Quesito5

In un libro si legge: “se per la dilatazione corrispondente a un certo aumento della temperatura un corpo si allunga (in tutte le direzioni) di una certa percentuale (p.es. \( 0.38 \%) \), esso si accresce in volume in pro- porzione tripla (cioè dell’ \( 1.14 \% \) ), mentre la sua superficie si accresce in proporzione doppia (cioè di \( 0,76 \% \) )” . E` così? Si motivi esaurientemente la risposta.

Soluzione
Si consideri un corpo che si dilata in tutte le direzioni di una certa percentuale \( x \).. Se quindi \(x \) rappresenta l’aumento percentuale di ciascuna dimensione \( a, b, c \) di un solido, per esempio un parallelepipedo rettangolo in figura1

e \( a\prime , b\prime e c\prime \) sono le dimensioni finali dev’essere:
\[
\begin{cases}
a\prime =a+ax= a(1+x) \\
b\prime =b+bx= b(1+x) \\
c\prime =c+cx= c(1+x) \\
\end{cases}
\]

Se \( V = abc \) è il volume iniziale, il volume complessivo dopo tali variazioni risulta
\[ V \prime =a\prime b\prime c\prime =abc(1+x)^3 \].

Se ora ipotizziamo per x valori prossimi allo zero (dal testo \( x = 0. 38 \% = 0.0038 \) ) potremo trascurare i termini quadratici e cubici ovvero \( V \prime =V(1+3x+3x^2 +x^3) \approx V(1+3x) \)
Si osserva che, ad un aumento percentuale x di ciascuna dimensione si ha
\[
x= \frac{a\prime – a}{a} = \frac{b\prime – b}{b}= \frac{c\prime – c}{c} ,
\]
pertanto si può dedurre un aumento percentuale triplo per il volume pari a:
\[
3x= \frac{V\prime – V}{V} .
\]
Pertanto nell’esempio proposto, se \( x = 0.38 \% = 0.0038 \) allora il volume aumenta del \( 3 · 0.38 \% = 1, 14 \% \).
In modo simile si procede per l’aumento della superficie. A seguito della variazione delle dimensioni, l’area di una faccia (del parallelepipedo) è data da
\[ A\prime = a\prime b\prime = ab(1+x^2)= A(1+2x+x^3) \]
nell’ipotesi \( x \approx 0 \) A’ diventa circa A(1+2x)
Ne segue che se \(x = 0.38 \% \) l’aumento percentuale dell’area è pari a \( 2 · 0.38 \% = 0,76 \% \).