Testo
Una funzione \(f(x)\) è definita e derivabile, insieme alle sue derivate prima e seconda, in \([0,+\infty]\) e nella figura sono disegnati i grafi di \(\gamma\) e \(\Lambda\) di \(f(x)\) e della sua derivata seconda \(f’’(x)\).

La tangente a \(\gamma\) nel suo punto di flesso, di coordinate (2;4), passa per (0;0), mentre le rette \(y = 8\) e \(y = 0\) sono asintoti orizzontali per \(\gamma\) e \(\Lambda\), rispettivamente.

Si dimostri che la funzione \(f’(x)\), ovvero la derivata prima di \(f(x)\), ha un massimo e se ne determinino le coordinate. Sapendo che per ogni \(x\) del dominio è \(f’’(x) \leq f’(x) \leq f(x)\), qual è un possibile andamento di \(f’(x)\)?
Si supponga che \(f(x)\) costituisca, ovviamente in opportune unità di misura, il modello di crescita di un certo tipo di popolazione. Quali informazioni sulla sua evoluzione si possono dedurre dai grafici in figura e in particolare dal fatto che \(\gamma\) presenta un asintoto orizzontale e un punto di flesso?
Se \(\gamma\) è il grafico della funzione \(f(x)= \frac{a}{1+e^{b-x}}\), si provi che \(a=8\) e \(b=2\).
Nell’ipotesi del punto 3, si calcoli l’area della regione di piano delimitata da \(\lambda\) e dall’asse x sull’intervallo [0, 2].

Soluzione
La condizione per la presenza di un punto \(x_0\) di massimo o di minimo per una funzione continua e derivabile è che la sua derivata prima si annulli in \(x_0\) e che cambi di segno in un intorno di \(x_0\). Il grafico \(\delta\) ovvero della f”(x) si annulla nel punto \(x = 2\).

1-Esaminando il segno di \(f’’(x)\) si osserva che in un intorno sinistro di 2, \(f’’(x) > 0\), quindi \(f’(x)\) è crescente per \(0 < x < 2\). Viceversa per \(x > 2\) si ha \(f’’(x) < 0\) e di conseguenza \(f(x)\) è decrescente per quei valori \(x = 2\) è quindi un massimo di \(f’(x)\). Il valore di \(f’(2)\) è la pendenza della retta tangente al grafico \(\gamma\) di \(f(x)\) nel punto di ascissa \(x = 2\). La tangente a \(\gamma\) nel punto (2; 4) passa anche per l’origine, quindi la sua equazione è \(y = 2x\). La pendenza è 2, quindi le coordinate del massimo di \(f(x)\) sono (2; 2). Dal grafico \(\gamma\) si deduce che \(f(x)\) è sempre crescente e che f'(x) > 0 per x \in [0;+\infty[\) . La funzione \(f(x)\) ha un asintoto orizzontale, di conseguenza la retta tangente a \(f(x) per x \rightarrow +\infty\) ha coefficiente angolare che tende a 0. Perciò: \[lim_{x \rightarrow +\infty} f’(x)=0\] Un possibile grafico di \(f’(x)\), ricordando che \(f’’(x) \leq f’(x) \leq f(x)) per x \in [0;+\infty[\) è quello rappresentato in figura.
2-Dal grafico di \(f(x)\) si deduce un alto tasso di crescita iniziale che aumenta fino a quando la curva cambia la concavità (punto di flesso). Dal punto \(x = 2\) la popolazione continua ad aumentare, ma a un tasso di crescita via via inferiore perchè la sua derivata prima è sempre strettamente positiva ma tende a zero. All’aumentare di \(x\) la popolazione si avvicina sempre più al valore 8 (senza mai raggiungerlo).
3- Per \(f(x)= \frac{a}{1+e^{b-x}}\),
\[lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} \frac{a}{1+e^{b-x}}= \frac{a}{1+0}=8\]
da cui segue \(a=8\). Sappiamo inoltre che \(f(2)=4\), quindi
\[ \frac{8}{1+e^{b-2}}= 4 \] \[ 8= 4+4/e^{b-2} \to 1=e^{b-2} \to \ln{1}=b-2 \] \[ b=2 \]
4- Dal punto 3 abbiamo \(f(x)= \frac{8}{1+e^{2-x}}\). L’area delimitata da \(\delta\) e dall’asse \(x\) per \(x \in [0;2] \) è uguale a \( \int_{0}^{2} f’(x)dx \). Per il teorema fondamentale del calcolo integrale \(\int_{0}^{2} f’(x)\,dx = f'(2) − f'(0)\), essendo \(f’(x)\) una primitiva di \(f’’(x)\). Conosciamo già \(f’(2) = 2\); per trovare \(f’(0)\) calcoliamo la derivata prima della \(f(x)\):
\[f(x)= \frac{8}{1+frac{e^2}{e^x}} = \frac{8}{\frac{e^x+e^2}{e^x}}= \frac{8e^x}{e^2+ e^x}\]

\[f’(x)= \frac{8(e^2+ e^x)-8e^x e^x }{(e^2+ e^x)^2}= \frac{8e^(2+x)}{(e^2+ e^x)^2} \]
Quindi \(f’(0)= \frac{8e^2}{(e^2+ 1)^2}\) ,
\[\int_{0}^{2} f’’(x)\,dx = 2 – \frac{8}{e^2}= 2 – \frac{8e^2}{(e^2+1)^2}\]