalla differenza dei volumi dei solidi generati dalla regione R1 U R2 U R3 che chiameremo V(123), con quello generato dalla sola R3, V(3). E sarà:

\[ V=V_{123}-V_{3}=V_{123}-\pi\int_{0}^{1}\left(\arcsin y\right)^{2}dy \] \[ V=\pi\int_{0}^{1}\left(-\arcsin y+\pi\right)^{2}dy-\pi\int_{0}^{1}\left(\arcsin y\right)^{2}dy \] \[ V=\pi\int_{0}^{1}\left(\arcsin^{2}y+\pi^{2}-2\pi\arcsin y-\arcsin^{2}y\right)dy \] \[ V=\pi\int_{0}^{1}\left(\pi^{2}-2\pi\arcsin y\right)dy \] \[ V=\pi^{3}\int_{0}^{1}dy-2\pi^{2}\int_{0}^{1}\arcsin ydy \] \[ V=\pi^{3}-2\pi^{2}\int_{0}^{1}\arcsin ydy \] Risolvendo per parti l’integrale indefinito si trova che: \[ \int\arcsin ydy=y\arcsin y-\int\frac{ydy}{\sqrt{1-y^{2}}} \] Poi per sostituzione \[ t=1-y^{2}\; dt=-2ydy \] Da cui ottengo \[ \int\arcsin ydy=y\arcsin y-\int\frac{-dt}{2\sqrt{t}}=y\arcsin y+\frac{1}{2}\frac{t^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}+C=y\arcsin y+\sqrt{1-y^{2}}+C \] \[ \int\arcsin ydy=y\arcsin y+\sqrt{1-y^{2}}+C \] Ritornando al calcolo di V finalmente avrò che: \[ V=\pi^{3}-2\pi^{2}\left[y\arcsin y+\sqrt{1-y^{2}}\right]=\pi^{3}-2\pi^{2}\left(\frac{\pi}{2}-1\right)=2\pi^{2} \]