Massimi e minimi vincolati - Esercizio 1

Problema

Max e Min di ( f(x,y) = arctan(x^2 + 4y^2) ) con il vincolo ( g(x,y) = x^2 + y^2 – 4 = 0 ).

( f(x,y) ) è crescente in ( mathbb{R} ).

( x^2 + 4y^2 leq x^2 + 4y^2 Rightarrow arctan(x^2 + 4y^2) = arctan(x_1^2 + 4y_1^2) )

( g(x,y) = x^2 + 4y^2 ) – curve di livello ( x^2 + 4y^2 = C ).

Famiglia di ellissi

( frac{x^2}{C} + frac{y^2}{frac{C}{4}} = 1 )

Simmetria ( frac{sqrt{C}}{sqrt{frac{C}{2}}} )

Punti ( A ) e ( B ) di minimo.

Punti ( C ) e ( D ) di massimo.

( g_x = 2x ), ( g_y = 8y ), ( g_y = 2y ).

[
begin{cases}
2x = lambda 2x \
8y = 2y
end{cases}
]

( 2x = lambda 2x )

( 8y = 2y )

( x = 0 ), ( y = 0 )

[
begin{cases}
2x = lambda 2x \
8y = 2y
end{cases}
Rightarrow text{λ}
]

( λxy – 16xy = -12xy = 0 )

Trovati i punti ( A ), ( B ), ( C ), ( D ).

Per approfondire, consulta la nostra guida completa sullo studio di funzione.