Fra tutti gli angoli alla circonferenza che insistono sopra un dato arco di circonferenza di raggio r, qual è quello per cui è massima la somma dei lati che comprendono l’angolo?

Soluzione

Rappresentazione grafica:

Vista la figura, chiamiamo: \[ \overline{AO}=\overline{OB}=r \] \[ A\hat{O}B=\alpha \] \[ A\hat{C}O=x \] \[ B\hat{C}O=y \] Vogliamo sia massima la funzione \[ f=\overline{CB}+\overline{CA} \] Scriviamo y in funzione di x, sapendo che l’angolo alla circonferenza è metà dell’angolo al centro che insiste sullo stesso arco: \[ x+y=\frac{\alpha}{2}\rightarrow y=\frac{\alpha}{2}-x \] Scriviamo CB in funzione di x, sapendo che il triangolo COB è isoscele: \[ \overline{CB}=2\overline{OC}\cos y \] \[ \overline{CB}=2r\cos\left(\frac{\alpha}{2}-x\right) \] Scriviamo CA in funzione di x, sapendo che il triangolo COA è isoscele: \[ \overline{CA}=2\overline{OC}\cos x \] \[ \overline{CA}=2r\cos x \] Ora possiamo scrivere la nostra funzione f con l’unica incognita x: \[ f=\overline{CB}+\overline{CA} \] \[ f\left(x\right)=2r\cos\left(\frac{\alpha}{2}-x\right)+2r\cos x \] \[ f\left(x\right)=2r\left[\cos\left(\frac{\alpha}{2}-x\right)+\cos x\right] \] Calcoliamo la derivata: \[ f’\left(x\right)=2r\left[\sin\left(\frac{\alpha}{2}-x\right)-\sin x\right] \] Studiamone il segno: \[ f’\left(x\right)\geq0\rightarrow\sin\left(\frac{\alpha}{2}-x\right)-\sin x\geq0 \] \[ f’\left(x\right)\geq0\rightarrow\sin\left(\frac{\alpha}{2}-x\right)\geq\sin x \] x è compreso tra 0 e 90 gradi, quindi in questo intervallo il suo seno è positivo e siamo nel primo quadrante: possiamo procedere come segue. \[ f’\left(x\right)\geq0\rightarrow\frac{\alpha}{2}-x\geq x \] Otteniamo: \[ f’\left(x\right)\geq0\rightarrow x\leq\frac{\alpha}{4} \] Abbiamo trovato l’intervallo di x per il quale la derivata della funzione è positiva. La funzione f(x) è crescente per x minore di alfa/4, decrescente per x maggiore di alfa/4, ha quindi un massimo per \[ x=\frac{\alpha}{4} \] \[ y=\frac{\alpha}{2}-x\rightarrow y=\frac{\alpha}{4} \] Quindi si ha un massimo per \[ y=x \]