Determinare un punto sull’asse delle ascisse per il quale è minima la somma del quadrato della sua distanza dalla retta y=x+1 con il quadrato della sua distanza dalla retta x=4.

Soluzione

Rappresentazione grafica:

Chiamiamo P il punto da determinare, si ha \[ \overline{OP}=x\rightarrow P\left(x;0\right) \] La funzione da determinare è \[ \overline{PA}^{2}+\overline{PH}^{2} \] possiamo scrivere PA in funzione di x: \[ \overline{PA}=4-x \] Sapendo che la retta r ha equazione implicita \[ y-x-1=0 \] PH è la distanza da tale retta del punto P \[ \overline{PH}=\frac{\left|ax+by+c\right|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \] \[ \overline{PH}=\frac{\left|-x-1\right|}{\sqrt{2}} \] Ora la nostra funzione ha una sola variabile (x): \[ f=\overline{PA}^{2}+\overline{PH}^{2} \] \[ f\left(x\right)=\left(4-x\right)^{2}+\frac{\left(-x-1\right)^{2}}{2} \] \[ f\left(x\right)=\frac{1}{2}\left(3x^{2}-14x+33\right) \] Calcoliamo la derivata: \[ f’\left(x\right)=\frac{1}{2}\left(6x-14\right) \] \[ f’\left(x\right)=3x-7 \] Studiamone il segno: \[ f’\left(x\right)\geq0\rightarrow x\geq\frac{7}{3} \] Abbiamo trovato l’intervallo di x per il quale la derivata della funzione è positiva. La funzione f(x) è crescente per x maggiore di 7/3, decrescente per x minore di 7/3, ha quindi un minimo per \[ x=\frac{7}{3} \] e il punto P avrà quindi coordinate \[ P\left(\frac{7}{3};0\right) \]