Quesito8
Si mostri, senza utilizzare il teorema di l’Hopital, che:
\[
\lim_{x\to \pi}
\frac{e^{\sin x} – e^{\sin \pi} }{x – \pi}= -1
\]

Soluzione

Risolviamo il limite ponendo la sostituzione \( y=x−\pi \) , e ricordando che \( e^{\sin \pi} = e^0 =1 \), si ottiene:
\[
\lim_{x\to \pi}\frac{e^{\sin x} – e^{\sin \pi} }{x – \pi}= \lim_{x\to \pi}\frac{e^{\sin x} -1 }{x – \pi}= \lim_{y\to 0}\frac{e^{\sin y+ \pi} -1}{y}= \lim_{y\to 0}\frac{e^{-\sin y} -1}{y}
\]
La forma ottenuta suggerisce di moltiplicare numeratore e denominatore della funzione ad argomento del limite per \( -\sin y \) così da riportare il limite a forme note. Difatti:
\[
\lim_{y\to 0} \frac{e^{-\sin y} -1}{y} \cdot \frac{(-\sin y) }{(-\sin y)} = \] \[
= \lim_{y\to 0} \Bigl( \frac{e^{-\sin y} -1}{- \sin y} \Bigr) \cdot \Bigl( \frac{-\sin y }{y } \Bigr)
\]
il primo fattore del limite è un limite noto:
\[
\lim_{y\to 0} \frac{e^{-\sin y} -1}{- \sin y}= \lim_{t \to 0} \frac{e^{t}-1}{t}= 1
\]
Il secondo fattore è pure un limite fondamentale e risulta:
\[
\lim_{y\to 0} – \frac{sen y}{y} = – \lim_{y\to 0} \frac{sen y}{y}= -1
\]
In definitiva otteniamo per il limite iniziale:
\[
\lim_{y\to 0} \Bigl( \frac{e^{-\sin y} -1}{- \sin y} \Bigr) \cdot \Bigl( \frac{-\sin y }{y } \Bigr) = (1) \cdot (-1) = -1
\]