Calcolare i seguenti integrali indefiniti di vario tipo:

Esercizio 1 \[ \int e^{-2x}\sin xdx \] Soluzione

Questo integrale si può risolvere attuando per due volte il metodo di integrazione per parti: \[ \int e^{-2x}\sin xdx=-\frac{e^{-2x}\sin x}{2}+\frac{1}{2}\int e^{-2x}\cos xdx \] \[ \int e^{-2x}\sin xdx=-\frac{e^{-2x}\sin x}{2}-\frac{e^{-2x}\cos x}{4}-\frac{1}{4}\int e^{-2x}\sin xdx \] \[ \frac{5}{4}\int e^{-2x}\sin xdx=-\frac{e^{-2x}\sin x}{2}-\frac{e^{-2x}\cos x}{4} \] Otteniamo: \[ \int e^{-2x}\sin xdx=-\frac{e^{-2x}}{5}\left(2\sin x+\cos x\right)+C \] Esercizio 2 \[ \int\frac{1}{e^{x}+e^{-x}}dx \] Soluzione

Si può risolvere agevolmente per sostituzione, ponendo: \[ t=e^{x} \] \[ x=\ln t \] \[ dx=\frac{1}{t}dt \] e otteniamo: \[ \int\frac{1}{e^{x}+e^{-x}}dx=\int\frac{\frac{1}{t}}{t+\frac{1}{t}}dt \] \[ \int\frac{1}{e^{x}+e^{-x}}dx=\int\frac{1}{t}\cdot\frac{t}{t^{2}+1}dt \] \[ \int\frac{1}{e^{x}+e^{-x}}dx=\int\frac{1}{t^{2}+1}dt \] \[ \int\frac{1}{e^{x}+e^{-x}}dx=\arctan t+C \] Risulta quindi: \[ \int\frac{1}{e^{x}+e^{-x}}dx=\arctan e^{x}+C \] Esercizio 3 \[ \int\sqrt{e^{x}-1}dx \] Soluzione

Si può risolvere agevolmente per sostituzione, ponendo: \[ t=\sqrt{e^{x}-1} \] \[ x=\ln\left(t^{2}+1\right) \] \[ dx=\frac{2t}{t^{2}+1}dt \] e otteniamo: \[ \int\sqrt{e^{x}-1}dx=\int\frac{2t^{2}}{t^{2}+1}dt \] Procedendo con la divisione: \[ \int\sqrt{e^{x}-1}dx=\int2dt-2\int\frac{1}{t^{2}+1}dt \] \[ \int\sqrt{e^{x}-1}dx=2t-2\arctan t+C \] Risulta quindi: \[ \int\sqrt{e^{x}-1}dx=2\sqrt{e^{x}-1}-2\arctan\sqrt{e^{x}-1}+C \]

Quest’ultimo esercizio, come altri in questa sezione di riepilogo, omette chiaramente alcuni passaggi, ma faccio notare che questi argomenti (integrali per parti, sostituzione, funzioni razionali fratte, etc.) vengono ampiamente approfonditi nelle rispettive sezioni a loro dedicate sul sito.