Testo

Si provi che, nello spazio ordinario a tre dimensioni, il luogo geometrico dei punti equidistanti dai tre vertici di un triangolo rettangolo è la retta perpendicolare al piano del triangolo passante per il punto medio dell’ipotenusa.

Soluzione

Detto O il punto medio dell’ipotenusa AB del triangolo ABC, rettangolo in C, questo punto è il centro della circonferenza passante per A, B, C, ed è perciò equidistante da essi, così come da figura qui sotto:

Considerata una retta per O e perpendicolare al piano del triangolo ABC, sia P un punto qualsiasi di questa e OP la distanza di P da O.

Poichè \[ \overline{OC}=\overline{OA}=\overline{OB} \] applicando il teorema di Pitagora, sarà: \[ \overline{PC}^{2}=\overline{OP}^{2}+\overline{OC}^{2}=\overline{OP}^{2}+\overline{OA}^{2}=\overline{PA}^{2}=\overline{OP}^{2}+\overline{OB}^{2}=\overline{PB}^{2} \] avrò che: \[ \overline{PC}=\overline{PA}=\overline{PB} \] Si ha pertanto \[ \overline{PC}=\overline{PA}=\overline{PB} \] e il luogo geometrico richiesto sembra che sia la retta per O perpendicolare al piano del triangolo.