Testo

Si considerino, nel piano cartesiano, i punti \(A(2;-1)\) e \(B(-6;-8)\). Si determini l’ equazione della retta passante per B e avente distanza massima da A.

Soluzione

Costruito il fascio di rette per il punto \(B(-6,-8)\) (fig. 1) dato dall’ equazione

\[
r: y – y_B = m(x – x_B) \quad \Rightarrow \quad y + 8 = m(x + 6),
\]

la distanza dal punto \(A(2,-1)\) è rappresentata dalla lunghezza del segmento AH essendo H il piede della perpendicolare ad r condotta da A (fig. 1).

Notiamo che, qualsiasi sia la retta r, i punti A, B e H formano un triangolo che è
rettangolo nel vertice H. Di conseguenza possiamo identificare il luogo dei punti H con la circonferenza di diametro AB. La lunghezza del segmento AH sarà massima quando H coinciderà con B, \(H \equiv B\), e in tale posizione la retta BH è perpendicolare al diametro AB. Segue che, essendo il coefficiente angolare della
retta AB

\[
m_{AB} = \frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\frac{-8-(-1)}{-6-2}=\frac{7}{8},
\]

il coefficiente angolare di r è in tal caso dato dalla condizione di perpendicolarità

\[
m=-\frac{1}{m_{AB}}= -\frac{8}{7}
\]

sostituendo m nell’ equazione della retta r si ha

\[
y=-\frac{8}{7}x – \frac{104}{7}.
\]