Verificare le seguenti uguaglianze, applicando la definizione di limite finito di una funzione per x che tende a un valore finito:

Esercizio 1 \[ \lim_{x\rightarrow-2}\left(2x+1\right)=-3 \] La funzione y=2x+1 è definita in qualsiasi intorno di -2.
Occorre mostrare che, comunque si scelga \[ \varepsilon>0 \] arbitrariamente piccolo, la disuguaglianza \[ \left|\left(2x+1\right)-\left(-3\right)\right|<\varepsilon \] sia verificata per tutti i valori di x di un opportuno intorno di -2.Risolviamo ora la disequazione nell’incognita x: \[ \left|2x+1+3\right|<\varepsilon \] \[ \left|2x+4\right|<\varepsilon \] \[ 2\left|x+2\right|<\varepsilon \] Dividendo per 2 al primo e secondo membro: \[ \left|x+2\right|<\frac{\varepsilon}{2} \] \[ x+2>-\frac{\varepsilon}{2}\;\wedge\; x+2<\frac{\varepsilon}{2} \] \[ x>-2-\frac{\varepsilon}{2}\;\wedge\; x<-2+\frac{\varepsilon}{2} \] \[ x\in\left(-2-\frac{\varepsilon}{2};-2+\frac{\varepsilon}{2}\right) \] Visto che quest'ultimo intervallo costituisce un intorno completo di -2, possiamo affermare che il limite è verificato.Esercizio 2 \[ \lim_{x\rightarrow-3}\sqrt{x+7}=2 \] La funzione y=x+7 è definita per x>-7, quindi anche in -3 e in un suo intorno sufficientemente piccolo.
Occorre mostrare che, comunque si scelga \[ \varepsilon>0 \] arbitrariamente piccolo, la disuguaglianza \[ \left|\sqrt{x+7}-2\right|<\varepsilon \] sia verificata per tutti i valori di x di un opportuno intorno di -3.Risolviamo ora la disequazione nell’incognita x: \[ \left|\sqrt{x+7}-2\right|<\varepsilon \] \[ \sqrt{x+7}>2-\varepsilon\;\wedge\;\sqrt{x+7}<2+\varepsilon \] \[ x+7>\left(2-\varepsilon\right)^{2}\;\wedge\; x+7<\left(2+\varepsilon\right)^{2} \] \[ x>\left(2-\varepsilon\right)^{2}-7\;\wedge\; x<\left(2+\varepsilon\right)^{2}-7 \] Visto che epsilon è piccolo a piacere, \[ \left(2-\varepsilon\right)^{2} \] è un po' più piccolo di 4, e \[ \left(2+\varepsilon\right)^{2} \] è un po' più grande di 4, quindi \[ x>\left(2-\varepsilon\right)^{2}-7\;\wedge\; x<\left(2+\varepsilon\right)^{2}-7 \] ovvero \[ x\in\left(\left(2-\varepsilon\right)^{2}-7;\left(2+\varepsilon\right)^{2}-7\right) \] costituisce un intorno completo di -3, e possiamo affermare che il limite è verificato.Esercizio 3 \[ \lim_{x\rightarrow-6}\frac{x^{2}+9x+18}{3x+18}=-1 \] Scomponendo al numeratore e al denominatore otteniamo: \[ \lim_{x\rightarrow-6}\frac{\left(x+3\right)\left(x+6\right)}{3\left(x+6\right)}=-1 \] La funzione è definita in qualsiasi intorno di -6, eccetto per x=-6. Possiamo proseguire per \[ x\neq-6 \] e semplificare: \[ \lim_{x\rightarrow-6}\frac{x+3}{3}=-1 \] \[ \lim_{x\rightarrow-6}\left(\frac{1}{3}x+1\right)=-1 \] Occorre mostrare che, comunque si scelga \[ \varepsilon>0 \] arbitrariamente piccolo, la disuguaglianza \[ \left|\left(\frac{1}{3}x+1\right)-\left(-1\right)\right|<\varepsilon \] sia verificata per tutti i valori di x di un opportuno intorno di -6.Risolviamo ora la disequazione nell’incognita x: \[ \left|\frac{1}{3}x+1+1\right|<\varepsilon \] \[ \left|\frac{1}{3}x+2\right|<\varepsilon \] \[ \frac{1}{3}x+2>-\varepsilon\;\wedge\;\frac{1}{3}x+2<\varepsilon \] \[ \frac{1}{3}x>-2-\varepsilon\;\wedge\;\frac{1}{3}x<-2+\varepsilon \] \[ x>-6-3\varepsilon\;\wedge\; x<-6+3\varepsilon \] \[ x\in\left(-6-3\varepsilon;-6+3\varepsilon\right) \] Visto che quest'ultimo intervallo costituisce un intorno completo di -6, possiamo affermare che il limite è verificato.Esercizio 4 \[ \lim_{x\rightarrow-1}e^{x+1}=1 \] La funzione è definita in qualsiasi intorno di -1.
Occorre mostrare che, comunque si scelga \[ \varepsilon>0 \] arbitrariamente piccolo, la disuguaglianza \[ \left|e^{x+1}-1\right|<\varepsilon \] sia verificata per tutti i valori di x di un opportuno intorno di -1.Risolviamo ora la disequazione nell’incognita x: \[ \left|e^{x+1}-1\right|<\varepsilon \] \[ e^{x+1}-1>-\varepsilon\;\wedge\; e^{x+1}-1<\varepsilon \] \[ e^{x+1}>1-\varepsilon\;\wedge\; e^{x+1}<1+\varepsilon \] \[ \ln e^{x+1}>\ln\left(1-\varepsilon\right)\;\wedge\;\ln e^{x+1}<\ln\left(1+\varepsilon\right) \] \[ \left(x+1\right)\ln e>\ln\left(1-\varepsilon\right)\;\wedge\;\left(x+1\right)\ln e<\ln\left(1+\varepsilon\right) \] \[ x+1>\ln\left(1-\varepsilon\right)\;\wedge\; x+1<\ln\left(1+\varepsilon\right) \] \[ x>-1+\ln\left(1-\varepsilon\right)\;\wedge\; x<-1+\ln\left(1+\varepsilon\right) \] Visto che epsilon è piccolo a piacere, \[ \ln\left(1-\varepsilon\right) \] è un po' più piccolo di zero, e \[ \ln\left(1+\varepsilon\right) \] è un po' più grande di zero, quindi \[ x>-1+\ln\left(1-\varepsilon\right)\;\wedge\; x<-1+\ln\left(1+\varepsilon\right) \] ovvero \[ x\in\left(-1+\ln\left(1-\varepsilon\right);-1+\ln\left(1+\varepsilon\right)\right) \] costituisce un intorno completo di -1, e possiamo affermare che il limite è verificato.