Quesito8 Si mostri, senza utilizzare il teorema di l’Hopital, che: \[ \lim_{x\to \pi} \frac{e^{\sin x} – e^{\sin \pi} }{x – \pi}= -1 \] Soluzione Risolviamo il limite ponendo la sostituzione \( y=x−\pi \) , e ricordando che \( e^{\sin \pi} = e^0 =1 \), si ottiene: \[ \lim_{x\to \pi}\frac{e^{\sin x} – e^{\sin \pi} }{x – […]
Quesito7 In un gruppo di \( 10 \) persone il 60% ha occhi azzurri. Dal gruppo si selezionano a caso due persone. Quale è la probabilità che nessuna di esse abbia occhi azzurri ? Soluzione La probabilità di scegliere casualmente due persone che non abbiano gli occhi azzurri può essere espressa come composizione di \( […]
Quesito9 Tre amici discutono animatamente di numeri reali. Anna afferma che sia i numeri razionali che gli irrazionali sono infiniti e dunque i razionali sono tanti quanti gli irrazionali. Paolo sostiene che gli irrazionali costituiscono dei casi eccezionali, ovvero che la maggior parte dei numeri reali sono razionali. Luisa afferma, invece, il contrario: sia i […]
Testo Sia \(f\) la funzione definita per tutti gli x positivi da \(f(x) = x^3 \ln{x}\). Si studi \(f\) e si tracci il suo grafico \(\gamma\) su un piano riferito ad un sistema di assi cartesiani ortogonali e monometrici \(Oxy\); accertato che \(\gamma\) presenta sia un punto di flesso che un punto di minimo se […]
Testo Una funzione \(f(x)\) è definita e derivabile, insieme alle sue derivate prima e seconda, in \([0,+\infty]\) e nella figura sono disegnati i grafi di \(\gamma\) e \(\Lambda\) di \(f(x)\) e della sua derivata seconda \(f’’(x)\). La tangente a \(\gamma\) nel suo punto di flesso, di coordinate (2;4), passa per (0;0), mentre le rette \(y […]
Quesito2 Se la funzione \( f(x) − f(2x) \) ha derivata \( 5 in x = 1 \) e derivata \( 7 in x = 2 \), qual è la derivata di \( f(x) − f(4x) \) in \(x = 1\) ? Soluzione Posto \( F(x) = f(x) − f(2x) \) e \( G(x) = […]
Quesito5 In un libro si legge: “se per la dilatazione corrispondente a un certo aumento della temperatura un corpo si allunga (in tutte le direzioni) di una certa percentuale (p.es. \( 0.38 \%) \), esso si accresce in volume in pro- porzione tripla (cioè dell’ \( 1.14 \% \) ), mentre la sua superficie si […]
Quesito6 Con le cifre da \(1 \) a \( 7 \) è possibile formare \( 7! = 5040 \) numeri corrispondenti alle permutazioni delle 7 cifre. Ad esempio i numeri 1234567 e 3546712 corrispondono a due di queste permutazioni. Se i 5040 numeri ottenuti dalle permutazioni si dispongono in ordine crescente qual è il numero […]
Testo La funzione \( f \) è definita da \[ f(x) = \int_0^x \left[ cos\left(\frac{t}{2}\right) + \frac{1}{2}\right] dt \] per tutti i numeri reali \( x \) appartenenti all’intervallo chiuso [0, 9]. 1. Si calcolino \( f'(\pi) \) e \( f'(2\pi) \) ove \( f? \) indica la derivata di \( f \). 2. Si […]