Quesito6

Con le cifre da \(1 \) a \( 7 \) è possibile formare \( 7! = 5040 \) numeri corrispondenti alle permutazioni delle 7 cifre. Ad esempio i numeri 1234567 e 3546712 corrispondono a due di queste permutazioni. Se i 5040 numeri ottenuti dalle permutazioni si dispongono in ordine crescente qual è il numero che occupa la 5036-esima posizione e quale quello che occupa la 1441-esima posizione?

Soluzione
Sfruttiamo l’usuale rappresentazione posizionale di un numero in base 10 e disponiamo le cifre più grandi cioè \( 7, 6, 5, 4 \) tra le sette assegnate, rispettivamente nelle posizioni corrispondenti alle potenze \( 10^6, 10^5, 10^4, 10^3 \) cioè:
\[ 7·10^6 +6·10^5 +5·10^4 +4·10^3 +x·10^2 +x·10+x \].
Rimangono da sistemare le cifre da associare alle potenze \( 10^2, 10^1, 10^0 \) .
Le \(3! = 6\) permutazioni di queste ultime cifre sono, in ordine crescente sono
\[ 123 \leftrightarrow 5035 ; 132 \leftrightarrow 5036 ; 213 \leftrightarrow 5037 ; 231 \leftrightarrow 5038 ; 312 \leftrightarrow 5038 ; 321 \leftrightarrow 5040 \]
e dove si sono riportati i valori corrispondenti dell’indice che ne identifica la posizione tra le \( 7! = 5040 \) permutazioni. Ne segue che il valore che corrisponde al \( 5036 \longrightarrow 7654132 \).
Per individuare il numero che occupa la \( 1441-esima \) posizione notiamo che le
permutazioni che hanno come cifra più significativa 1 ammontano a \( 6! = 720 \)
Se disponiamo in ordine crescente i numeri formati dalle cifre \( {1,…,7} \), allora i primi \( 6! = 720 \) hanno come prima cifra 1, mentre le cifre rimanenti sono una permutazione di \( {2,3,4,5,6,7} \). I successivi 720 numeri, cioè quelli dalla posizione 721 alla 1440, hanno come prima cifra 2, mentre le cifre rimanenti sono una permutazione di \( {1, 3, 4, 5, 6, 7} \). Il numero immediatamente successivo, cioè il \(1441-esimo \), è il minimo numero che ha come prima cifra 3, ovvero \( 3124567 \).