Testo

Di un tronco di piramide retta a base quadrata si conoscono l’ altezza h e i lati a e b delle due basi. Si esprima il volume V del tronco in funzione di a, b e h, illustrando il ragionamento seguito.

Soluzione

Il volume richiesto si può considerare come differenza dei volumi di due piramidi, la prima \(P_1\) avente base coincidente con la base maggiore del tronco, di lato a e vertice V (fig. 1) e la seconda \(P_2\) avente lo stesso vertice ma base quella minore di lato b.

Definiti i piedi delle altezze dal vertice V alle due basi, \(H_1\) appartenente alla base maggiore, \(H_2\) alla minore, per determinare tali volumi notiamo la similitudine dei triangoli \(VH_1B_1\) e \(VH_2B_2\) cosicchè valgono le proporzioni

\[
\frac{\overline{VH_1}}{\overline{VH_2}} = \frac{\overline{B_1H_1}}{\overline{B_2H_2}}
\]

ma poichè \(B_1H_1 = \frac{a}{2}\) e \(B_2H_2 \frac{b}{2}\) la precedente diviene

\[
\frac{\overline{VH_1}}{\overline{VH_2}} = \frac{a}{b}.
\]

D’ altra parte, considerando l’ altezza assegnata del tronco di piramide, è \(h =\overline{VH_1} – \overline{VH_2}\) per cui ne discende il sistema

\[
\begin{cases}
\overline{VH_1}= \frac{a}{b} \cdot \overline{VH_2}
\overline{VH_1}=\overline{VH_2}+h.
\end{cases}
\]

Sostituendo la prima nella seconda risulta

\[
\overline{VH_2} \left(\frac{a}{b}-1\right)=h \quad \Rightarrow\quad \overline{VH_2}=\frac{bh}{a-b}.
\]

Osservato che le aree di base risultano rispettivamente \(\mathrm{A}(P_1) = a^2\) e \(\mathrm{A}(P_2) = b^2\),
il volume richiesto è

\[
\mathrm{V}_{tronco} = \mathrm{V}(P_1) – \mathrm{V}(P_2)
\]
\[
=\frac{1}{3} \ \cdot \ a^2 \ \cdot \ \overline{VH_1} -\frac{1}{3} \ \cdot \ b^2 \ \cdot \ \overline{VH_2}
\]
\[
=\frac{h}{3(a-b)} \ \cdot \ (a^3-b^3) = \frac{h}{3} \ \cdot \ \frac{(a – b)(a^2 + ab + b^2)}{a-b}
\]
\[
=\frac{1}{3}h \ \cdot \ (a^2 + ab + b^2).
\]